Serbest düşme

Bilge ile kuzeni Cemre, babaannelerinin bahçesindeki eski kuyunun ağzına eğilmiş. Kuyuya bir motor hortumu sarkıtılacak ve kaç metrelik hortum alınacağını bilen yok. Bilge bir çakıl bırakıp suya çarpma sesini bekliyor; sesin kuyudan yukarı çıkışı saniyenin küçük bir kesri sürdüğü için bunu ihmal edelim ve sesin yaklaşık 2 s sonra geldiğini varsayalım. Hesabı hemen yapıyor: «Taş ilk saniyede 5 metre iner, iki saniyede 10 metre eder.» Cemre aynı süreden 20 m çıkarıyor. Hortum Bilge'nin sayısına göre alınsaydı suya hiç değmez, kuyunun ortasında sallanırdı. Bilge'nin varsayımı, düşen taşın her saniye aynı yolu kat ettiği; oysa ikinci saniyede taş, ilkinde aldığının üç katını alır. Bu derste düşen cismin hızını ve yolunu zamana bağlamayı, son saniyeden yüksekliğe geri gitmeyi ve arka arkaya bırakılan cisimlerin arasını ölçmeyi öğreniyoruz.

• Serbest düşen cismin herhangi bir andaki hızını, o ana kadar düştüğü yolu ve düşme süresini hesaplarsın.
• Ardışık eşit sürelerdeki yolların 1 : 3 : 5 düzenini ve son saniyede alınan yolu kullanarak yüksekliği bulursun.
• Farklı anlarda bırakılan iki cismin arasındaki uzaklığın zamanla nasıl değiştiğini hesaplarsın.
• Serbest düşmenin ivme, hız ve yol grafiklerini çizer, eğim ile alandan sayı okursun.

Yüzey ortadan kalkınca geriye ne kalır?

Eğik düzlemde eğim dikleştikçe yüzeyin cisme katkısı küçülüyordu. Şimdi yüzeyi tümüyle kaldıralım: elden bırakılan bir taşa ne normal kuvvet etki eder ne de sürtünme. Hava direncini de ihmal edersek taşa etki eden tek kuvvet ağırlıktır. Newton'un ikinci yasasını aşağı yönde yazınca m · g = m · a çıkar; kütle iki yanda birbirini götürür ve ivme g olur. Serbest düşme, durgun hâlden bırakılan bir cismin yalnız ağırlığının etkisiyle yaptığı harekettir; ilk hızı sıfırdır, ivmesi her an aynı yönde ve aynı büyüklüktedir.

Yeryüzü yakınında g yaklaşık 9,8 m/s²'dir; bu derste hesapları kolaylaştırmak için 10 m/s² alıyoruz. İvmenin kütleden bağımsız olması günlük gözleme ters gelir, çünkü havada bir tüy ile bir bilye çok farklı düşer. Fark havadan gelir: havası boşaltılmış bir tüpte tüy ile bilye yan yana iner. Aynı gösteri Ay'da da yapıldı; Apollo 15 astronotu bir çekiç ile bir tüyü aynı anda bıraktı ve ikisi yüzeye birlikte vardı. Ay'da g yaklaşık 1,6 m/s² olduğu için iniş yavaştı, ama iki cisim için ortaktı.

Hız doğrusal, yol karesel büyür

TYT'de İvmeli hareket dersinde kurduğumuz denklemlerde ilk hızı sıfır, ivmeyi g alırsak serbest düşmenin bağıntıları kalır. Aşağı yönü pozitif seçersek:

• Hız: v = g · t
• Düşülen yol: h = ½ · g · t²
• Süresiz bağıntı: v² = 2 · g · h

İlk dört saniyeyi bir tabloya dökelim:

Hız her saniye 10 m/s eklenerek büyür; toplam yol ise zamanın karesiyle. Bir saniyelik dilimde alınan yol, metre olarak, o dilimin ortasındaki hızın m/s cinsinden değerine eşittir: ikinci saniyede taş 15 m iner ve 1,5 s anında hızı tam 15 m/s'dir. Hız düzgün değiştiği için dilimin ortalama hızı ortasındaki hızdır.

1 : 3 : 5 düzeni ve kuyunun derinliği

Tablonun son sütunu 5, 15, 25, 35 diye gider; oranları 1 : 3 : 5 : 7'dir. TYT'de bu düzeni genel ivmeli hareket için görmüştük; serbest düşmede n. saniyede alınan yol 5 · (2n − 1) metredir. Düzen yalnız bir saniyelik dilimlere özgü değildir. Yarım saniyelik dilimlerde taş 1,25 m, sonra 3,75 m, sonra 6,25 m iner; oranlar yine 1 : 3 : 5'tir. Eşit süreli ardışık dilimler, durgun başlangıçtan sayıldığı sürece, hep tek sayılarla büyür.

Kancadaki hata burada görünür. Bilge iki saniyeyi 5 + 5 diye topladı; doğrusu 5 + 15 = 20 m'dir. Düşme süresini yükseklikten bulmak için yol denklemi ters çevrilir: t = √(2 · h / g). Yükseklik dört katına çıktığında süre yalnız iki katına çıkar: 20 m'lik kuyuda 2 s süren düşüş, 80 m'lik bir kulede 4 s sürer. Yere çarpma hızı v = √(2 · g · h) ile bulunur; enerji dersinde potansiyel enerjinin kinetiğe dönüşmesinden çıkardığımız sonuçla aynıdır. 45 m'den bırakılan cisim 3 s'de iner ve suya 30 m/s ile çarpar.

Son saniyede alınan yol

Bazı sorular toplam süreyi değil, son saniyede düşülen yolu verir. Toplam süre T ise son saniyedeki yol, T saniyelik yoldan T − 1 saniyelik yolun çıkarılmasıyla bulunur:

h_son = ½ · g · T² − ½ · g · (T − 1)² = g · T − g / 2

g = 10 m/s² ile bu 10 · T − 5 olur. Son saniyede 25 m düşen bir cisim için 10 · T − 5 = 25 eşitliği T = 3 s verir; cisim 45 m'den bırakılmıştır. Aynı sonuca ortalama hızla da varılır: son saniyede 25 m alınıyorsa o saniyenin ortasında, yani T − 0,5 anında hız 25 m/s'dir; bu an 2,5 s olduğundan T = 3 s olur. İki yolun birbirini denetlemesi hesap hatasını erken yakalatır.

Farklı anlarda bırakılan iki cisim

Bir kulenin tepesinden önce A taşı, Δt kadar sonra aynı noktadan B taşı bırakılsın. İki taşın ivmesi de g olduğundan, FZ09'daki bağıl hareket dersinin diliyle, birbirlerine göre ivmeleri sıfırdır. B bırakıldığı anda A'nın hızı g · Δt'dir ve bu hız farkı düşüş boyunca hiç değişmez. B'nin bırakılmasından t' kadar sonra aralarındaki uzaklık:

d = ½ · g · Δt² + g · Δt · t'

İlk terim B bırakılırken A'nın aldığı öndür, ikincisi sabit hız farkının biriktirdiği uzaklıktır. Δt = 1 s ise B bırakıldığı an aradaki uzaklık 5 m'dir ve her saniye 10 m açılır: 15 m, 25 m, 35 m. Uzaklık zamanla doğrusal artar, ama sıfırdan değil 5 m'den başlar.

Aynı fikir, eşit aralıklarla damlayan bir musluğa ya da oluğa uygulanır. Bir damla yere değdiği anda yukarıda henüz kopan bir damla varsa, havadaki damlaların arasındaki boşluklar yukarıdan aşağı 1 : 3 : 5 : 7 diye büyür; anlık bir fotoğrafta damlalar aşağı indikçe seyrekleşir. Farklı yüksekliklerden bırakılan iki cismin yere aynı anda varması isteniyorsa ise iki düşme süresinin farkı kadar beklenir: 80 m'den bırakılan cisim 4 s, 20 m'den bırakılan 2 s sürer, bu yüzden alçaktaki 2 s sonra bırakılmalıdır.

Grafiklerle serbest düşme

TYT'deki hareket grafikleri dersinin eğim ve alan kuralları burada da işler. Aşağı yönü pozitif seçtiğimizde:

• İvme-zaman grafiği, 10 m/s² hizasında zaman eksenine paralel bir doğrudur.
• Hız-zaman grafiği orijinden çıkan ve eğimi 10 m/s² olan bir doğrudur; altındaki alan düşülen yolu verir. 2 s ile 4 s arasındaki yamuğun alanı (20 + 40) / 2 · 2 = 60 m'dir, tablodaki 80 − 20 farkıyla tutarlıdır.
• Düşülen yol-zaman grafiği orijinden başlayan ve giderek dikleşen bir parabol koludur; herhangi bir andaki teğetinin eğimi o anki hızdır.

Yukarı yön pozitif seçilirse işaretler değişir, fizik değişmez: ivme −10 m/s², hız-zaman doğrusu zaman ekseninin altına doğru iner. Yerden yükseklik-zaman grafiği ise H yüksekliğinden yatay bir teğetle başlar ve giderek dikleşerek sıfıra iner, çünkü başlangıçta hız sıfırdır. Soru hangi grafiği verirse versin önce pozitif yönün nereye seçildiğine bakılır.

Hava gerçekte nereye giriyor?

Buraya kadarki her sayı, havanın düşen cismi frenlemediği varsayımına dayanıyor. Küçük ve ağır bir çakıl birkaç saniyelik düşüşte bu varsayıma iyi uyar. Bir yaprak, bir yağmur damlası ya da paraşütle atlayan biri uymaz; onlar için tablomuzdaki hızlar gerçekte hiç ulaşılmayan değerlerdir. Havanın cisme uyguladığı karşı kuvvet sabit değildir, cisim hızlandıkça sertleşir; üstelik kütleye değil, cismin havaya gösterdiği kesit alanına ve biçimine bağlıdır. Bu kuvvet büyüdükçe net kuvvet küçülür, dolayısıyla ivme düşerken hız artmayı sürdürebilir. Sıradaki derste, hava direnci ve limit hız dersinde, direncin büyüklüğünü hıza bağlayan modeli kuracak, ivmenin hangi anda sıfıra indiğini ve cismin o andan sonra hangi sabit hızla düştüğünü hesaplayacağız.

Örnek 1 — Köprüden bırakılan taş

Soru: Alper bir köprünün korkuluğundan bir taş bırakıyor ve taş 3 s sonra suya değiyor. Hava direncini ihmal edip g = 10 m/s² alırsak korkuluk suyun kaç metre üstündedir?

• A) h = 45
• B) h = 90
• C) h = 30
• D) h = 15
• E) h = 60

Çözüm: h = ½ · 10 · 3² = 45 m; suya çarpma hızı 10 · 3 = 30 m/s'dir. 90 m, ½ çarpanını unutup g · t² yazmaktan; 30 m, çarpma hızını yükseklik sanmaktan; 15 m, her saniye 5 m düşüldüğünü varsaymaktan gelir. Cevap: A.

Örnek 2 — Son saniyeden yüksekliğe

Soru: Bir kulenin tepesinden bırakılan bir bilye, yere çarpmadan önceki son 1 s içinde 35 m yol alıyor. Hava direnci yok; g'yi 10 m/s² alın. Bilye kaç metreden bırakılmıştır?

• A) yükseklik = 45
• B) yükseklik = 61,25
• C) yükseklik = 125
• D) yükseklik = 80
• E) yükseklik = 70

Çözüm: Son saniyedeki yol 10 · T − 5 olduğundan 10 · T − 5 = 35 ve T = 4 s; yükseklik ½ · 10 · 16 = 80 m'dir. Denetim: 3,5 s anında hız 35 m/s, son saniyenin ortalama hızıyla aynı. 35 m/s'yi çarpma hızı sanıp v² / (2g) yazmak 61,25 m, T − 1 = 4 almak 125 m, son saniyeden önceki üç saniyenin yolunu yanıt sanmak 45 m verir. Cevap: D.

Örnek 3 — Arka arkaya iki taş

Soru: Yüksek bir kayalığın kenarından bir taş bırakılıyor; 1 s sonra aynı noktadan ikinci bir taş bırakılıyor. İkinci taş bırakıldıktan 2 s sonra iki taş arasındaki uzaklık kaç metredir? (Hava direnci yok, g = 10 m/s², taşlar bu sürede yere değmiyor.)

• A) uzaklık = 5
• B) uzaklık = 25
• C) uzaklık = 20
• D) uzaklık = 10
• E) uzaklık = 45

Çözüm: O anda ilk taş 3 s, ikinci taş 2 s düşmüştür: 45 − 20 = 25 m. Formülle de ½ · 10 · 1² + 10 · 1 · 2 = 5 + 20 = 25 m çıkar. 5 m yalnız başlangıçtaki önü, 20 m yalnız hız farkının biriktirdiğini, 45 m ise ilk taşın toplam yolunu verir. Cevap: B.

Örnek 4 — Oluktan damlayan su

Soru: Bir çatı oluğundan su damlaları eşit zaman aralıklarıyla kopuyor. Bir damla yere değdiği anda beşinci damla oluktan ayrılıyor ve oluk yerden 3,2 m yüksekte. Havadaki ikinci ve üçüncü damla arasındaki uzaklık o anda kaç metredir? (Damlalar için g = 10 m/s² alınacak, hava direnci hesaba katılmayacak.)

• A) uzaklık = 0,8
• B) uzaklık = 0,6
• C) uzaklık = 1,4
• D) uzaklık = 0,2
• E) uzaklık = 1

Çözüm: Yere değen damla dört aralık boyunca düşmüştür: ½ · 10 · (4τ)² = 3,2 eşitliği τ = 0,2 s verir. İkinci damla 0,6 s'de 1,8 m, üçüncü damla 0,4 s'de 0,8 m düşmüştür; aradaki uzaklık 1 m'dir. Boşluklar yukarıdan aşağı 0,2 : 0,6 : 1 : 1,4, yani 1 : 3 : 5 : 7 düzenindedir. 0,8 m, üçüncü damlanın düştüğü yolu aradaki uzaklık sanmaktan; 0,6 ve 1,4 m komşu boşlukları seçmekten gelir. Cevap: E.

• Her saniye aynı yolun alındığını sanmak. Durgun bırakılan cisim saniyeler boyunca 5, 15, 25, 35 m iner; iki saniyelik düşüş 10 m değil 20 m'dir.
• ½ çarpanını unutmak. h = g · t² yazılırsa yükseklik iki katı çıkar; 3 s'lik düşüş 90 m görünür.
• Son saniyedeki yolu toplam yükseklik ya da çarpma hızı sanmak. Son saniyenin yolu, o saniyenin ortasındaki hıza eşittir; çarpma hızı ondan g / 2 kadar büyüktür.
• Yükseklik ile süreyi doğru orantılı kurmak. Süre yüksekliğin karekökü ile büyür; dört kat yükseklik iki kat süre demektir.
• Arka arkaya bırakılan cisimlerin arasının sabit kaldığını sanmak. Hız farkı sabittir, bu yüzden aradaki uzaklık her saniye g · Δt kadar açılır.
• Ağır cismin daha hızlı düştüğünü düşünmek. Hava direnci yoksa ivme kütleye bağlı değildir; günlük gözlemdeki fark havadan gelir.