Hava direnci ve limit hız

Sağanak bastırınca Elif balkonun kapısında durup telefonunun hesap makinesini açıyor. Bulutun yaklaşık bir kilometre yukarıda olduğunu varsayıyor ve serbest düşme denklemini kuruyor: v = √(2 · 10 · 1000) ≈ 141 m/s. «Hava biraz frenler, yine de damla bu hıza yakın gelir» diyor. Oysa saatte beş yüz kilometreyi aşan bir hızla gelen su damlası camı çatlatır, şemsiyeyi deler; balkonun camında ise yalnız hafif bir tıpırtı var. Elif'in işleminde hata yok; yanılgısı, havanın direncini düşüş boyunca aynı kalan küçük bir fren sanmasında. Gerçekte bu fren damla hızlandıkça sıkılaşıyor ve bir noktada ağırlığa yetişiyor. O andan sonra damla artık hızlanmıyor.

• Hava direncinin hıza, kesit alanına ve biçime nasıl bağlandığını nitel olarak açıklarsın.
• Düşen bir cismin herhangi bir hızdaki ivmesini ve limit hızını verilen direnç modelinden hesaplarsın.
• Hız-zaman ve ivme-zaman grafiklerinin biçimini çizip yorumlarsın.
• Kütlesi, kesit alanı ya da paraşütü değişen cisimlerin limit hızlarını oranla karşılaştırırsın.

Hava, hızla büyüyen bir karşı kuvvet

Bisikletle yokuş aşağı inerken yüzüne çarpan rüzgâr, hız arttıkça belirgin biçimde sertleşir. Durgun havada bile böyledir: rüzgârı yaratan senin hareketindir. Cisim ilerlerken önündeki havayı yerinden itmek zorundadır; hava da Newton'un üçüncü yasası gereği cismi geri iter. Bu itme hızla birlikte büyür, çünkü hızlı giden cisim birim zamanda daha çok havayı daha sert yerinden oynatır.

Hava direnci kuvvetine F_h diyelim. Yönü her zaman cismin havaya göre hızına zıttır: aşağı düşen cisimde yukarı, yukarı çıkan cisimde aşağı bakar. Büyüklüğünü dört şey belirler:

• Hız: yavaşken ihmal edilecek kadar küçüktür, hızlandıkça hızla artar.
• Kesit alanı: harekete dik doğrultuda havaya gösterilen yüzey büyüdükçe direnç büyür. Açık el, yumruktan fazla rüzgâr toplar.
• Biçim: sivri ya da damla biçimli cisimler havayı yanlara daha kolay yarar.
• Havanın yoğunluğu: seyrek havada aynı hızda direnç azalır.

Kütle bu listede yoktur. Direnç cismin dış yüzüne ve hızına bakar; içinin dolu ya da boş olması kuvveti değiştirmez. Kütlenin rolü biraz sonra, ivmede ortaya çıkacak.

Direnç için bir model

Lise fiziğinde ve sınav sorularında yaygın olarak kullanılan model, direnci hızın karesiyle orantılı alır:

F_h = b · A · v²

Burada A kesit alanı, v hız, b ise cismin biçimine ve havanın yoğunluğuna bağlı bir sabittir. Bu sabit bazı kaynaklarda k harfiyle yazılır; biz onu sürtünme katsayısıyla karıştırmamak için b diyoruz. Birim denetimi: F_h newton, A metrekare, v² de m²/s² olduğundan b'nin birimi kg/m³ çıkar, yani bir yoğunluk birimi. Bu model iki hızlı oran verir: hız iki katına çıkınca direnç dört katına, kesit alanı iki katına çıkınca direnç iki katına çıkar.

Gerçek bir cismin b değeri deneyle ölçülür; bu yüzden sorular sabiti hazır verir. Çoğu zaman b ile A tek bir sayıda birleşir: «hava direnci 0,2 · v² newton alınız (v, m/s cinsinden)». Bazı sorular direnci hızın karesiyle değil, kendisiyle orantılı verir. Yöntem değişmez, yalnız oranlar değişir; soruda hangi model yazılıysa o kullanılır.

Düşüş adım adım

Direnci 0,2 · v² newton olan 2 kg'lık bir cisim düşünelim; cisim durgun hâlde bırakılıyor. Aşağı yönü pozitif alırsak cisme etki eden net kuvvet ağırlık eksi dirençtir ve TYT'deki Newton'un ikinci yasası dersinden:

a = (m · g − F_h) / m = g − F_h / m

Hızlar ilerledikçe tablo şöyle dolar:

Bırakıldığı anda hız sıfırdır, direnç de sıfırdır; cisim ilk anda tam g ile hızlanır. Önceki dersteki serbest düşme ile ilk an aynıdır, fark sonradan birikir. Hız arttıkça direnç büyür, net kuvvet küçülür, ivme azalır. Dikkat: ivme azalırken hız hâlâ artmaktadır. Cisim yavaşlamıyor; yalnız eskisi kadar çabuk hızlanmıyor.

Limit hız: ağırlık ile direncin buluştuğu yer

Tablonun son satırında direnç ağırlığa eşitlenir ve net kuvvet sıfıra iner. Bu andan sonra ivme yoktur ve cisim aynı hızla düşmeye devam eder. Bu hıza limit hız (terminal velocity) diyoruz ve v_L ile gösteriyoruz. Koşulu tek eşitliktir:

m · g = b · A · v_L² → v_L = √(m · g / (b · A))

Örnekteki cisim için √(20 / 0,2) = 10 m/s bulunur. TYT'de kuvvet ve net kuvvet dersinde sabit hızla giden aracın motor itişi ile direncin dengelendiğini görmüştük; limit hızdaki cisim aynı durumdadır, motorun yerini ağırlık alır. Newton'un birinci yasası burada da geçerlidir: net kuvvet sıfırsa hız değişmez.

İvme iki yerde dikkatle okunmalı. Birincisi, hız limit değere yaklaştıkça yaklaşma yavaşlar; model, hızın v_L'ye zamanla giderek yaklaştığını ama onu aşmadığını söyler. İkincisi, herhangi bir hızdaki ivme limit hız cinsinden de yazılabilir. m · g = b · A · v_L² olduğundan F_h / m = g · v² / v_L² olur ve:

a = g · (1 − v² / v_L²)

Hız limit değerin yarısındayken ivme g'nin dörtte üçüdür, yarısı değil. Kancadaki damla da bu eşitliği izler: hesap makinesindeki 141 m/s'ye hiç yaklaşmaz, çünkü çok daha küçük bir hızda direnç ağırlığını yakalar.

Grafikler

Serbest düşmede hız-zaman grafiği eğimi g olan bir doğruydu. Hava direnci olunca grafik aynı eğimle başlar, sonra giderek yatıklaşır ve v_L hizasındaki yatay çizgiye yaklaşır. Grafiğin eğimi ivmedir, bu yüzden eğimin azalması ivmenin azalmasının resmidir. İvme-zaman grafiği g'den başlayıp sıfıra doğru inen bir eğridir; konum-zaman grafiği ise önce parabol gibi kıvrılır, sonra eğimi v_L olan bir doğruya dönüşür.

Hız-zaman grafiğinin altındaki alan alınan yoldur (TYT'deki hareket grafikleri dersi). Direnç olan düşüşte eğri, serbest düşme doğrusunun hep altında kaldığından aynı sürede alınan yol daha kısadır.

Kütle ve kesit alanı: kim daha hızlı düşer?

Limit hız formülü v_L'nin √(m / A) ile orantılı olduğunu söyler. Kesit alanı ve biçimi aynı iki topun kütleleri m ile 4m ise ağır topun limit hızı √4 = 2 kat büyüktür. Serbest düşmede kütleden bağımsız olan hareket, havada kütleye bağlanır: ağırlık kütleyle büyür ama direnç büyümez, bu yüzden ağır cisim dengeye daha yüksek bir hızda ulaşır.

Kütle sabitken kesit alanı dört katına çıkarsa limit hız yarıya iner. Aynı maddeden yapılmış, yarıçapları farklı iki kürede kütle yarıçapın küpüyle, kesit alanı karesiyle büyür; oran m / A yarıçapla doğru orantılı olur ve limit hız √r ile artar. Aynı sağanakta iri damlaların küçüklerden hızlı inmesi de bu modelin öngördüğü bir sonuçtur.

Direncin hızla doğru orantılı, yani c bir sabit olmak üzere c · v biçiminde verildiği sorularda m · g = c · v_L eşitliği limit hızı kütleyle doğru orantılı yapar; karekök yalnız v² modelinden gelir.

Paraşüt açılınca

Paraşüt kütleyi neredeyse değiştirmez, kesit alanını ise büyük ölçüde artırır. Açıldığı anda cismin hızı eski limit hızdır; bu hızda yeni ve büyük alanla hesaplanan direnç ağırlıktan büyüktür. Net kuvvet yukarı döner, ivme yukarı yönlü olur. Hız hâlâ aşağıdır ama küçülür: cisim yukarı çıkmaz, yavaşlayarak düşer. Hız azaldıkça direnç de azalır ve yeni, daha küçük limit hızda yeniden ağırlığa eşitlenir. Alan 4 katına çıkarsa yeni limit hız eskinin yarısıdır.

Hız-zaman grafiğinde bu, yatay bir çizgiden sonra aşağı doğru bükülen ve ikinci, daha alçak bir yatay çizgiye yerleşen bir eğridir. Paraşütün açılmasıyla oluşan yukarı ivmeyi «paraşütçü yükselir» diye okumak sık görülen bir hatadır; yukarı bakan ivmedir, hız değil.

Enerji gözüyle

Limit hızda kinetik enerji sabittir, potansiyel enerji ise her saniye azalır. Bu fark TYT'deki enerjinin korunumu dersinde gördüğümüz gibi havaya ve cismin yüzeyine ısı olarak geçer. Direncin harcadığı güç, güç dersindeki P = F · v ilişkisiyle F_h · v_L = m · g · v_L olarak hesaplanır.

Bir hava direnci sorusunu çözerken

Önce direncin yönü hıza zıt konur, sonra net kuvvet ağırlık eksi direnç olarak yazılır. Limit hız sorulursa iki kuvvet eşitlenir; oran sorulursa v_L ∝ √(m / A) ilişkisi kullanılır ve sayısal sabit hiç hesaplanmadan sonuca gidilir. Paraşüt, kanat ya da açılan bir kapakla alan değişiyorsa o andaki hızla yeni direnç yeniden hesaplanır.

Bu dersin bütün düzenekleri bırakılan, ilk hızı olmayan cisimlerdi. Sıradaki ders, yukarı ya da aşağı bir ilk hızla fırlatılan cismi ele alıyor ve hava direncini yeniden dışarıda bırakıyor: düşey atış. Orada yukarı atılan cismin tepeye çıkış süresiyle aynı noktaya iniş süresi birbirine eşit çıkacak ve cisim atıldığı hızın büyüklüğüyle geri dönecek. Bu eşitliğin bedeli havanın yokluğudur; direnç hem çıkışta hem inişte harekete karşı koyduğu için hava olsaydı iki süre ayrılırdı.

Örnek 1 — Limit hızı bulmak

Soru: Kütlesi 4,5 kg olan bir yük kutusu, üzerine etki eden hava direnci 0,2 · v² newton (v, m/s cinsinden) olacak biçimde düşüyor. Yerçekimi ivmesi 10 m/s² alındığında kutu en sonunda hangi sabit hızla düşer?

• A) v_L = 225
• B) v_L = √45
• C) v_L = 45
• D) v_L = 15
• E) v_L = √22,5

Çözüm: Limit hızda direnç ağırlığa eşittir: 0,2 · v_L² = 45, buradan v_L² = 225 ve v_L = 15 m/s. Karekök alınmazsa 225 kalır; ağırlığı 0,2'ye bölmeyi unutmak √45, g'yi unutmak √22,5 verir; 45 ise newton cinsinden ağırlığın kendisidir. Cevap: D.

Örnek 2 — Yoldaki bir andaki ivme

Soru: Yerçekimi ivmesinin 10 m/s² sayıldığı bir ortamda 2 kg'lık bir cisim düşüyor ve ona etki eden hava direnci 0,5 · v² newton (v, m/s cinsinden). Hızın 4 m/s'ye ulaştığı anda cismi aşağı hızlandıran ivme ne kadardır?

• A) 10 m/s² aşağı
• B) 4 m/s² aşağı
• C) 6 m/s² aşağı
• D) 14 m/s² aşağı
• E) ivme sıfır

Çözüm: O andaki direnç 0,5 · 16 = 8 N, ağırlık 20 N'dur. Net kuvvet 12 N aşağı, ivme 12 / 2 = 6 m/s² aşağıdır. Direnci kütleye bölüp ivme sanmak 4, direnci ağırlığa eklemek 14 verir; 10 yalnız bırakıldığı andaki değerdir. Limit hız √40 ≈ 6,3 m/s olduğundan cisim henüz dengeye ulaşmamıştır ve ivme sıfır olamaz. Cevap: C.

Örnek 3 — Aynı maddeden iki küre

Soru: Aynı maddeden yapılmış iki dolu kürenin yarıçapları r ve 4r'dir. Direnç b · A · v² modeline uyuyor ve b iki küre için aynı. Büyük kürenin limit hızı küçüğünkünün kaç katıdır?

• A) Eşittir
• B) 4 katı
• C) 2 katı
• D) 16 katı
• E) 8 katı

Çözüm: Kütle hacimle, yani r³ ile; kesit alanı r² ile büyür. Oran m / A, r ile orantılıdır ve 4 katına çıkar. Limit hız bu oranın karekökü ile değiştiği için √4 = 2 katına çıkar. Karekökü unutan 4, kütleyi yarıçapla aynı oranda büyütüp alanı unutan 8 ya da 16 bulur; «düşme kütleden bağımsızdır» diyen ise serbest düşmenin sonucunu havaya taşıyıp eşit der. Cevap: C.

Örnek 4 — Paraşütün açıldığı an

Soru: Kütlesi 0,4 kg olan bir ölçüm paketi düşerken direnç 0,01 · v² newton'dur ve paket bu modelde limit hızına ulaşmıştır. O anda paketin paraşütü açılıyor ve direnç 0,04 · v² newton'a çıkıyor. Paraşüt açıldığı an ivmenin büyüklüğü ve yönü ile paketin yeni limit hızı nedir? (Yerçekimi ivmesini 10 m/s² alınız; paraşütün anında açıldığını ve kütlesinin ihmal edilebildiğini varsayınız.)

• A) 30 m/s² yukarı; 10 m/s
• B) 30 m/s² aşağı; 10 m/s
• C) 40 m/s² yukarı; 5 m/s
• D) 10 m/s² yukarı; 10 m/s
• E) 30 m/s² yukarı; 5 m/s

Çözüm: İlk limit hız √(4 / 0,01) = 20 m/s'dir. Paraşüt açıldığında bu hızla yeni direnç 0,04 · 400 = 16 N olur ve 4 N'luk ağırlığı aşar. Net kuvvet 12 N yukarı, ivme 12 / 0,4 = 30 m/s² yukarıdır; paket aşağı gitmeyi sürdürür ama yavaşlar. Yeni limit hız √(4 / 0,04) = 10 m/s'dir: sabit dört katına çıktığı için limit hız yarıya iner. Ağırlığı çıkarmadan 16 / 0,4 hesaplamak 40 verir; yeni limit hızı dörde bölmek 5 m/s'ye götürür. Cevap: A.

• Hava direncini sabit bir kuvvet sanmak. Direnç hızla büyür; bırakılma anında sıfırdır, limit hızda ağırlığa eşittir. Sabit bir fren ivmeyi sabit bırakırdı, oysa ivme düşüş boyunca azalır.
• İvme azalınca hızın da azaldığını düşünmek. Limit hıza ulaşana kadar ivme aşağı yönlüdür ve hız artar; yalnız artış yavaşlar.
• Limit hızda cismin durduğunu ya da kuvvet kalmadığını sanmak. Ağırlık da direnç de vardır; eşit ve zıt oldukları için net kuvvet sıfırdır ve cisim sabit hızla düşmeye devam eder.
• Havada da düşmenin kütleden bağımsız olduğunu söylemek. Biçimi ve alanı aynı cisimlerde ağır olanın limit hızı büyüktür; v_L, √(m / A) ile orantılıdır.
• Karekökü atlamak. Kütle 4 katına çıkınca v² modelinde limit hız 2 katına çıkar, 4 katına değil. Doğru orantı yalnız direnç hızın kendisiyle orantılı verildiğinde geçerlidir.
• Paraşüt açılınca cismin yükseldiğini düşünmek. Açılma anında ivme yukarı döner, hız aşağıda kalır ve küçülür; cisim daha küçük bir limit hıza iner.