İtme ve momentum

Okulun bilim şenliğinde yumurta bırakma yarışması var: çiğ yumurta, merdiven boşluğundan aşağı, kırılmadan inecek. Gizem, takım arkadaşı Efe'nin karton kutunun dibine sünger döşediğini görünce gülüyor: «Yumurta yine aynı yükseklikten düşecek, yere yine aynı hızla varacak ve yine duracak. Hızındaki değişim aynıysa yediği darbe de aynıdır; sünger süs.» İlk deneme süngersiz yapılıyor ve yumurta fayansta dağılıyor. İkincisinde aynı yükseklik, aynı yumurta; yumurta süngere gömülüp sağlam çıkıyor. Gizem'in hesabının yarısı doğru: iki inişte yumurtanın hareket miktarındaki değişim gerçekten eşit. Yanlış olan, bu eşitliğin kuvveti de eşitleyeceğini sanması. Bu derste hareket miktarını, onu değiştiren itmeyi ve aynı değişimin hangi koşulda küçük bir kuvvetle elde edildiğini hesaplıyoruz.

• Momentumu m · v çarpımıyla tanımlanan bir vektör olarak yazar, yön değiştiren hareketlerde değişimini işaretleriyle hesaplarsın.
• İtmeyi sabit kuvvette F · Δt ile, değişken kuvvette F-t grafiğinin altındaki alanla bulur ve momentum değişimine eşitlersin.
• Ortalama kuvveti Δp / Δt bağıntısından hesaplar, çarpışma süresinin uzamasının kuvveti nasıl küçülttüğünü açıklarsın.
• İki boyutlu çarpmalarda momentum değişimini bileşenler üzerinden bulursun.

Hızın yanına kütleyi koymak

Yuvarlanan bir bowling topunu durdurmak ile aynı hızla yuvarlanan bir pinpon topunu durdurmak arasındaki farkı herkes bilir; hız aynıdır, durdurmanın zorluğu değildir. Hareketin «ne kadar» olduğunu anlatmak için hızın yanına kütleyi koyarız. Kütle ile hızın çarpımına momentum (hareket miktarı) denir:

p = m · v

Birimi kg·m/s'dir. Kütle skaler, hız vektör olduğundan çarpımları da vektördür ve yönü hızın yönüdür. 60 kg'lık bir koşucu 5 m/s ile koşarken 300 kg·m/s momentuma sahiptir; park yerinde 0,25 m/s ile kayan 1200 kg'lık bir otomobilin momentumu da 300 kg·m/s'dir. İki momentum aynı yöndeyse bu iki hareketi durdurmak için aynı «miktarda» etki gerekir. Yön önemlidir: doğuya 3 m/s ile giden 4 kg'lık bir cisim ile batıya 2 m/s ile giden 6 kg'lık bir cismin momentumlarının büyüklükleri 12 kg·m/s'de buluşur, ama momentumlar eşit değildir, çünkü yönleri zıttır. Bir doğru üzerindeki harekette bir yönü artı seçer, öteki yöndeki hızları eksi yazarız.

Momentum ile kinetik enerji ayrı defterler tutar

Bir önceki derste kuvvetin yol boyunca yaptığı işin kinetik enerjiyi değiştirdiğini gördük. Kinetik enerji de m ile v'den kurulur, ama v'nin karesini taşır ve yön bilmez. İkisi arasında doğrudan bir köprü vardır: Eₖ = ½ · m · v² ifadesinde v yerine p / m yazılırsa

Eₖ = p² / (2 · m)

çıkar. Momentumları eşit iki cisimden hafif olanın kinetik enerjisi daha büyüktür. Ayrıca yön değiştirip aynı hızla geri dönen bir topun kinetik enerjisi değişmez, momentumu ise değişir. Bu ayrım dersin geri kalanında birkaç kez işimize yarayacak.

Newton'un ikinci yasasını momentumla yazmak

F = m · a bağıntısını «Newton'un ikinci yasası» işlemişti; oradaki F, cisme etki eden net kuvvettir. İvme, hızdaki değişimin süreye oranıdır: a = Δv / Δt. Kütle değişmiyorsa m · Δv, momentumdaki değişim Δp'dir ve yasa şu biçimi alır:

F = Δp / Δt

Bu biçim, net kuvvetin momentumun ne kadar hızlı değiştiğini söylediğini gösterir. Bir cismin momentum-zaman grafiği çizilirse grafiğin eğimi o andaki net kuvveti verir; eğim sıfırsa net kuvvet sıfırdır ve momentum sabit kalır.

İtme: kuvvet çarpı süre

Son bağıntının iki yanını Δt ile çarparsak

F · Δt = Δp

bulunur. Sol taraftaki F · Δt çarpımına itme (impuls) denir ve I harfiyle gösterilir. İtme, kuvvet yönünde bir vektördür; birimi N·s'dir ve N·s ile kg·m/s aynı birimdir, çünkü 1 N = 1 kg·m/s²'dir. Cümleyle okursak: bir cisme uygulanan net itme, o cismin momentumundaki değişime eşittir. Durmakta olan 5 kg'lık bir el arabasına 3 s boyunca 20 N'luk sabit net kuvvet uygulanırsa itme 60 N·s olur, momentum 60 kg·m/s artar ve hız 12 m/s'ye çıkar. İş-enerji teoremi kuvveti yolla çarpıp enerji değişimini verir; itme-momentum bağıntısı kuvveti süreyle çarpıp momentum değişimini verir. Aynı kuvvet, ölçtüğümüz şeye göre iki farklı hesabın girdisi olur.

Kuvvet değişirse: grafiğin altındaki alan

Ayağın topa vurduğu anda kuvvet sabit kalmaz; sıfırdan başlar, bir tepe değerine çıkar, top ayaktan ayrılırken yeniden sıfıra iner. Kuvvet-zaman grafiğinde sabit kuvvet bir dikdörtgen çizer ve F · Δt bu dikdörtgenin alanıdır. Kuvvet değişiyorsa aynı fikir sürer: grafik ile zaman ekseni arasında kalan alan itmeyi verir. Varsayımsal bir vuruşta kuvvet 0,04 s içinde doğrusal olarak 300 N'a çıkıp yine doğrusal olarak sıfıra iniyorsa grafik bir üçgendir ve itme ½ · 0,04 · 300 = 6 N·s olur. Durgun duran 0,5 kg'lık top bu vuruşla 12 m/s hız kazanır. Aynı itmeyi aynı sürede verecek sabit kuvvete ortalama kuvvet denir: 6 / 0,04 = 150 N. Üçgen grafikte ortalama kuvvet tepe değerin yarısıdır. Eksenin altında kalan bölgeler ters yönde itmedir; toplam itme bulunurken bu alanlar çıkarılır.

Geri sekme: değişim en büyük olduğunda

0,2 kilogramlık bir lastik top duvara 10 m/s hızla çarpıp 8 m/s hızla geri dönüyor. Hızın büyüklüğü yalnız 2 m/s azalmış gibi görünür, ama momentum vektörünün değişimi bambaşka bir sayıdır. Topun geliş yönünü artı alalım: ilk momentum +2 kg·m/s, son momentum −1,6 kg·m/s. Değişim son eksi ilk olduğundan Δp = −1,6 − 2 = −3,6 kg·m/s'dir. Büyüklüğü 3,6 kg·m/s, yönü duvardan dışarı doğrudur ve duvarın topa uyguladığı itme de budur. Aynı hızla çarpıp duvara yapışan bir hamur topu için değişim yalnız 2 kg·m/s olurdu. Geri sekmek, durmaktan daha büyük itme ister; çünkü duvar önce topu durdurur, sonra da ters yönde hızlandırır. Geri dönüş hızı da 10 m/s olsaydı değişim 4 kg·m/s olurdu, kinetik enerjisi ise hiç değişmezdi.

Aynı itmeyi uzun sürede vermek

Kancadaki iki inişe dönelim ve sayıları varsayımsal seçelim. 60 g'lık yumurta 1,8 m'den düşüp 6 m/s ile zemine varıyor; momentumu 0,36 kg·m/s. Fayansta yumurta yaklaşık 0,002 s'de durursa ortalama kuvvet 0,36 / 0,002 = 180 N olur. Süngerde durma 0,12 s sürerse kuvvet 3 N'a iner. Momentum değişimi iki durumda da aynı, Gizem bu konuda haklıydı; ama durma süresi 60 kat uzayınca ortalama kuvvet 60'ta birine düşer. Otomobillerdeki hava yastığı, sporcuların yere inerken dizlerini bükmesi, kalecinin topu tutarken kollarını geriye çekmesi aynı ilkeye dayanır: değişimi engellemezler, ona daha uzun süre tanırlar. Bunun tersi de kullanılır. Bir raket ya da sopa topla daha uzun süre temas ederse aynı kuvvet daha büyük itme verir; vuruştan sonra kolun hareketi sürdürmesinin nedeni budur.

Yere inişte ağırlığı unutmamak

F = Δp / Δt bağıntısındaki F, net kuvvettir. Düşey bir inişte cisme hem zeminin yukarı kuvveti hem de ağırlığı etki eder. 50 kg'lık bir öğrenci 4 m/s ile yere değip 0,25 s'de duruyorsa net kuvvet 200 / 0,25 = 800 N'dur ve yukarı yönlüdür. Zeminin uyguladığı kuvvet ağırlığı da dengelemek zorunda olduğundan 800 + 500 = 1300 N olur. Çarpışma süresi çok kısa olduğunda net kuvvet ağırlığın çok üstüne çıkar ve ağırlık ihmal edilebilir; süre uzadıkça ihmal hatalı bir sonuca götürür.

İki boyutta momentum değişimi

Momentum vektör olduğu için iki boyutlu bir çarpmada değişim de vektör farkıyla bulunur. «Vektörlerde toplama ve bileşenler» dersinin yöntemi burada da işler: her momentum duvara dik ve duvara paralel iki bileşene ayrılır. 0,5 kg'lık bir top, sürtünmesiz bir duvara normalle 37° açı yapan bir doğrultuda 10 m/s hızla çarpıyor ve aynı hızla, normalle yine 37° yaparak yansıyor (37°'nin kosinüsü 0,8, sinüsü 0,6 alınsın). Hızın duvara dik bileşeni 8 m/s, paralel bileşeni 6 m/s'dir. Duvar yalnız dik doğrultuda kuvvet uygular: paralel bileşen olduğu gibi kalır, dik bileşen yön değiştirir. Değişim yalnız dik doğrultudadır ve büyüklüğü 0,5 · (8 + 8) = 8 kg·m/s olur. Hızın büyüklüğü değişmediği hâlde momentum değişmiştir. Bir başka durumda doğuya giden cisim çarpmadan sonra kuzeye gidiyorsa ilk ve son momentumlar birbirine diktir ve değişimin büyüklüğü Pisagor bağıntısıyla bulunur.

Bir cisimden iki cisme

Bu dersteki her hesapta tek bir cismi ve ona dışarıdan uygulanan kuvveti izledik. Peki iki cisim yalnız birbirini itiyorsa, örneğin buz üstünde duran iki patenci el ele itişip ayrılıyorsa? Etki-tepki yasasına göre birbirlerine uyguladıkları kuvvetler eşit büyüklükte ve zıt yöndedir, temas süreleri de ortaktır; o hâlde birbirlerine verdikleri itmeler de eşit ve zıt olmalıdır. Bir cismin kazandığı momentumu öteki ters yönde kazanıyorsa ikisinin toplam momentumuna ne olur, ve kütleleri farklıysa hangisi daha hızlı uzaklaşır? «Momentumun korunumu» dersi bu toplamı izleyecek.

Örnek 1 — Duvardan geri dönen top

Soru: 0,4 kg kütleli bir hentbol topu duvara 15 m/s ile dik çarpıyor ve 10 m/s ile aynı doğrultuda geri dönüyor. Top duvarla 0,025 s temas ettiğine göre duvarın topa uyguladığı ortalama kuvvet kaç N'dur?

• A) F_ort = 80 N
• B) F_ort = 240 N
• C) F_ort = 400 N
• D) F_ort = 10 N
• E) F_ort = 160 N

Çözüm: Geliş yönü artı seçilirse ilk momentum 0,4 · 15 = 6, son momentum 0,4 · (−10) = −4 kg·m/s olur. Değişimin büyüklüğü 6 − (−4) = 10 kg·m/s'dir ve ortalama kuvvet 10 / 0,025 = 400 N bulunur. Hızlar çıkarılıp 5 m/s alınırsa 80 N, yalnız durdurma hesaba katılırsa 240 N, yalnız geri fırlatma hesaba katılırsa 160 N çıkar. 10, momentum değişiminin kendisidir; süreye bölünmemiştir. Cevap: C.

Örnek 2 — Grafikten son hız

Soru: 3 m/s ile ilerleyen 5 kg'lık bir arabaya hareket yönünde bir kuvvet uygulanıyor. Kuvvet ilk 0,2 s'de sıfırdan 50 N'a doğrusal olarak artıyor, 0,2 s ile 0,6 s arasında 50 N'da sabit kalıyor, sonra birden kesiliyor. Sürtünme yoksa arabanın son hızı nedir?

• A) araba 8 m/s ile gider
• B) araba 5 m/s ile gider
• C) araba 9 m/s ile gider
• D) araba 7 m/s ile gider
• E) araba 3 m/s ile gider

Çözüm: İtme, grafiğin altındaki alandır. Üçgen kısım ½ · 0,2 · 50 = 5 N·s, dikdörtgen kısım 0,4 · 50 = 20 N·s verir; toplam 25 N·s. Hız değişimi 25 / 5 = 5 m/s olduğundan son hız 3 + 5 = 8 m/s'dir. İlk hız eklenmezse 5 m/s, kuvvet baştan beri 50 N sanılırsa 9 m/s, üçgen kısım atlanırsa 7 m/s bulunur. Cevap: A.

Örnek 3 — Dizleri bükerek inmek

Soru: 60 kg'lık Fikret alçak bir duvardan atlayıp yere 6 m/s ile değiyor (sayılar varsayımsal). Dizlerini bükerek inince durması 0,4 s sürüyor. g = 10 m/s² alınırsa zeminin Fikret'e uyguladığı ortalama kuvvet kaç N'dur?

• A) 900 N
• B) 300 N
• C) 3600 N
• D) 4200 N
• E) 1500 N

Çözüm: Momentum değişimi 60 · 6 = 360 kg·m/s'dir. Ortalama net kuvvet 360 / 0,4 = 900 N ve yukarı yönlüdür. Zemin bu net kuvveti sağlarken 600 N'luk ağırlığı da karşılamak zorundadır: 900 + 600 = 1500 N. Ağırlık unutulursa 900 N, ağırlık ters yönde hesaba katılırsa 300 N çıkar. 3600 N ve 4200 N, aynı inişi 0,1 s'de dizler kilitli yapmanın net ve zemin kuvvetleridir; süre dört kat kısalınca net kuvvet dört kat büyür. Cevap: E.

Örnek 4 — Doğudan kuzeye dönen bilye

Soru: Düz bir masada 0,5 kg'lık bir metal bilye doğuya 6 m/s ile ilerliyor. Fırat bilyeye yandan bir cetvelle vuruyor ve bilye kuzeye 8 m/s ile gitmeye başlıyor; darbe sırasında masanın etkisi ihmal ediliyor. Cetvelin bilyeye verdiği itmenin büyüklüğü kaç N·s'dir?

• A) I = 1 N·s
• B) I = 7 N·s
• C) I = 5 N·s
• D) I = 10 N·s
• E) I = √7 N·s

Çözüm: İlk momentum doğuya 3 kg·m/s, son momentum kuzeye 4 kg·m/s'dir. Değişim, son eksi ilktir: kuzeye 4 ve batıya 3 kg·m/s bileşenleri vardır. Bu iki bileşen dik olduğundan büyüklük √(9 + 16) = 5 N·s olur. Büyüklükler çıkarılırsa 1, toplanırsa 7 N·s çıkar; kütle unutulup hızlarla işlem yapılırsa 10 bulunur, √7 ise karelerin farkından gelir. Cevap: C.

• Geri sekmede hızları çıkarmak. Zıt yönlü iki hızın değişimi büyüklüklerin toplamıdır; 10 m/s ile gelip 8 m/s ile dönen topun hız değişimi 18 m/s'dir, 2 m/s değil.
• Yumuşak zeminin momentum değişimini azalttığını sanmak. Durana kadar değişim aynıdır; yumuşak zemin süreyi uzatarak ortalama kuvveti küçültür.
• Momentum ile kinetik enerjiyi aynı sanmak. Aynı hızla geri dönen topun kinetik enerjisi değişmez, momentumu değişir; momentumları eşit cisimlerden hafif olanın kinetik enerjisi büyüktür.
• Düşey inişte ağırlığı unutmak. Δp / Δt net kuvveti verir; zeminin kuvveti bulunurken ağırlık eklenir.
• F-t grafiğinde tepe değeriyle çalışmak. İtme alandır; üçgende ½ çarpanı unutulursa itme iki katına çıkar. Ortalama kuvvet de tepe değer değil, alanın süreye bölümüdür.
• Eğik çarpmada bütün hızı değişime katmak. Sürtünmesiz duvar yalnız dik bileşeni değiştirir; paralel bileşen olduğu gibi kalır.