İş-enerji teoremi

Çınar, alışveriş merkezinin boş otopark katında, içinde su bidonları olan alışveriş arabasını kardeşine doğru itiyor. Arabanın yüküyle birlikte kütlesi 40 kg; Çınar 5 m boyunca arkasından yaklaşık 60 N'luk sabit bir kuvvetle ittiğini tahmin ediyor. Kafasında hesap hazır: 60 · 5 = 300 J iş yaptım, bu iş arabanın hareket enerjisi oldu, ½ · 40 · v² = 300 ve v ≈ 3,9 m/s. Araba elinden çıktığında bu hızdan belirgin biçimde yavaş görünüyor ve kardeşine varmadan duruyor. Çınar'ın çarpması doğru, toplaması eksik: arabaya etki eden tek kuvvet onun eli değildi. Bu derste bir cisme etki eden bütün kuvvetlerin işini işaretiyle toplayıp hız değişimini bulmayı, değişken kuvvetin işini grafikten okumayı ve kaybolan enerjinin nereye gittiğini hesaplamayı öğreniyoruz.

• Bir cisme etki eden her kuvvetin işini işaretiyle yazıp net işten hız değişimini bulursun.
• Değişken bir kuvvetin işini kuvvet-konum grafiğinin işaretli alanından hesaplarsın.
• Sürtünmeli eğik düzlem, yay ve eğri yol düzeneklerinde ısıya dönüşen enerjiyi ve son hızı birlikte çözersin.
• Anlık gücü P = F · v ile hesaplar, verimle birleştirip motor sorularını çözersin.

Çınar'ın hesabında eksik olan

Alışveriş arabasının tekerlekleri yerde yuvarlanırken harekete karşı koyan küçük bir direnç oluşur. Varsayımsal olarak bu direnç 20 N olsun. İtme süresince arabaya yatayda iki kuvvet etki eder: Çınar'ın 60 N'luk itişi ileri, 20 N'luk direnç geri. İtişin işi +300 J, direncin işi −100 J'dür ve araba ikisinin toplamı olan 200 J'ü kinetik enerji olarak kazanır. ½ · 40 · v² = 200 eşitliği v² = 10, yani v ≈ 3,2 m/s verir. Çınar elini çektikten sonra yalnız direnç kalır; 200 J'lük kinetik enerji 20 N'luk kuvvetin her metrede aldığı 20 J ile tükenir ve araba 10 m daha gidip durur. Ağırlık ile zeminin tepki kuvveti de oradadır, ama ikisi de harekete diktir ve işe katılmaz.

Hesabın düzeltilmesi tek bir cümleye sığar: hızı değiştiren, tek bir kuvvetin işi değil, bütün kuvvetlerin işlerinin işaretli toplamıdır.

Teoremin AYT okuması

TYT'deki kinetik ve potansiyel enerji dersinde iş-kinetik enerji teoremiyle tanışmıştık: W_net = E_k,son − E_k,ilk. Teoremin nereden geldiğini görmek, onu ne zaman kullanabileceğimizi de söyler. Sabit net kuvvet altında cisim düzgün hızlanır ve ivmeli hareket dersindeki zamansız hız bağıntısı geçerlidir: v² = v₀² + 2 · a · Δx. İki yanı ½ · m ile çarpıp m · a yerine F_net yazınca:

F_net · Δx = ½ · m · v² − ½ · m · v₀²

Sol taraf net işin kendisidir. Bu türetmede zaman hiç geçmez. Teoremin en büyük kazancı da budur: süre sorulmayan, buna karşılık yol ve hız soran her soruda ivmeyi hesaplamadan doğrudan sonuca gidilir. Net kuvvet yol boyunca değişse bile ilişki geçerliliğini korur; bu durumda net iş, her kısa parçadaki işlerin toplamı olarak bulunur.

Net işi iki yoldan hesaplayabiliriz: ya net kuvveti bulup yer değiştirmeyle çarparız ya da her kuvvetin işini ayrı ayrı bulup toplarız. AYT sorularında ikinci yol daha güvenlidir, çünkü hangi kuvvetin enerji verdiğini, hangisinin aldığını görünür kılar.

Kuvvetleri tek tek sıralamak

Pürüzlü bir eğik düzlem yatayla 37° açı yapıyor; üstünde 2 kg kütleli bir blok duruyor ve serbest bırakılınca düzlem boyunca 9 m kayıyor. Blok ile düzlem arasında k_k = 0,5 (sin37° = 0,6 ve cos37° = 0,8 alınıyor). Blok bu 9 m'de 9 · 0,6 = 5,4 m alçalır. Kuvvetleri tabloya dökelim:

Net iş 36 J'dür; ½ · 2 · v² = 36 eşitliğinden blok dipte 6 m/s ile hareket eder. Ağırlığın işini m · g · h olarak da yazabiliriz: 2 · 10 · 5,4 = 108 J. Sonucun iki yoldan aynı çıkması, yerçekiminin işinin yalnız yükseklik farkına bağlı olduğunu bir kez daha gösterir.

Sürtünme kuvvetinde normal kuvvet m · g değil, m · g · cos α'dır. Eğik düzlemde normal kuvveti ağırlığa eşit sanmak, sürtünmenin işini büyütür ve hızı olduğundan küçük çıkarır.

Sürtünmenin aldığı enerji nereye gider?

Örnekteki blok 108 J'lük potansiyel enerji kaybetti, yalnız 36 J kinetik enerji kazandı. Aradaki 72 J, enerjinin korunumu ve dönüşümü dersinde gördüğümüz gibi blok ile düzlemin yüzeyinde ısıya dönüştü. Isıya giden enerji, sürtünmenin yaptığı negatif işin büyüklüğüdür:

Q = k_k · N · d

Burada d, kayma yolunun uzunluğudur, yükseklik değil. Sürtünmenin işi bu yüzden yola bağlıdır: aynı iki nokta arasında daha uzun bir yoldan kayan cisim daha çok enerjiyi ısıya verir. Yerçekiminin işi ise yolun biçimini umursamaz. Bu iki davranış, iş-enerji sorularının çoğunda karşı karşıya gelir.

Teoremi sürtünmeyi açıkça içeren biçimde de yazabiliriz. Yerçekiminin işini potansiyel enerji farkı olarak sol tarafa taşırsak, mekanik enerjideki azalma sürtünmenin ısıya çevirdiği enerjiye eşit olur: E_mek,ilk − E_mek,son = Q.

Değişken kuvvet: grafiğin altındaki alan

Kuvvet yol boyunca değişiyorsa F · d çarpımı kullanılamaz. TYT'deki iş dersinde kuvvet-konum grafiğinin altındaki alanın işi verdiğini görmüştük. AYT'de bu grafikler genellikle birkaç parçadan oluşur ve kuvvet bir bölgede yön değiştirebilir.

Sürtünmesiz yatay bir yüzeyde duran 8 kg'lık bir oyuncak vagon düşünelim. Vagona etki eden yatay kuvvet ilk 4 m'de 0'dan 20 N'a doğrusal artıyor, 4 m ile 6 m arasında 20 N'da sabit kalıyor, 6 m ile 8 m arasında yeniden 0'a iniyor. Alanlar sırasıyla 40 J (üçgen), 40 J (dikdörtgen) ve 20 J (üçgen), toplam 100 J'dür. ½ · 8 · v² = 100 eşitliğinden vagon 8 m sonunda 5 m/s hızla gider.

Grafik konum ekseninin altına inen bir bölge içeriyorsa, kuvvet o bölgede harekete zıttır ve alan eksi işaretle toplanır. Eksi bölge cismi yavaşlatır; kuvvetin artı değerden eksiye geçtiği konum, cismin en hızlı olduğu yerdir. Sürtünme de varsa en büyük hız, itici kuvvetin sürtünme kuvvetine eşitlendiği konumda görülür, çünkü net kuvvet orada işaret değiştirir.

Yay kuvveti ve yay potansiyel enerjisi

Yayın uyguladığı kuvvet, yayın denge konumundan uzaklaşma miktarıyla orantılıdır. TYT'de yay sabitini k ile yazmıştık; bu derste sürtünme katsayısı k_k ile aynı denklemlerde yer alacağı için yay sabitini k_y ile gösteriyoruz (birimi N/m). Yayın kuvveti F = k_y · x, kuvvet-konum grafiği orijinden geçen bir doğrudur ve yayı x kadar sıkıştırmak için yapılan iş üçgenin alanıdır:

E_yay = ½ · k_y · x²

Serbest kalan yay bu enerjiyi bloğa iş olarak geri verir. Yay sabiti 200 N/m olan bir yay 0,2 m sıkıştırılıp önündeki 0,5 kg'lık blok bırakılırsa, yay bloğa 4 J iş yapar ve blok sürtünmesiz bölgede 4 m/s ile fırlar. Blok sonra k_k = 0,4 olan pürüzlü bir şeride girerse 0,4 · 5 = 2 N'luk sürtünmeyle karşılaşır ve 4 J'lük enerjisini 2 m'de bitirir.

Yay sorularında iki dikkat noktası vardır. Sıkışma santimetreyle verildiyse metreye çevrilir; karesi alındığı için bu hata sonucu on bin kat bozar. Ayrıca yayın verdiği enerji sıkışmanın karesiyle büyür: iki kat sıkıştırılan yay dört kat enerji depolar.

Eğri yollar ve atışlar

Sürtünmesiz eğri bir rampada cisme iki kuvvet etki eder: ağırlık ve yolun tepki kuvveti. Tepki kuvveti yüzeye her noktada diktir, hız ise yüzeye teğettir; bu yüzden tepki kuvveti yolun hiçbir parçasında iş yapmaz. Geriye yalnız ağırlığın işi kalır ve o da yükseklik farkıyla belirlenir. Kıvrımlı bir rampanın dibindeki hız, rampanın biçiminden bağımsız olarak v² = v₀² + 2 · g · h ile bulunur.

Önceki dersteki eğik atış da aynı mantıkla okunur. Havada ilerleyen taşa yalnız ağırlık etki eder ve ağırlığın işi m · g · h'dir. 15 m yüksekteki bir pencereden 10 m/s'lik hızla fırlatılan bir taşın yere varış hızı, yukarı, aşağı ya da yatay atılmış olmasından bağımsız olarak v² = 100 + 2 · 10 · 15 = 400, yani 20 m/s çıkar. Hızı bileşenlere ayırmadan varılan bu sonuç, yalnız hızın büyüklüğünü verir; yönü ve süreyi bulmak için yine bileşenlere dönmek gerekir.

Eğri yolda sürtünme varsa normal kuvvet her noktada değişir ve Q = k_k · N · d formülü kolayca uygulanamaz. Bu durumda ısıya giden enerji, giriş ile çıkış arasındaki mekanik enerji farkından bulunur. 5 m yüksekliğindeki kıvrımlı bir kaydıraktan durgun başlayan 30 kg'lık bir çocuk dibe 8 m/s ile varıyorsa, 1500 J'lük potansiyel enerjinin 960 J'ü kinetik enerjiye dönüşmüş, 540 J'ü ısıya gitmiştir.

Güç ve verim

TYT'deki güç dersinde gücü birim zamanda yapılan iş olarak tanımlamıştık. Bir kuvvet, hızı v olan bir cisme hız doğrultusunda etki ediyorsa, çok kısa bir sürede yaptığı iş F · Δx, gücü F · Δx / Δt'dir; bu da anlık güç ilişkisini verir: P = F · v. Sabit kuvvetle hızlanan bir cisimde hız arttıkça anlık güç de artar. Ortalama güç ise toplam işin toplam süreye bölümüdür.

Sabit hızla hareket eden bir sistemde motorun kuvveti, harekete karşı koyan kuvvetlerin toplamına eşittir. Yükü sabit hızla yükselten bir vinçte bu kuvvet yükün ağırlığıdır: 240 kg'lık bir yükü 0,5 m/s ile kaldıran vincin yüke aktardığı güç 2400 · 0,5 = 1200 W'tır. Verim dersindeki tanımla vincin verimi %80 ise elektrik şebekesinden çektiği güç 1200 / 0,8 = 1500 W olur. Yokuş çıkan bir araçta motorun yenmesi gereken kuvvet, ağırlığın yola paralel bileşeni m · g · sin α ile sürtünme ve hava direncinin toplamıdır. Gücü sınırlı bir motor bu kuvvet büyüdükçe daha düşük bir hıza razı olur.

Bir iş-enerji sorusunu kurarken

Önce başlangıç ve bitiş noktaları seçilir. Aradaki yolda cisme etki eden kuvvetler listelenir ve her birinin işi işaretiyle yazılır: harekete dik kuvvetler sıfır, harekete zıt kuvvetler eksi. Değişken kuvvetin işi grafikten, yayın işi ½ · k_y · x² ile, ağırlığın işi yükseklik farkından gelir. Toplam, kinetik enerji değişimine eşitlenir. Soru ısı istiyorsa sürtünmenin işinin büyüklüğü, güç istiyorsa iş bölü süre ya da kuvvet çarpı hız kullanılır.

Bu derste kuvveti yol boyunca topladık ve kinetik enerjideki değişimi bulduk. Bir duvara çarpıp aynı süratle geri seken topta bu hesap sıfır verir: kinetik enerji başta ve sonda eşittir, net iş yoktur. Oysa duvar topa çok kısa bir sürede büyük bir kuvvet uygulamış ve hareketin yönünü tersine çevirmiştir. Bu etkiyi görmek için kuvveti bu kez süre boyunca toplamak gerekir: kuvvet-zaman grafiğinin altındaki alan itmeyi, itme de kütle ile hızın çarpımı olan momentumdaki değişimi verir. Sıradaki ders, itme ve momentum, bu ikinci hesabı kuruyor.

Örnek 1 — Açılı çekiş ve sürtünme

Soru: Cansu, yatay ve pürüzlü bir zeminde duran, kütlesi 2 kg gelen bir kutuyu, yatayla yukarı doğru 37° açı yapan bir iple 20 N'luk kuvvetle çekiyor. Kutunun zeminle arasındaki k_k değeri 0,5. Kutu 3 m yol aldığında hızı m/s cinsinden ne olur? [g: 10 m/s² | sin37°: 0,6 | cos37°: 0,8]

• A) v_son = 3√2
• B) v_son = 4√3
• C) v_son = 6
• D) v_son = √30
• E) v_son = 2√15

Çözüm: İpin yatay bileşeni 16 N, düşey bileşeni 12 N'dur. Düşey bileşen kutuyu biraz kaldırdığı için normal kuvvet 20 − 12 = 8 N, sürtünme 0,5 · 8 = 4 N olur. İpin işi 16 · 3 = 48 J, sürtünmenin işi −12 J, net iş 36 J'dür. ½ · 2 · v² = 36 eşitliğinden v = 6 m/s. Normal kuvveti 20 N alan 18 J ile 3√2'ye, sürtünmeyi unutan 48 J ile 4√3'e, sin ile cos'u değiştiren √30'a, ipin bütün kuvvetini yol boyunca sayıp sürtünmeyi de unutan 2√15'e ulaşır. Cevap: C.

Örnek 2 — Yön değiştiren kuvvet

Soru: Sürtünmesiz yatay bir rayda durgun hâldeki 2 kg'lık bir araca rayla aynı doğrultuda bir kuvvet uygulanıyor. Kuvvet ilk 2 m'de 30 N'da sabit, 2 m ile 6 m arasında 30 N'dan sıfıra doğrusal azalıyor, 6 m ile 8 m arasında ise hareketin tersi yönde 10 N'luk sabit değer alıyor. Araç x = 8 m konumuna vardığında hızı m/s cinsinden kaçtır?

• A) v_son = 2√35
• B) v_son = 2√30
• C) v_son = 4√10
• D) v_son = 5√2
• E) v_son = 10

Çözüm: Alanlar: dikdörtgen 30 · 2 = 60 J, üçgen ½ · 4 · 30 = 60 J, ters yönlü bölge −10 · 2 = −20 J. Net iş 100 J, ½ · 2 · v² = 100 ve v = 10 m/s. Son bölgeyi artı sayan 140 J ile 2√35'e, aracın 6 m'deki en büyük hızını cevap sanan 120 J ile 2√30'a, üçgeni dikdörtgen gibi hesaplayan 160 J ile 4√10'a, kinetik enerjideki ½'yi unutan 5√2'ye gider. Cevap: E.

Örnek 3 — Yay, pürüzlü şerit ve rampa

Soru: Yay sabiti k_y = 800 N/m olan bir yay 10 cm sıkıştırılıyor ve önündeki 0,5 kg'lık blok bırakılıyor. Blok yaydan ayrıldıktan sonra 1,5 m uzunluğundaki yatay bir şeritten (k_k = 0,2) geçiyor, ardından sürtünmesiz eğri bir rampaya tırmanıyor. Yolun geri kalanı sürtünmesizdir. Blok, şeridin bulunduğu düzeyden en çok ne kadar yükselir? [g: 10 m/s² kabul edilecek]

• A) h = 0,5 m
• B) h = 0,8 m
• C) h = 1,3 m
• D) h = 0,77 m
• E) h = 7,7 m

Çözüm: Yay enerjisi ½ · 800 · 0,1² = 4 J. Şeritte sürtünme 0,2 · 5 = 1 N, kayıp 1,5 J. Kalan 2,5 J rampada potansiyel enerjiye döner: 0,5 · 10 · h = 2,5 ve h = 0,5 m. Sürtünmeyi atlayan 0,8 m, yay enerjisinde ½'yi unutan 1,3 m, sürtünmeyi ağırlıkla değil kütleyle çarpan 0,77 m, sıkışmanın karesini almayan 7,7 m bulur. Cevap: A.

Örnek 4 — Yokuşta motor verimi

Soru: Kütlesi 1200 kg olan bir araç, her 100 m'de 5 m yükselen bir yokuşu 15 m/s sabit hızla çıkıyor. Araca harekete zıt yönde toplam 400 N'luk sürtünme ve hava direnci etki ediyor. Motorun yakıttan aldığı güç 25 kW ise motorun verimi yüzde kaçtır? [g: 10 m/s² kabul edilecek]

• A) verim %36
• B) verim %24
• C) verim %40
• D) verim %60
• E) verim %27,6

Çözüm: Yolun eğimi sin α = 5 / 100 = 0,05'tir. Ağırlığın yola paralel bileşeni 12 000 · 0,05 = 600 N, motorun yenmesi gereken toplam kuvvet 1000 N'dur. Yararlı güç 1000 · 15 = 15 000 W, verim 15 / 25 = 0,6. Direnci unutan %36'ya, yokuşu unutan %24'e, verim yerine boşa giden payı yazan %40'a, kütleyi ağırlık yerine kullanan (1200 · 0,05 = 60 N) %27,6'ya ulaşır. Cevap: D.

• Yalnız uygulanan kuvvetin işini kinetik enerjiye eşitlemek. Teorem net işle kurulur; sürtünme, direnç, ağırlığın bileşeni ve yay kuvveti de işaretleriyle toplama girer. Kancadaki hesap bu yüzden hızı büyük çıkarır.
• Eğik düzlemde ya da açılı çekişte normal kuvveti m · g almak. Eğik düzlemde N = m · g · cos α'dır; yukarı açılı çekişte kuvvetin düşey bileşeni normal kuvveti azaltır. Yanlış normal kuvvet sürtünmenin işini bozar.
• F-x grafiğinde eksen altındaki alanı artı saymak. Kuvvet harekete zıt döndüğünde alan eksi işaretle toplanır; en büyük hız, net kuvvetin işaret değiştirdiği konumdadır, yolun sonunda değil.
• Sürtünmenin işini yükseklikle hesaplamak. Yerçekiminin işi yükseklik farkına, sürtünmenin işi kayma yoluna bağlıdır. Eğri ve sürtünmeli yolda ısı, mekanik enerji farkından bulunur.
• Yay enerjisinde santimetreyi çevirmemek ya da kareyi unutmak. E_yay = ½ · k_y · x² ifadesinde x metre cinsindendir; ½ · k_y · x yazmak enerjiyi değil başka bir sayıyı verir.