İvmeli hareket

Trafik ışığı yeşile döndüğünde iki araç aynı çizgiden kalkıyor. Biri ilk saniyede hızını yavaş yavaş artırıyor, öteki birkaç saniyede şehir içi hıza ulaşıyor. İkisi de aynı yere gidecek; ama aradaki fark hızda değil, hızın ne kadar çabuk değiştiğindedir. Aynı soru kırmızı ışıkta tersinden sorulur: sürücü fren pedalına bastığında araç kaç metrede durur? Bu mesafe hıza doğrusal değil, hızın karesiyle bağlıdır; iki kat hızla giden araç, aynı frenle dört kat uzun mesafede durur. Önceki derste hızın sabit kaldığı hareketi inceledik. Bu derste hızın değiştiği harekete geçiyoruz: ivmeyi tanımlamayı, hızlanma ile yavaşlamayı işaretlerden ayırmayı, düzgün ivmeli hareketin dört denklemini kullanmayı, ardışık saniyelerde alınan yolları ve durma mesafesini hesaplamayı öğreniyoruz.

• İvmeyi hızdaki değişimin süreye oranı olarak tanımlar ve m/s² biriminde hesaplarsın.
• Hız ile ivmenin işaretlerinden cismin hızlandığını ya da yavaşladığını söylersin.
• Düzgün ivmeli hareketin denklemleriyle hız, yol ve süre hesaplarsın.
• Durma mesafesinin ilk hızın karesine bağlılığını ve ardışık saniyelerdeki yol oranlarını yorumlarsın.

İvme

Bir cismin hızı zamanla değişiyorsa hareketi ivmelidir. İvme, hızdaki değişimin bu değişim için geçen süreye oranıdır:

a = Δv / Δt = (v_son − v_ilk) / Δt

Hız m/s, süre s ile ölçüldüğü için ivmenin birimi m/s²'dir. 2 m/s²'lik bir ivme, hızın her saniye 2 m/s değiştiği anlamına gelir. Örneğin duran bir tren 9 saniyede 18 m/s hıza ulaşırsa ortalama ivmesi 18 / 9 = 2 m/s² olur.

İvme vektöreldir. Yönü, hız değişiminin yönüdür; hızın yönüyle aynı olmak zorunda değildir. İvmenin her an aynı kaldığı harekete düzgün ivmeli hareket denir; TYT'deki ivmeli hareket soruları bu durumla sınırlıdır.

Hızlanma mı, yavaşlama mı?

İvmenin işareti tek başına cismin hızlanıp yavaşladığını söylemez; hızın işaretiyle karşılaştırmak gerekir:

• Hız ve ivme aynı işaretliyse hızın büyüklüğü artar: cisim hızlanır.
• Hız ve ivme zıt işaretliyse hızın büyüklüğü azalır: cisim yavaşlar.

Negatif yönde giden ve ivmesi de negatif olan bir cisim hızlanmaktadır; çünkü hızı negatif yönde büyümektedir. Pozitif yönde giden ama ivmesi negatif olan bir araç fren yapmaktadır. Yavaşlayan bir cisim durduktan sonra ivme sürerse ters yönde hızlanmaya başlar.

Dört denklem

Düzgün ivmeli harekette ilk hız v₀, ivme a, süre t, yer değiştirme Δx ve son hız v arasında dört denklem kurulur:

1. v = v₀ + a·t
2. Δx = v₀·t + ½·a·t²
3. v² = v₀² + 2·a·Δx
4. Δx = (v₀ + v)/2 · t

Birinci denklem ivmenin tanımından gelir. Dördüncüsü, hız düzgün değiştiği için ortalama hızın ilk ve son hızın ortalaması olduğunu söyler. İkinci ve üçüncü denklemler bu ikisinden türetilir. Her soruda beş büyüklükten üçü verilir, biri sorulur; sorulmayan ve verilmeyen büyüklüğü içermeyen denklem seçilir. Süre verilmemişse üçüncü, ivme verilmemişse dördüncü denklem en kısa yoldur.

İşaretler denkleme olduğu gibi girer: yavaşlayan bir araçta ivme, hızın tersi işaretle yazılır.

Denklem seçimine bir örnek

Bir kayakçı 4 m/s hızla bir yokuşun başından geçiyor ve yokuş boyunca düzgün hızlanarak 6 s sonra 16 m/s hıza ulaşıyor. Yokuşun uzunluğu soruluyor. Verilenler ilk hız, son hız ve süredir; ivme verilmemiş, sorulmamış. Bu yüzden ivme içermeyen dördüncü denklem doğrudan sonuca gider: Δx = (4 + 16)/2 · 6 = 60 m. Aynı soruyu önce birinci denklemle ivmeyi (2 m/s²), sonra ikinci denklemle yolu bularak da çözmek mümkündür; sonuç aynıdır, ama iki adım ve iki hata fırsatı demektir. Sınavda süre kazandıran şey, denklemi soru kökündeki eksik büyüklüğe göre seçmektir.

Ortalama ve anlık ivme

Gerçek araçların ivmesi her an aynı değildir; kalkışta büyük, hız arttıkça küçük olabilir. Bu durumda a = Δv/Δt formülü belirli bir aralığın ortalama ivmesini verir. Çok kısa bir aralıkta ölçülen ivmeye anlık ivme denir. Düzgün ivmeli harekette iki değer her an eşittir; dört denklemin geçerli olması da bu eşitliğe dayanır. Soru ivmenin değiştiğini söylüyorsa denklemler yalnız ivmenin sabit kaldığı parçalara ayrı ayrı uygulanır.

Durma mesafesi

Bir araç v₀ hızından sabit büyüklükte a ivmesiyle yavaşlayarak durursa son hız sıfırdır. Durma süresi t = v₀ / a, durma mesafesi üçüncü denklemden d = v₀² / (2a) olur. Örneğin 24 m/s hızındaki bir araç 3 m/s² ile fren yaparsa 8 s'de ve 576 / 6 = 96 m'de durur.

Durma mesafesi ilk hızın karesiyle orantılıdır. Aynı fren koşullarında hız iki katına çıkarsa durma mesafesi dört katına, üç katına çıkarsa dokuz katına çıkar. Gerçek trafikte buna sürücünün tepki süresi boyunca sabit hızla aldığı yol da eklenir; bu kısım hızla doğrusal artar.

Durgun hâlden ardışık saniyeler

Durgun hâlden düzgün hızlanan bir cismin 1., 2., 3., … saniyelerde aldığı yollar 1 : 3 : 5 : 7 … oranındadır; yani ardışık tek sayılarla orantılıdır. Toplam yollar ise 1 : 4 : 9 : 16 … oranında, yani zamanın karesiyle büyür. Bu düzenliliği ilk gözlemleyenlerden biri, eğik düzlemden yuvarlanan toplarla çalışan Galileo'dur.

n. saniyede alınan yol, ilk n saniyedeki yoldan ilk n − 1 saniyedeki yolun çıkarılmasıyla bulunur: ½·a·n² − ½·a·(n − 1)² = a·(2n − 1)/2.

Hız-zaman grafiğine ilk bakış

Düzgün ivmeli harekette hız zamanla doğrusal değiştiği için hız-zaman grafiği eğik bir doğrudur. Bu doğrunun eğimi ivmeyi, altındaki alan yer değiştirmeyi verir; durgun hâlden başlayan bir hareket için alan bir üçgendir ve ½·a·t² ile aynı sonucu verir. Grafiklerin bütün okuma kuralları ve birbirine dönüşümü bir sonraki dersin konusudur.

Yeryüzünde bir örnek

Hava direncinin ihmal edildiği durumda yeryüzü yakınında serbest bırakılan bir cisim yaklaşık 10 m/s²'lik sabit bir ivmeyle hızlanır. Bu ivme yerçekimi ivmesidir ve g ile gösterilir. Bırakılan bir taş 2 s sonra yaklaşık 20 m/s hıza ulaşır ve bu sürede yaklaşık 20 m düşer. Düşey atışların ayrıntısı ilerideki ünitelerde ele alınır; burada yalnız aynı denklemlerin bu harekete de uygulandığını görmek yeterlidir. İvmenin yönü aşağı, hızın yönü de aşağı olduğu için düşen taş, işaret kuralına uygun olarak sürekli hızlanır.

Örnek 1 — İvme

Soru: Bir motosikletin hızı 5 s'de 10 m/s'den 35 m/s'ye çıkıyor. İvmesi nedir?

• A) 7 m/s²
• B) 9 m/s²
• C) 2 m/s²
• D) 5 m/s²
• E) 25 m/s²

Çözüm: (35 − 10) / 5 = 5 m/s². Cevap: D.

Örnek 2 — Yol

Soru: Durgun hâlden 6 m/s² ivmeyle kalkan bir uçak 10 s sonunda pistte ne kadar ilerlemiş olur?

• A) 60 m
• B) 300 m
• C) 600 m
• D) 30 m
• E) 360 m

Çözüm: Δx = ½ · 6 · 100 = 300 m. Cevap: B.

Örnek 3 — Süresiz denklem

Soru: 8 m/s hızla koşan bir sporcu 1 m/s² ivmeyle hızlanarak 18 m koşuyor. Son hızı nedir?

• A) 38 m/s
• B) 11 m/s
• C) 14 m/s
• D) 12 m/s
• E) 10 m/s

Çözüm: Süre verilmediği için üçüncü denklem: v² = 64 + 2 · 1 · 18 = 100, v = 10 m/s. Cevap: E.

Örnek 4 — İşaret

Soru: +6 m/s hızla giden bir cismin ivmesi −3 m/s²'dir. 2 s sonra cisim hangi durumdadır?

• A) Anlık olarak durmuştur.
• B) 12 m/s ile ilerlemektedir.
• C) 6 m/s ile geri gitmektedir.
• D) Hızı değişmemiştir.
• E) 3 m/s ile ilerlemektedir.

Çözüm: v = 6 + (−3)(2) = 0; zıt işaretli ivme hızı sıfıra indirmiştir, ivme sürerse geri dönecektir. Cevap: A.

• Negatif ivmeyi her zaman yavaşlama sanmak. Hız da negatifse cisim hızlanır.
• Durma mesafesini hızla doğru orantılı kurmak. Mesafe ilk hızın karesiyle büyür.
• n. saniyedeki yol ile ilk n saniyedeki yolu karıştırmak. Biri bir saniyelik dilim, öteki toplamdır.
• Yavaşlamada ivmeyi pozitif yazmak. Hızın tersi yöndeki ivme eksiyle girer.
• Durduktan sonrasını unutmak. İvme sürerse cisim geri döner; alınan yol ayrı hesaplanır.