Hareket grafikleri ve dönüşümler

Bir sürücünün telefonundaki navigasyon uygulaması, yolculuk bittiğinde iki çizgi gösteriyor: biri saat saat aracın nerede olduğunu, öteki her an ne kadar hızlı gittiğini. İlk çizgi bir trafik ışığında düz bir basamak yapıyor; ikinci çizgi aynı anda sıfıra iniyor. Aynı olay iki grafikte iki farklı biçimde görünür; birini okuyabilen, ötekini de çizebilir. Sınavdaki hareket sorularının çoğu bir grafik verir ve başka bir grafiği ya da bir sayıyı sorar. Bu sorularda formül ezberinden çok, grafiğin hangi özelliğinin hangi büyüklüğe karşılık geldiğini bilmek işe yarar. Önceki iki derste sabit hızlı ve düzgün ivmeli hareketi denklemlerle çözdük ve grafiklere yalnız kısaca baktık. Bu derste üç grafiği, konum-zaman, hız-zaman ve ivme-zamanı tek tek okuyoruz; eğimin ve alanın her grafikte ne anlama geldiğini, yön değiştirmenin nasıl görüldüğünü ve bir grafikten ötekine nasıl geçileceğini öğreniyoruz.

• Konum-zaman, hız-zaman ve ivme-zaman grafiklerinde eğimin ve alanın hangi büyüklüğü verdiğini söylersin.
• Hız-zaman grafiğinden yer değiştirmeyi, alınan yolu ve yön değiştirme anını bulursun.
• Bir hareket grafiğini diğer iki grafiğe dönüştürürsün.
• Grafikte verilen parçalı bir hareketin ortalama hızını ve ortalama süratini hesaplarsın.

Üç grafik, iki işlem

Hareket grafiklerinin hepsinde yatay eksen zamandır. Bir grafikten bilgi çıkarmanın iki temel yolu vardır: eğim ve alan.

• Eğim, dikey eksendeki büyüklüğün zamana göre değişme hızıdır. Konumun değişme hızı hız, hızın değişme hızı ivmedir.
• Alan, dikey eksendeki büyüklük ile zamanın çarpımıdır. Hız çarpı zaman yer değiştirme, ivme çarpı zaman hız değişimidir.

Bu iki kural bir tabloya sığar:

Tablonun okunuşu şudur: konumdan hıza ve hızdan ivmeye eğimle inilir; ivmeden hıza ve hızdan konuma alanla çıkılır. Alanla çıkarken başlangıç değeri ayrıca bilinmelidir, çünkü alan yalnız değişimi verir.

Konum-zaman grafiği

Konum-zaman grafiğinde düz bir çizgi sabit hızı, yatay bir çizgi durmayı gösterir. Çizgi eğri ise hız değişiyordur. Eğrinin herhangi bir noktadaki eğimi, o noktaya çizilen teğetin eğimidir ve o anki hızı verir. Teğet giderek dikleşiyorsa cisim hızlanıyor, yatıklaşıyorsa yavaşlıyordur. Teğetin yatay olduğu an hızın sıfır olduğu, yani cismin anlık olarak durduğu ya da döndüğü andır.

Grafiğin zaman eksenini kesmesi hızla ilgili bir şey söylemez; yalnızca cismin o anda başlangıç noktasından geçtiğini gösterir.

İki cismin konum eğrileri aynı çizimde kesişiyorsa, o anda iki cisim yan yanadır; ama hızları eşit olmak zorunda değildir. Hızların eşit olduğu an, iki eğrinin teğetlerinin paralel olduğu andır. Hız çiziminde ise iki çizginin kesiştiği an hızların eşit olduğu andır, konumların değil. Bu iki okuma sıkça karıştırılır ve seçeneklerde tuzak olarak kullanılır.

Hız-zaman grafiği

Hız-zaman grafiği hareket sorularının en zengin kaynağıdır. Eğimi ivmeyi verir: yükselen çizgi pozitif, alçalan çizgi negatif ivme demektir. Eksenle arasındaki alan yer değiştirmeyi verir; eksenin üstündeki alan pozitif, altındaki alan negatif yer değiştirmedir.

Çizginin zaman eksenini kestiği an, hızın işaret değiştirdiği, yani cismin yön değiştirdiği andır. Bu yüzden iki farklı soru iki farklı hesap ister:

• Yer değiştirme: üstteki alan eksi alttaki alan.
• Alınan yol: üstteki alan artı alttaki alanın büyüklüğü.

Örneğin hızı 6 s içinde +12 m/s'den −6 m/s'ye sabit oranla değişen bir cisim düşünelim. İvme −3 m/s²'dir ve hız 4. saniyede sıfırdır. İlk 4 s'deki üçgenin alanı +24 m, sonraki 2 s'deki üçgenin alanı −6 m'dir. Yer değiştirme +18 m, alınan yol 30 m olur.

İvme-zaman grafiği

İvme-zaman grafiğinde yatay bir çizgi düzgün ivmeli hareketi, sıfır çizgisi sabit hızı gösterir. Altındaki alan, o aralıktaki hız değişimidir. Son hızı bulmak için bu alan ilk hıza eklenir. İvme çizimine bakarak, ilk hızın işareti bilinmeden hızlanma ya da yavaşlama kararı verilemez.

Bir grafikten ötekine

Dönüşüm sorularında hareket önce aralıklara bölünür; her aralıkta ivme ya da hız sabittir. Sonra her aralık için tablo kuralı uygulanır.

Konum-zamandan hız-zamana geçerken her düz parçanın eğimi o aralıktaki sabit hızdır; hız ekseninde yatay bir basamak olarak çizilir. Hız-zamandan ivme-zamana geçerken her düz parçanın eğimi o aralıktaki ivmedir. Ters yönde, ivme-zamandan hız-zamana geçerken ilk hızdan başlanır ve her aralıkta alan kadar eklenir; hız-zamandan konum-zamana geçerken ilk konumdan başlanır ve her aralıkta alan kadar ilerlenir.

Bazı biçim kuralları dönüşümü hızlandırır. Hız-zamanda yatay bir çizgi, konum-zamanda düz eğik bir çizgiye karşılık gelir. Hız-zamanda eğik düz bir çizgi, konum-zamanda bir parabol parçasına karşılık gelir. Hız sıfırken konum-zaman eğrisinin teğeti yataydır. İvme-zamanda sıfır, hız-zamanda yatay çizgi demektir.

Adım adım bir dönüşüm

Bir araç durgun hâlden 2 s boyunca düzgün hızlanarak 8 m/s'ye çıksın, 3 s bu hızla gitsin, sonra 2 s içinde düzgün yavaşlayarak dursun. Hız çizimi üç düz parçadan oluşur: yükselen bir çizgi, yatay bir basamak ve inen bir çizgi. İvme çizimi bu parçaların eğimlerinden okunur: ilk 2 s'de +4 m/s², ortadaki 3 s'de sıfır, son 2 s'de −4 m/s². Konum çizimi ise alanlardan kurulur: ilk parçada 8 m, ortada 24 m, sonda 8 m; araç toplam 40 m ilerler. Konum eğrisi başta yatay teğetle başlayıp dikleşen bir parabol, ortada düz eğik bir çizgi, sonda giderek yatıklaşıp yatay teğetle biten bir paraboldür. Üç çizim aynı hareketin üç görünüşüdür; birindeki her köşe, ötekilerde de aynı anda bir değişime karşılık gelir.

Ortalama değerler

Grafikle verilen parçalı bir harekette ortalama hız, toplam yer değiştirmenin toplam süreye bölümüdür; ortalama sürat ise bütün yolun bütün süreye oranıdır. Yön değiştirme yoksa ikisinin büyüklüğü eşittir. Yön değiştirme varsa alanlar ayrı ayrı hesaplanır ve yukarıdaki iki kural uygulanır.

Okuma sırası

Bir grafik sorusunda önce eksenlerin ne olduğuna bakılır; iki çizim birbirine çok benzer görünür ama tamamen farklı şey söyler. Sonra soru eğim mi alan mı istiyor, o belirlenir. Son olarak, hız-zaman grafiğinde zaman ekseninin kesilip kesilmediği kontrol edilir; yön değiştirme, yol ile yer değiştirmeyi birbirinden ayırır.

Örnek 1 — Alan

Soru: Hız çizimi ilk beş saniyede 4 m/s'den 10 m/s'ye yükselen düz bir çizgidir. Bu aralıkta yer değiştirme nedir?

• A) 50 m
• B) 30 m
• C) 35 m
• D) 21 m
• E) 70 m

Çözüm: Yamuğun alanı (4 + 10)/2 · 5 = 35 m. Cevap: C.

Örnek 2 — Eğim

Soru: Konum-zaman grafiği 0–4 s arasında +2 m'den +26 m'ye düz bir çizgidir. Bu aralıkta hız nedir?

• A) 7 m/s
• B) 24 m/s
• C) 6,5 m/s
• D) 0,5 m/s
• E) 6 m/s

Çözüm: Eğim (26 − 2)/4 = 6 m/s. Cevap: E.

Örnek 3 — İvme-zaman

Soru: 5 m/s ile yoluna devam eden bir cismin ivmesi üç saniye boyunca −1 m/s²'dir. Bu sürenin sonundaki hızı nedir?

• A) 8,5 m/s
• B) 2 m/s
• C) 3,5 m/s
• D) 0,5 m/s
• E) 5 m/s

Çözüm: Alan −3 m/s hız değişimi verir; 5 − 3 = 2 m/s. Cevap: B.

Örnek 4 — Biçim

Soru: Hız çizimi zaman eksenine paralel, eksenin üstünde bir doğru olan cismin konum-zaman grafiği nasıldır?

• A) Yatay doğru
• B) Yukarı yönelen düz eğik doğru
• C) Parabol
• D) Aşağı yönelen eğik doğru
• E) Dikey doğru

Çözüm: Sabit pozitif hız, konumun zamanla doğrusal arttığı anlamına gelir. Cevap: B.

• Eksenleri okumadan çözmek. Konum ve hız çizimlerinin çizgileri birbirine benzeyebilir.
• Eksenin altındaki alanı pozitif almak. Yer değiştirmede eksi, yolda büyüklüğüyle girer.
• Konum-zaman grafiğinin ekseni kestiği anı yön değiştirme sanmak. Yön değişimi teğetin yatay olduğu andır.
• Alanla çıkarken ilk değeri unutmak. Alan değişimi verir; ilk hız ya da ilk konum eklenir.
• İvme-zamandan hızlanmayı okumak. İlk hızın işareti bilinmeden söylenemez.