Eğik düzlemde hareket

Taşınma gününde Ruken ile ağabeyi Serdar, kamyonetin arka kapısına düz bir metal rampa dayıyor. Aynı model iki plastik kasadan biri boş, öbürü kitapla dolu ve neredeyse iki kat ağır; ikisini rampanın tepesinden yan yana bırakıyorlar. Ruken dolu kasanın açık ara önde ineceğini düşünüyor, ama iki kasa rampanın dibine hemen hemen aynı anda varıyor. Sonra rampayı kaldırım kenarına dayayıp daha yatık kuruyorlar; boş kasa bu kez kaymıyor, olduğu yerde duruyor. Rampa yeniden kapıya dayanıp dikleşince aynı kasa kendiliğinden kaymaya başlıyor. Kasaların ağırlığı değişmedi, değişen yalnız yüzeyin eğimi. Bu derste eğimli bir yüzeyde ağırlığın iki parçaya nasıl bölündüğünü, kütlenin ivmede neden kaybolduğunu ve bir cismin hangi eğimde durup hangisinde kaydığını hesaplamayı öğreniyoruz.

• Ağırlığı eğim boyunca ve yüzeye dik iki bileşene ayırır, normal kuvveti bulursun.
• Sürtünmesiz ve sürtünmeli eğik düzlemde aşağı kayan ya da yukarı fırlatılan cismin ivmesini hesaplarsın.
• Statik sürtünme katsayısıyla eğimi karşılaştırıp cismin durup durmayacağına karar verirsin.
• Eğimdeki ivmeyi ivmeli hareket denklemlerine taşıyarak yol, süre ve hız bulursun.

Ağırlık eğimde neden ikiye bölünür?

Düz bir tahtanın üstüne konan silgiyi düşünelim. Tahta yatayken ağırlık yüzeye tam dik düşer ve silgiyi kaydıracak hiçbir etkisi kalmaz. Tahtanın bir ucu yükseldikçe ağırlığın yönü değişmez, hep Dünya'nın merkezine bakar; değişen, yüzeyin ona göre durduğu açıdır. Silgiyi yüzeye bastıran etki azalırken onu kenara doğru sürükleyen bir etki doğar ve büyür. Vektörleri bileşenlere ayırmayı FZ09'daki bileşenler dersinde görmüştük; burada eksenleri yatay ve düşey değil, eğime paralel ve eğime dik seçeriz. Böyle seçince hareket tek bir eksende kalır ve problem bir boyuta iner.

Eğim açısına θ diyelim (yüzeyin yatayla yaptığı açı). Ağırlık ile yüzeyin dikmesi arasındaki açı da θ olur: iki doğrunun her biri ötekine göre aynı açıyla döndürülmüştür. Buradan:

• Eğim boyunca aşağı doğru bileşen: m · g · sin θ
• Yüzeye dik, yüzeye doğru bileşen: m · g · cos θ

Kütlesi 5 kg olan bir cisim 37°'lik eğimde dursun (37° için sinüs 0,6 ve kosinüs 0,8; g = 10 m/s²). Ağırlığı 50 N'dur; eğim boyunca 30 N, yüzeye dik 40 N bileşeni vardır. 30² + 40² = 50² olduğundan bileşenler ağırlığı eksiksiz verir. Açı küçüldükçe sin θ küçülür ve eğim boyunca çeken parça zayıflar; açı 0° iken bu parça yok olur, 90°'ye yaklaşırken bütün ağırlık bu parçaya geçer.

Normal kuvvet ağırlıktan küçüktür

Yüzey, cismin kendisine bastırdığı dik bileşeni dengeler. Yüzeye dik doğrultuda ivme olmadığı için başka dik kuvvet yoksa:

N = m · g · cos θ

5 kg'lık cisim için N = 40 N'dur, yani 50 N'luk ağırlıktan küçüktür. TYT'deki sürtünme dersinde yatay zeminde N = m · g yazmıştık; eğimde bu eşitlik bozulur ve sürtünme de onunla birlikte küçülür. Eğim arttıkça cos θ küçülür, yüzeyin itmesi azalır.

Sürtünmesiz eğimde ivme

Sürtünme yoksa eğim boyunca tek kuvvet m · g · sin θ'dır. Newton'un ikinci yasasını (TYT'de F = m · a diye kurduğumuz yasa) bu eksene uygularsak m · g · sin θ = m · a olur ve kütle iki taraftan sadeleşir:

a = g · sin θ

37°'lik sürtünmesiz eğimde her cisim 6 m/s² ile hızlanır; dolu kasa da boş kasa da. Kancadaki iki kasanın rampanın dibine birlikte varmasının nedeni budur: ağır cismi çeken bileşen büyüktür ama hızlandırılacak kütle de aynı oranda büyüktür. Gerçek rampada küçük farklar yüzeylerin tam aynı olmamasından ve hava direncinden gelir.

Sürtünmeli eğimde aşağı kayma

Cisim aşağı kayarken kinetik sürtünme yüzeye göre harekete zıt, yani eğim boyunca yukarı yönlüdür. Büyüklüğü f = k · N = k · m · g · cos θ'dır (k sürtünme katsayısı; birçok kaynakta μ harfiyle yazılır). Aşağı yönü pozitif alırsak:

m · g · sin θ − k · m · g · cos θ = m · a → a = g · (sin θ − k · cos θ)

Kütle yine sadeleşir. 37°'lik eğimde k = 0,25 ise ivme 10 · (0,6 − 0,2) = 4 m/s² olur. Parantez sıfıra inerse cisim ivmesiz, yani sabit hızla kayar; bu da sin θ = k · cos θ, yani tan θ = k demektir. Kinetik katsayısı 0,75 olan bir yüzeyde 37°'lik eğimden itilip bırakılan cisim hızını değiştirmeden iner.

Yukarı fırlatılan cisim

Eğim boyunca yukarı doğru hızla atılan bir cisimde sürtünme yön değiştirir: cisim yukarı gittiği için sürtünme aşağı bakar. Bileşen de aşağı baktığı için ikisi toplanır ve yavaşlatan ivme:

a = g · (sin θ + k · cos θ)

37°'lik eğimde k = 0,25 ile cisim 8 m/s² ile yavaşlar. 16 m/s ile fırlatılırsa 16 / 8 = 2 s sonra durur ve v² = 2 · a · x denkleminden 16² / (2 · 8) = 16 m çıkar. Durduğu yerde ne olacağı statik sürtünmeye bağlıdır. Geri kayarsa ivmesi bu kez 4 m/s²'dir; aynı 16 m'yi inince eteğe √(2 · 4 · 16) ≈ 11,3 m/s ile varır. Sürtünme hem çıkışta hem inişte enerji aldığından cisim fırlatıldığından yavaş döner.

Kaymadan durma şartı

Eğimde duran bir cismi tutan statik sürtünmedir ve büyüklüğü, onu aşağı çeken bileşene eşittir: f = m · g · sin θ. Bu kuvvet en çok k_s · N olabilir. Cismin kıpırdamaması için:

m · g · sin θ ≤ k_s · m · g · cos θ → tan θ ≤ k_s

Kütle burada da yok olur; durma ya da kayma yalnız açıya ve yüzeylere bağlıdır. Kancadaki kızağın yokuşun yarısında kalıp dik tarafta kayması bu eşitsizliğin iki yüzüdür. Sayısal bir örnek: 3 kg'lık cisim 37°'lik eğimde, k_s = 0,8 iken durur, çünkü tan 37° = 0,75 sınırın altındadır. Etki eden sürtünme 3 · 10 · 0,6 = 18 N'dur; 0,8 · 24 = 19,2 N yalnız ulaşılabilecek en büyük değerdir ve bu durumda kullanılmaz.

Eğime paralel kuvvetle çekmek

Cisme eğim boyunca yukarı yönde bir F kuvveti uygulanırsa ve cisim yukarı çıkıyorsa, aşağı bakan iki kuvvet (bileşen ve sürtünme) F'ye karşı koyar:

F − m · g · sin θ − k · m · g · cos θ = m · a

Kuvvet eğime paralel olduğu için normal kuvveti değiştirmez; N yine m · g · cos θ kalır. 4 kg'lık bir kasa 37°'lik eğimde k = 0,5 iken 56 N ile çekilsin. Bileşen 24 N, sürtünme 0,5 · 32 = 16 N, net kuvvet 16 N ve ivme 4 m/s² olur. Kasayı sabit hızla çıkarmak için 24 + 16 = 40 N yeter. Cisim aşağı itiliyorsa sürtünme yukarı döner ve F bileşenle aynı yönde toplanır; yönler her seferinde harekete bakılarak yeniden kurulur.

Eğim, makara ve asılı kütle

Önceki dersin sistem gözlüğü ve tek cismi yalıtma adımları eğimde de aynen işler; değişen tek şey, eğimdeki cismin ağırlığının yalnız sin θ'lı kısmının ipe karşı koymasıdır. Sürtünmesiz 37°'lik eğimde 4 kg'lık bir blok, eğimin tepesindeki makaradan dolanan ipin öteki ucunda 6 kg'lık bir yük sarkıyor olsun. Asılı kütle 60 N ile aşağı, blok 24 N'luk bileşenle ters yöne çeker. Önce yön belirlenir: 60 N büyük olduğundan asılı kütle iner, blok eğimde çıkar. Sistemin ivmesi (60 − 24) / 10 = 3,6 m/s², ipteki gerilme 6 · (10 − 3,6) = 38,4 N'dur. Bloğa ayrıca bakınca 38,4 − 24 = 4 · 3,6 eşitliği hesabı doğrular. Sürtünme varsa, yön belirlendikten sonra harekete zıt yazılır.

Eğimden ivmeli hareket denklemlerine

Eğimdeki ivme sabit olduğu için TYT'deki ivmeli hareket dersinin denklemleri olduğu gibi kullanılır: x = v₀ · t + ½ · a · t², v = v₀ + a · t ve v² = v₀² + 2 · a · x. Uzunluğu 12 m olan sürtünmesiz 37°'lik eğimin tepesinden durgun bırakılan cisim 6 m/s² ile hızlanır; 12 = ½ · 6 · t² eşitliğinden t = 2 s, alttaki hızı 6 · 2 = 12 m/s bulunur. Eğimin yüksekliği 12 · 0,6 = 7,2 m'dir ve √(2 · 10 · 7,2) de 12 m/s verir: sürtünme yoksa varış hızı yalnız düşülen yüksekliğe bağlıdır, enerji dersinden tanıdığımız bir sonuç.

Bir eğik düzlem sorusunu çözerken

Eksenler eğime paralel ve dik seçilir. Her cisim için ağırlığın iki bileşeni yazılır, dik doğrultudan N bulunur. Hareketin yönü belirlenir ve sürtünme ona zıt konur; cisim duruyorsa statik sürtünme, sınır değeriyle değil, gereken değerle yazılır. Sonra ikinci yasa eğim ekseninde kurulur ve bulunan ivme kinematik denklemlere aktarılır.

Formüllerin sınırına bakmak da yol gösterir. a = g · sin θ ifadesinde açı 90°'ye yaklaştıkça sin θ bire gider, normal kuvvet sıfıra iner ve sürtünme de ortadan kalkar: yüzeyin cisme artık hiçbir katkısı yoktur, cisim yalnız kendi ağırlığıyla g ivmesiyle hızlanır. Hiçbir yüzeye değmeden yalnız ağırlığın etkisinde kalan bu hareketin kendi denklemleri, havada bırakılan cismin hızının ve aldığı yolun zamanla nasıl değiştiği, sıradaki dersin konusudur.

Örnek 1 — Dik bileşen

Soru: Kütlesi 8 kg olan bir sandık, yatayla 53° açı yapan bir rampada duruyor. Hesapta 53° için sinüs 0,8, kosinüs 0,6 ve g = 10 m/s² kullanılırsa rampanın sandığa uyguladığı normal kuvvet kaç newtondur?

• A) N = 80
• B) N = 64
• C) N = 48
• D) N = 36
• E) N = 100

Çözüm: Ağırlık 80 N'dur. Yüzeye dik bileşen 80 · cos 53° = 80 · 0,6 = 48 N ve normal kuvvet ona eşittir. 64 N eğim boyunca olan bileşendir (sin ile cos karıştırılırsa çıkar), 80 N ise N = m · g alışkanlığından, 100 N de ağırlığı cos değerine bölmekten gelir. Cevap: C.

Örnek 2 — Sürtünmeli inişte varış hızı

Soru: Sinan 9 m uzunluğundaki 37°'lik bir kaydırağın tepesinden durgun hâlde kaymaya başlıyor. Kaydırakta k_k = 0,5; 37° için sinüs 0,6, kosinüs 0,8 ve g = 10 m/s². Kaydırağın sonuna kaç m/s hızla varır?

• A) hız = 6
• B) hız = 2
• C) hız = 3
• D) hız = 6√3
• E) hız = 12

Çözüm: İvme 10 · (0,6 − 0,5 · 0,8) = 2 m/s². v² = 2 · 2 · 9 = 36 olduğundan v = 6 m/s; süre 6 / 2 = 3 s'dir. Sürtünme unutulursa ivme 6 m/s² alınır ve 6√3 ≈ 10,4 m/s çıkar. Cevap: A.

Örnek 3 — Yukarı atış ve durma

Soru: Bir buz kalıbı 37°'lik eğik bir tahta boyunca 12 m/s ile yukarı fırlatılıyor. Tahtada k_k = 0,25; 37° için sinüs 0,6, kosinüs 0,8 ve g = 10 m/s². Kalıp durana kadar eğim boyunca kaç metre yol alır?

• A) yol = 12
• B) yol = 18
• C) yol = 7,2
• D) yol = 9
• E) yol = 4,5

Çözüm: Yukarı giderken sürtünme aşağı yönlüdür ve bileşenle toplanır: 10 · (0,6 + 0,2) = 8 m/s². Yol 12² / (2 · 8) = 9 m, durma süresi 12 / 8 = 1,5 s'dir. Sürtünme yukarı yazılırsa ivme 4 m/s² ve yol 18 m bulunur; sürtünme hiç yazılmazsa 12 m çıkar. Cevap: D.

Örnek 4 — Sürtünmeli eğim ve asılı kütle

Soru: 37°'lik eğik düzlemdeki 5 kg'lık bir blok, eğimin tepesindeki hafif ve sürtünmesiz makaradan dolanan ipin öbür ucunda sarkan 5 kg'lık bir yükle birlikte hareket ediyor. Bloğun altında k_k = 0,2; 37° için sinüs 0,6, kosinüs 0,8 ve g = 10 m/s². İpin bloğu çektiği kuvvet kaç N'dur?

• A) ip kuvveti = 50
• B) ip kuvveti = 38
• C) ip kuvveti = 25
• D) ip kuvveti = 56
• E) ip kuvveti = 44

Çözüm: Asılı kütlenin ağırlığı 50 N, bloğun eğim bileşeni 30 N'dur; asılı kütle iner, blok çıkar ve sürtünme eğim boyunca aşağı yönlüdür: 0,2 · 40 = 8 N. İvme (50 − 30 − 8) / 10 = 1,2 m/s². Asılı kütle için 50 − T = 5 · 1,2, yani T = 44 N; blok için 44 − 30 − 8 = 6 = 5 · 1,2 hesabı doğrular. Gerilmeyi asılı ağırlığa eşit sanmak 50 N, ivmeyi yukarı sanmak 56 N verir. Cevap: E.

• Sin ile cosu karıştırmak. Eğim boyunca olan bileşen sin θ ile, dik bileşen cos θ ile yazılır; θ yüzeyin yatayla yaptığı açıdır. Soru açıyı düşeyle veriyorsa önce yatayla olan açı bulunur.
• Eğimde de N = m · g yazmak. Normal kuvvet m · g · cos θ'dır; ağırlıktan küçüktür ve sürtünme de bu küçük değerden hesaplanır.
• Duran cisimde sürtünmeyi k_s · N almak. Durgun cisimde sürtünme gereken kadardır, yani m · g · sin θ; k_s · N yalnız üst sınırdır.
• Yukarı fırlatılan cisimde sürtünmeyi yukarı yazmak. Çıkışta sürtünme aşağı yönlüdür ve bileşenle toplanır; iniş ivmesi ile çıkış yavaşlaması bu yüzden farklıdır.
• Ağır cismin eğimde daha hızlı ineceğini sanmak. Sürtünmesiz ya da aynı katsayılı yüzeyde ivme kütleden bağımsızdır.
• Makaralı düzenekte yönü belirlemeden sürtünme koymak. Önce asılı ağırlık ile eğim bileşeni karşılaştırılır, sonra sürtünme bulunan yönün tersine yazılır.