Bağıl hareket

İstasyonda duran bir trenin penceresinden bakarken yan raydaki tren hareket etmeye başlıyor ve bir an kendi treninizin geri geri gittiğini sanıyorsunuz. Sonra peronun kıpırdamadığını fark edip yanıldığınızı anlıyorsunuz. Bu yanılgı hareketin temel bir özelliğini gösterir: bir cismin hareket edip etmediği, ne kadar hızlı ve hangi yöne gittiği, kime göre bakıldığına bağlıdır. Otoyolda yanınızda aynı hızla giden araç size duruyor gibi görünür; karşı şeritten gelen araç ise iki aracın hızlarının toplamıyla yaklaşır. Önceki derslerde hareketi hep yere göre ölçtük ve karşılaşma ile yetişme sorularında yaklaşma hızını kullandık. Bu derste o fikri genelliyoruz: bir gözlemciye göre hızı, yani bağıl hızı tanımlamayı, aynı ve zıt yönlü hareketlerde hesaplamayı, akıntılı nehirde kayık problemlerini, yürüyen merdiveni ve hareketli araçtan görülen yağmuru öğreniyoruz.

• Bir cismin hızını farklı gözlemcilere göre ifade eder, bağıl hızı v_cisim − v_gözlemci ile hesaplarsın.
• Aynı yönlü ve zıt yönlü hareketlerde bağıl hızı bulursun.
• Akıntılı nehirde kayığın yere göre hızını, karşıya geçiş süresini ve sürüklenme miktarını hesaplarsın.
• Yürüyen merdiven, bant ve yağmur gibi günlük durumlarda bağıl hızı yorumlarsın.

Hız kime göre?

Bir hızı söylerken her zaman bir gözlemci vardır; çoğunlukla bu gözlemci yerdir ve söylenmeden kabul edilir. Bir otomobilin 90 km/h ile gittiğini söylediğimizde yere göre hızından söz ederiz. Aynı otomobil, onunla yan yana 90 km/h ile giden bir başka otomobildeki yolcuya göre durmaktadır.

Bir gözlemciye göre ölçülen hıza bağıl hız denir. A gözlemcisinin, B cisminin hızını nasıl gördüğü şöyle hesaplanır:

v_B'nin A'ya göre = v_B − v_A

Burada iki hız da yere göredir. Kural kısaca "cismin hızından gözlemcinin hızı çıkarılır" diye hatırlanabilir. Hızlar vektör olduğu için çıkarma işaretlerle yapılır.

Aynı yönde ve zıt yönde

Doğu pozitif seçilsin. Doğuya 70 km/h ile giden A aracından, doğuya 100 km/h ile giden B aracına bakılırsa: 100 − 70 = +30 km/h. A'daki yolcu B'yi 30 km/h ile doğuya, yani önüne doğru uzaklaşıyor görür. B'deki yolcu ise A'yı 70 − 100 = −30 km/h ile, yani 30 km/h ile batıya gidiyor görür. İki gözlemcinin bulduğu bağıl hızlar eşit büyüklükte ve zıt yönlüdür.

B aracı batıya 100 km/h ile gidiyorsa hızı −100 km/h olur. A'ya göre hızı −100 − 70 = −170 km/h'tir: A'daki yolcu B'yi 170 km/h ile yaklaşıyor ve geçiyor görür. Aynı yönde hızlar çıkarılır, zıt yönde toplanır; karşılaşma ve yetişme problemlerindeki yaklaşma hızı bu kuralın özel bir durumudur.

Gözlemciyi değiştirerek sadeleştirmek

Bağıl hızın en güçlü kullanımı, iki hareketli cisimli bir problemi tek hareketli cisimli bir probleme çevirmektir. Gözlemciyi cisimlerden birinin üstüne koyarız; o cisim artık durur, öteki bağıl hızla hareket eder. Örneğin aralarında 36 km bulunan iki gemi birbirine 20 km/h ve 25 km/h ile yaklaşıyor olsun. Birinci geminin güvertesinden bakan bir gözlemci kendini durgun, ötekini 45 km/h ile yaklaşıyor görür. 36 km'lik açıklık bu hızla 0,8 saatte, yani 48 dakikada kapanır. Önceki derslerde karşılaşma ve yetişme için kullandığımız toplam ve fark hızları, aslında bu gözlemci değişiminin sonucudur. Trenlerin birbirini geçmesi gibi uzunluğu olan cisimlerde de aynı yol izlenir: bir tren durgun sayılır, öteki bağıl hızla iki trenin uzunlukları toplamı kadar yol alır.

Hareketli bir ortamın içinde

Bir cisim, kendisi de hareket eden bir ortamın içinde hareket ediyorsa yere göre hızı iki hızın vektörel toplamıdır:

v_yere göre = v_ortama göre + v_ortam

Bir trenin koridorunda öne yürüyen yolcunun yere göre hızı, trenin hızı ile yürüme hızının toplamıdır; arkaya yürüyorsa farkıdır. Aynı mantık yürüyen merdivende, havalimanındaki yürüyen bantta ve akıntılı bir nehirde yüzen kayıkta geçerlidir.

Yürüyen merdivende, yalnız merdivenin taşıdığı süre t₁ ve duran merdivende yürüme süresi t₂ biliniyorsa, yürüyen merdivende yürüyerek çıkış süresi şu ilişkiyle bulunur: 1/t = 1/t₁ + 1/t₂. Çünkü iki hız toplanır ve hız, uzunluğun süreye bölümüdür.

Akıntılı nehir: akıntı yönünde ve tersine

Durgun suda v_k hızıyla giden bir kayık, v_a hızlı bir akıntıda akıntı yönünde v_k + v_a, akıntıya karşı v_k − v_a hızıyla ilerler. Örneğin suya göre 10 m/s hızı olan bir motor 4 m/s'lik akıntıda aşağı yönde 14 m/s, yukarı yönde 6 m/s ile gider. Gidiş ve dönüş süreleri eşit değildir; aynı mesafe akıntıya karşı daha uzun sürer. Ters yönde, iki yöndeki hızlar biliniyorsa kayığın hızı bunların ortalaması, akıntının hızı ise farklarının yarısıdır.

Akıntılı nehir: karşıya geçiş

Kayık burnunu akıntıya dik tutarak karşı kıyıya yönelirse iki hız birbirine diktir. Karşıya geçiş süresi yalnız kayığın suya göre hızına bağlıdır:

t = nehrin genişliği / v_k

Akıntı bu süre boyunca kayığı aşağı sürükler; sürüklenme miktarı v_a · t olur. Kayığın yere göre hızı ise iki dik hızın bileşkesidir ve dik üçgenden bulunur. Örneğin 120 m genişliğindeki bir nehirde suya göre 6 m/s hızlı bir kayık, 8 m/s'lik akıntıda karşıya 20 s'de geçer, 160 m aşağıda kıyıya varır ve yere göre 10 m/s ile hareket eder. Akıntı hızlansa bile geçiş süresi değişmez; yalnız varış noktası daha aşağı kayar. Bu, sınavların en sevdiği sonuçtur.

Yağmur ve hareketli araç

Rüzgârsız bir günde yağmur damlaları düşey olarak düşer. Hareket eden bir araçtaki yolcu ise damlaların eğik geldiğini görür. Yolcuya göre yağmurun hızı, yağmurun yere göre hızından aracın hızı çıkarılarak bulunur; aracın hızı yatay, yağmurunki düşey olduğundan bağıl hız dik üçgenin hipotenüsüdür. Araç hızlandıkça damlalar daha yatık gelir. Yağmurda koşan birinin şemsiyesini öne eğmesi bu yüzdendir. Durgun bir kişi için şemsiyeyi dik tutmak yeterliyken, hızlanan bir koşucu damlaları giderek daha önden karşılar.

Soru çözme sırası

Önce gözlemci belirlenir. Bütün hızlar yere göre ve işaretli yazılır. Bağıl hız soruluyorsa cismin hızından gözlemcinin hızı çıkarılır. Ortam içindeki hareket soruluyorsa hızlar toplanır. Hızlar dik ise toplama ya da çıkarma dik üçgenle yapılır.

Örnek 1 — Aynı yön

Soru: Kuzeye 30 m/s hızla seyreden bir otobüsten, kuzeye 18 m/s ile yol alan kamyona bakılıyor. Kamyon otobüse göre nasıl hareket eder?

• A) 48 m/s kuzeye
• B) 12 m/s kuzeye
• C) 18 m/s güneye
• D) 12 m/s güneye
• E) Durur

Çözüm: 18 − 30 = −12 m/s; kamyon otobüsten 12 m/s ile güneye doğru, yani geriye kalıyor görünür. Cevap: D.

Örnek 2 — Akıntı

Soru: Suya göre 7 m/s hızı olan bir kayık 2 m/s'lik akıntıya karşı ilerliyor. Yere göre hızı nedir?

• A) 5 m/s
• B) 9 m/s
• C) 4,5 m/s
• D) 14 m/s
• E) 2 m/s

Çözüm: Akıntıya karşı hızlar çıkarılır: 7 − 2 = 5 m/s. Cevap: A.

Örnek 3 — Karşıya geçiş

Soru: 50 m genişliğindeki bir nehirde kayık suya göre 5 m/s ile akıntıya dik yöneliyor; akıntı 2 m/s'dir. Kayık karşı kıyıya ne kadar sürede ulaşır?

• A) 25 s
• B) 7 s
• C) 10 s
• D) 50/7 s
• E) 20 s

Çözüm: Geçiş süresi yalnız dik hıza bağlıdır: 50 / 5 = 10 s. Cevap: C.

Örnek 4 — Akıntı değişirse

Soru: Aynı kayık burnunu yine akıntıya dik tutarken akıntı hızı iki katına çıkarsa ne değişir?

• A) Geçiş süresi yarıya iner.
• B) Geçiş süresi iki katına çıkar.
• C) Hiçbir şey değişmez.
• D) Kayık karşıya geçemez.
• E) Geçiş süresi aynı kalır, sürüklenme iki katına çıkar.

Çözüm: Süre dik hıza bağlı olduğundan değişmez; sürüklenme v_a · t olduğu için iki katına çıkar. Cevap: E.

• Gözlemcinin hızını çıkarmayı unutmak. Bağıl hız cismin hızı eksi gözlemcinin hızıdır.
• Zıt yönde hızları çıkarmak. Zıt yönlü hızlar işaretle yazılınca büyüklükleri toplanır.
• Akıntının geçiş süresini uzattığını sanmak. Dik yönelişte süre yalnız kayığın hızına bağlıdır.
• Dik hızları doğrudan toplamak. Dik hızların bileşkesi dik üçgenden bulunur.
• Yürüyen merdivende süreleri toplamak. Hızlar toplanır; süreler 1/t = 1/t₁ + 1/t₂ ile birleşir.