Bağlı cisimler ve ip gerilmesi

Neslihan fizik kulübünde masanın üstüne 0,8 kg'lık tekerlekli bir araba koyuyor, arabaya bağladığı ipi masanın kenarındaki makaradan geçirip ucuna 0,2 kg'lık bir kütle asıyor. İpin ortasına da hafif bir dinamometre yerleştiriyor. Tahmini açık: asılı kütlenin ağırlığı 2 N olduğuna göre ip de 2 N ile gerilmeli. Kütleyi serbest bıraktığında dinamometre 1,6 N gösteriyor. Ölçü aleti bozuk değil; asılı kütle hızlanarak düştüğü için ip onu tam ağırlığı kadar tutmuyor. Aradaki 0,4 N, asılı kütleyi aşağı doğru hızlandıran net kuvvet. Bu derste birbirine iple bağlı ya da birbirine değen cisimleri hem bir bütün hem de tek tek inceleyerek ivmeyi ve iplerdeki gerilmeyi bulmayı öğreniyoruz.

• Birlikte hareket eden cisimlerin ortak ivmesini dış kuvvetlerden ve toplam kütleden hesaplarsın.
• Tek bir cismi yalıtıp ona etki eden kuvvetleri sözle sıralayarak ip gerilmesini ve temas kuvvetini bulursun.
• Masadaki blok ile asılı kütle düzeneğinde sistemin kayıp kaymadığına karar verir, ivmeyi sürtünmeyi katarak bulursun.
• Atwood makinesinde her cisim için ayrı denklem yazarak ivme ve gerilme formüllerini türetirsin.

Kabuller: ideal ip ve ideal makara

Bu derste aksi söylenmedikçe ip kütlesiz ve esnemez, makara da kütlesiz ve sürtünmesizdir. Bu kabullerin iki sonucu vardır. Birincisi, bir ipin her noktasındaki gerilme aynıdır; ip, bir uçtan aldığı kuvveti öbür uca kaybetmeden iletir. Kütlesi olsaydı ipin kendisini hızlandırmak için de kuvvet gerekirdi ve gerilme uçlar arasında değişirdi. İkincisi, ip gergin kaldığı sürece ona bağlı bütün cisimlerin hız ve ivme büyüklükleri eşittir; masadaki araba 1 m giderse asılı kütle de 1 m iner. Makara bu iletimin yönünü değiştirir, büyüklüğünü değiştirmez. Gerilme T harfiyle gösterilir ve birimi newtondur. Yerçekimi ivmesi g = 10 m/s² alınır.

Sistem gözlüğü: ortak ivme

Newton'un ikinci yasasını tek bir cisme uygulamayı TYT'de gördük (FZ03-L08, Newton'un ikinci yasası). Birbirine bağlı cisimlerde aynı yasa, bütün cisimler tek bir cisimmiş gibi de yazılabilir:

a = F_net,dış / m_toplam

Burada yalnız sistemin dışından gelen kuvvetler sayılır: çeken el, ağırlıklar, yüzeyden gelen sürtünme. İp gerilmeleri ve blokların birbirine uyguladığı itmeler iç kuvvettir. Newton'un üçüncü yasasına göre her biri sistemin içinde eşit büyüklükte ve zıt yönlü bir eşe sahiptir, bu yüzden toplamda birbirini götürür. Sistem gözlüğü ivmeyi verir ama gerilmeyi göstermez; gerilme, sistemi hesaba katarken kaybolan kuvvettir.

Tek cismi yalıtmak

Bir ipteki gerilmeyi bulmak için o ipin bir ucundaki cisim (ya da ipin bir yanında kalan cisim grubu) yalnız başına düşünülür. Şekil çizmek yerine cümleyle kuracağız: önce cisim seçilir, sonra ona değen her şey ve ağırlığı tek tek yazılır.

Sürtünmesiz yatay bir masada üç blok sırayla iple bağlı olsun: arkada 1 kg'lık X, ortada 2 kg'lık Y, önde 5 kg'lık Z. Z, önden 40 N'luk yatay bir kuvvetle çekiliyor. Toplam kütle 8 kg olduğundan ortak ivme 40 / 8 = 5 m/s²'dir.

X bloğuna etki eden kuvvetler: aşağı doğru ağırlığı, yukarı doğru masanın tepkisi (ikisi dengede) ve ileri doğru X–Y ipinin gerilmesi. X'i hızlandıran tek yatay kuvvet bu gerilmedir: T_XY = 1 · 5 = 5 N.

Y–Z ipini bulmak için X ile Y birlikte yalıtılabilir; bu ikiliyi ileri çeken tek yatay kuvvet Y–Z ipidir: T_YZ = (1 + 2) · 5 = 15 N. Aynı sonuç Z'den de çıkar. Z bloğuna etki eden yatay kuvvetler: ileri 40 N, geri Y–Z ipinin gerilmesi. 40 − T_YZ = 5 · 5 denkleminden T_YZ = 15 N bulunur. İki yoldan aynı değere ulaşmak hesabı denetlemenin en kolay yoludur.

Gerilme hangi kütleye bağlıdır?

Yukarıdaki sonuç bir kural verir: bir ip, kendisinin arkasında kalan bütün kütleyi sürükler. Bu yüzden

T = F · m_arka / m_toplam

olur. Aynı üç bloğu bu kez X'ten, ters yönde 40 N ile çekelim. İvme yine 5 m/s²'dir, çünkü toplam kütle ve dış kuvvet aynı. Ama artık X–Y ipinin arkasında Y ile Z kalır: T_XY = (2 + 5) · 5 = 35 N. Y–Z ipinin arkasında yalnız Z vardır: T_YZ = 5 · 5 = 25 N. Kuvvetin hangi uçtan uygulandığı ivmeyi değiştirmez, gerilmeleri değiştirir. Çekilen uca en yakın ip her zaman en gergin iptir; uzak uçtaki ip en az gerilir.

Sürtünme eklenince

Sürtünme kuvvetini ve f = k · N ilişkisini TYT'de işledik (FZ03-L09, Sürtünme kuvveti); katsayıyı burada da k ile, statik olanı k_s ile yazıyoruz. Bağlı bloklarda her bloğun sürtünmesi kendi ağırlığından hesaplanır ve sistemin dış kuvvetine eklenir.

Sürtünme katsayısı 0,2 olan yatay bir yüzeyde 2 kg'lık bir blok, 3 kg'lık bir bloğa iple bağlı; 3 kg'lık blok önden 30 N ile çekiliyor. Toplam sürtünme 0,2 · 50 = 10 N, net kuvvet 20 N, ivme 20 / 5 = 4 m/s²'dir. Arkadaki 2 kg'lık bloğa etki eden yatay kuvvetler: ileri doğru T, geri doğru 0,2 · 20 = 4 N sürtünme. T − 4 = 2 · 4 denklemi T = 12 N verir.

Dikkat çekici olan şudur: sürtünmesiz durumda da gerilme 30 · 2 / 5 = 12 N çıkardı. Bütün bloklarda katsayı aynıysa sürtünme her bloğu kendi kütlesiyle orantılı yavaşlattığından gerilmeyi değiştirmez; ivmeyi küçültür. Katsayılar bloktan bloğa farklıysa bu kısayol geçersizdir ve her blok için denklem ayrı yazılır.

Temas eden bloklar

İple bağlamak yerine bloklar yan yana dizilip itilirse aradaki kuvvet temas kuvvetidir. Sürtünmesiz zeminde 2 kg ve 6 kg'lık iki blok bitişik durup 24 N ile itilsin; ivme 24 / 8 = 3 m/s²'dir. İtme 2 kg'lık bloğun arkasından geliyorsa öndeki 6 kg'lık bloğu yalnız temas kuvveti hızlandırır: 6 · 3 = 18 N. Aynı 24 N, 6 kg'lık bloğun arkasından uygulanırsa öndeki artık 2 kg'lık bloktur ve temas kuvveti 2 · 3 = 6 N'a düşer. Kural ipteki ile aynıdır: temas kuvveti, itilen yüzün ötesinde kalan kütleyi hızlandırmaya yeter. Hafif blok önde olduğunda bloklar birbirine daha az bastırır.

Masadaki blok ve asılı kütle

Kancadaki düzenek bu dersin merkezindeki düzenektir: yatay masada m_A kütleli bir blok, masanın kenarındaki makaradan geçen ipin öbür ucunda düşey sarkan m_B kütlesi. Makara ipi döndürse de bir boyutlu düşünmek mümkündür: ipin doğrultusu boyunca hareket yönü pozitif alınır.

Sürtünmesiz masada sistemi hareket ettiren dış kuvvet yalnız asılı kütlenin ağırlığıdır; A'nın ağırlığını masa dengeler.

• A bloğuna etki eden kuvvetler: makaraya doğru T; düşeyde ağırlık ve masanın tepkisi. Denklem: T = m_A · a.
• B kütlesine etki eden kuvvetler: aşağı m_B · g, yukarı T. Denklem: m_B · g − T = m_B · a.

Taraf tarafa toplanınca T düşer ve a = m_B · g / (m_A + m_B) kalır. Kancada a = 2 / 1 = 2 m/s², T = 0,8 · 2 = 1,6 N bulunur. T, asılı ağırlıktan her zaman küçüktür; asılı kütle yukarı doğru T, aşağı doğru ağırlığıyla çekilip aşağı hızlanıyorsa ağırlığı daha büyük olmak zorundadır.

Masa sürtünmeliyse önce bir karar verilir. Asılı ağırlık, A'nın en büyük statik sürtünmesi k_s · m_A · g'den büyük değilse sistem hiç kıpırdamaz: ivme sıfırdır, ip asılı ağırlık kadar gerilir ve masadaki statik sürtünme tam bu değere eşit olur. 4 kg'lık A için k_s = 0,3 ise sınır 12 N'dur; 1 kg'lık asılı kütlenin 10 N'luk ağırlığı bu sınırı aşamaz. Sınır aşılırsa hesaba kinetik sürtünme girer. Masa daha kaygan olsun: statik katsayı 0,22, kinetik katsayı 0,2. Sınır artık 8,8 N'dur ve 10 N'luk asılı ağırlık bloğu kaydırır. Kinetik sürtünme 8 N, ivme (10 − 8) / 5 = 0,4 m/s², asılı kütle için 10 − T = 1 · 0,4 denkleminden T = 9,6 N olur. A'nın denklemi de doğrular: 9,6 − 8 = 4 · 0,4.

Atwood makinesi

Tavana asılı bir makaradan geçen ipin iki ucuna m₁ ve m₂ kütleleri asılırsa (m₁ > m₂) bu düzeneğe Atwood makinesi denir. Formülü ezberlemek yerine her kütle için denklemi kendi hareket yönünde yazalım. Ağır kütle iner, hafif kütle çıkar:

• m₁'e etki eden kuvvetler: aşağı m₁ · g, yukarı T. Denklem: m₁ · g − T = m₁ · a.
• m₂'ye etki eden kuvvetler: yukarı T, aşağı m₂ · g. Denklem: T − m₂ · g = m₂ · a.

İki denklem toplanınca T yok olur: a = (m₁ − m₂) · g / (m₁ + m₂). Bu ivme ikinci denkleme yerleştirilince T = 2 · m₁ · m₂ · g / (m₁ + m₂) çıkar. 7 kg ve 3 kg'lık kütleler için a = 40 / 10 = 4 m/s², T = 2 · 7 · 3 · 10 / 10 = 42 N'dur; denetim için 70 − 42 = 7 · 4 ve 42 − 30 = 3 · 4 eşitliklerine bakılır.

Bu formüller üç sonuç saklar. Kütleler eşitse ivme sıfır, gerilme bir kütlenin ağırlığı kadardır; sistem duruyorsa durur, hareket ediyorsa sabit hızla sürer. Kütleler farklıysa gerilme hafif ağırlıktan büyük, ağır ağırlıktan küçüktür ve iki ağırlığın aritmetik ortalamasının altında kalır (örnekte 42 < 50). Son olarak, makarayı tavana bağlayan çubuk iki ip kolunun toplamını, yani 2T'yi taşır: 84 N. Kütleler serbest kalınca tavana binen yük, toplam ağırlık olan 100 N'dan azalır, çünkü sistemin kütle merkezi aşağı doğru hızlanmaktadır.

Soru okuma sırası

Önce ipin ve makaranın ideal kabul edilip edilmediğine, sürtünmenin olup olmadığına bakılır. Sürtünme varsa ilk iş hareket kararıdır. Sonra sistem gözlüğüyle ivme, en az kuvvet içeren cisim yalıtılarak gerilme bulunur; sonuç öbür cismin denklemine yerleştirilerek denetlenir.

Şu ana kadar bütün yüzeyler yataydı ve ağırlık ya masa tarafından tamamen dengelendi ya da ipin doğrultusunda tam olarak çekti. Masa bir açıyla eğildiğinde ağırlık bu iki görevi paylaşır: bir bileşeni yüzeye bastırıp tepki kuvvetini ve dolayısıyla sürtünmeyi küçültür, öbür bileşeni yüzey boyunca cismi kendisi çeker. Bir sonraki ders, bu iki bileşeni eğim açısına göre ayırarak eğik düzlemde kayan, iple bir asılı kütleye bağlanan ya da sürtünmeyle yerinde duran cisimleri inceliyor.

Örnek 1 — Üç bloğun ortadaki ipi

Soru: Sürtünmesiz yatay masada 1 kg'lık X, 2 kg'lık Y ve 5 kg'lık Z blokları bu sırayla iplerle bağlıdır. Z bloğu, X'ten uzaklaşan yönde 40 N'luk yatay kuvvetle çekiliyor. Y ile Z arasındaki ipteki gerilme kaç newtondur?

• A) T_YZ = 25 N
• B) T_YZ = 40 N
• C) T_YZ = 15 N
• D) T_YZ = 5 N
• E) T_YZ = 8 N

Çözüm: Ortak ivme 40 / 8 = 5 m/s²'dir. Y–Z ipinin arkasında X ile Y kalır; bu 3 kg'ı ip hızlandırır: T_YZ = 3 · 5 = 15 N. Z'den denetim: 40 − 15 = 5 · 5. A seçeneği kuvvetin X'ten uygulandığı durumun cevabıdır, D ise X–Y ipinin gerilmesidir. Cevap: C.

Örnek 2 — Sürtünmeli masa ve asılı kütle

Soru: Yatay bir masadaki 4 kg'lık A bloğu, masanın kenarındaki ideal makaradan geçen ip ile 1 kg'lık asılı B kütlesine bağlıdır. A ile masa arasında kinetik sürtünme katsayısı 0,2'dir ve sistem harekettedir. g = 10 m/s² alınız. İpteki gerilme kaç newtondur?

• A) T = 10 N
• B) T = 9,6 N
• C) T = 8 N
• D) T = 1,6 N
• E) T = 2 N

Çözüm: Sürtünme 0,2 · 40 = 8 N'dur. Sistemin net kuvveti 10 − 8 = 2 N, ivmesi 2 / 5 = 0,4 m/s². B için 10 − T = 1 · 0,4 eşitliğinden T = 9,6 N bulunur. A seçeneği asılı ağırlığı ip gerilmesi sanmaktır; C seçeneği gerilmeyi sürtünmeye eşitler, ki bu ancak sabit hızda doğru olurdu. Cevap: B.

Örnek 3 — Atwood makinesi

Soru: Tavana asılı ideal bir makaradan geçen ipin uçlarına 7 kg ve 3 kg'lık kütleler asılıp serbest bırakılıyor. g = 10 m/s² alınız. İpteki gerilme ve makarayı tavana bağlayan çubuğun taşıdığı kuvvet hangisidir?

• A) Gerilme 50 N, çubuk 100 N
• B) Gerilme 42 N, çubuk 100 N
• C) Gerilme 40 N, çubuk 80 N
• D) Gerilme 70 N, çubuk 140 N
• E) Gerilme 42 N, çubuk 84 N

Çözüm: a = (7 − 3) · 10 / 10 = 4 m/s². Hafif kütle için T − 30 = 3 · 4, buradan T = 42 N. Makarayı iki ip kolu aşağı çeker; çubuk 2T = 84 N taşır. B seçeneği, hızlanan sistemde çubuğun toplam ağırlığı taşıdığını varsayar. Cevap: E.

Örnek 4 — Kıpırdamayan sistem

Soru: Yatay masadaki 5 kg'lık blok, masanın kenarındaki ideal makaradan geçen iple 1,5 kg'lık asılı bir kütleye bağlıdır. Blok ile masa arasında statik sürtünme katsayısı 0,4, kinetik sürtünme katsayısı 0,3'tür. Sistem durgun hâlde serbest bırakılıyor. g = 10 m/s² alınız. Bloğa etki eden sürtünme kuvveti için hangisi doğrudur?

• A) Sistem durur; sürtünme 15 N'dur.
• B) Sistem durur; sürtünme 20 N'dur.
• C) Sistem kayar; sürtünme 15 N'dur.
• D) Sistem durur; sürtünme sıfırdır.
• E) Sistem kayar; sürtünme 20 N'dur.

Çözüm: En büyük statik sürtünme 0,4 · 50 = 20 N'dur. Asılı ağırlık 15 N olduğu için bu sınırı aşamaz ve sistem kıpırdamaz. Durgun blokta statik sürtünme, ipin çektiği 15 N'u tam dengeleyecek kadardır. B seçeneği sınır değeri gerçek sürtünme sanmaktır. Cevap: A.

• Gerilmeyi asılı ağırlığa eşitlemek. Asılı kütle hızlanarak iniyorsa T < m_B · g olur; eşitlik yalnız sistem durgunken ya da sabit hızla giderken geçerlidir.
• Sistem denklemine ip gerilmesini koymak. Gerilme iç kuvvettir; ortak ivmede yalnız dış kuvvetler ve toplam kütle kullanılır.
• Gerilmeyi öndeki kütleyle hesaplamak. Bir ip, kendi arkasında kalan kütleyi sürükler; çekilen uç değişince gerilmeler de değişir.
• Sürtünmeli düzenekte hareket kararını atlamak. Asılı ağırlık en büyük statik sürtünmeyi aşmıyorsa ivme sıfırdır; doğrudan kinetik sürtünmeyle hesaplamak eksi ivme gibi anlamsız sonuçlar verir.
• Atwood makinesinde tavan kuvvetini toplam ağırlık sanmak. Kütleler hareket ederken makarayı tutan çubuk 2T taşır ve bu değer toplam ağırlıktan küçüktür.