Düzgün doğrusal hareket

Bir havalimanındaki yürüyen bant, üstündeki yolcuyu her saniye aynı mesafe kadar ileri taşır. Bandın başında duran bir yolcu, yarım dakika sonra nerede olacağını hesaplamak için bir tek sayıya ihtiyaç duyar: bandın hızına. Hız değişmiyorsa gelecek, şimdiden okunabilir. Fizikte bu en basit harekete düzgün doğrusal hareket denir: cisim bir doğru boyunca, büyüklüğü ve yönü sabit bir hızla ilerler. Gerçek dünyada hiçbir hareket tam olarak böyle değildir; araçlar kalkarken hızlanır, dururken yavaşlar. Ama bir otoyolda sabit giden bir aracın ya da bir üretim bandının uzun bir bölümü bu modele çok yakındır. Önceki derste konum, yer değiştirme, sürat ve hızı tanımladık. Bu derste o tanımları sabit hız durumunda kullanıyoruz: konum denklemini, konum-zaman ve hız-zaman grafiklerinin ilk okumasını, karşılaşma ve yetişme problemlerini ve uzunluğu olan cisimlerin geçiş süresini öğreniyoruz.

• Düzgün doğrusal hareketi tanımlar, x = x₀ + v·t denklemiyle konum ve süre hesaplarsın.
• Konum-zaman grafiğinin eğiminden hızı, hız-zaman grafiğinin alanından yer değiştirmeyi bulursun.
• Karşılaşma ve yetişme problemlerini bağıl yaklaşma hızıyla çözersin.
• Tren, köprü ve tünel gibi uzunluğu olan cisimlerin geçiş sürelerini hesaplarsın.

Tanım ve denklem

Bir cisim bir doğru üzerinde eşit zaman aralıklarında eşit yer değiştirmeler yapıyorsa, hareketi düzgün doğrusal harekettir. Bu, hızın hem büyüklüğünün hem yönünün sabit olması demektir. Hız değişmediği için ivme sıfırdır; cisim ne hızlanır ne yavaşlar ne de yön değiştirir.

Hız sabit olduğunda ortalama hız ile anlık hız aynıdır. Bu yüzden önceki dersteki tanım doğrudan bir denkleme dönüşür. Başlangıç konumu x₀, hız v olan cismin t anındaki konumu:

x = x₀ + v · t

Yer değiştirme Δx = v · t olur. Hız pozitif yöndeyse konum artar, negatif yöndeyse azalır. Örneğin x₀ = −5 m konumundan 7 m/s hızla pozitif yönde başlayan bir cisim, 4 s sonra x = −5 + 28 = +23 m konumundadır.

Cisim geri dönmediği için burada yol ile yer değiştirme aynı uzunluktadır; aynı nedenle sürat de hızın büyüklüğüne eşittir.

Konum-zaman grafiği

Konum denklemi zamana göre birinci dereceden olduğu için konum zamana karşı çizilince düz bir çizgi elde edilir. Bu doğrunun eğimi, yani konumdaki değişimin zamandaki değişime oranı, hızı verir. Eğim büyükse cisim hızlıdır; doğru yukarı yönelmişse hız pozitif, aşağı yönelmişse negatiftir. Yatay bir doğru, konumun değişmediğini, yani cismin durduğunu gösterir.

Aynı grafikte iki cismin doğruları çizilirse, daha dik doğruya sahip olan daha hızlıdır. İki doğrunun kesiştiği nokta, iki cismin aynı anda aynı konumda olduğu, yani karşılaştığı andır.

Hız-zaman grafiği

Hız sabit olduğu için hız-zaman grafiği zaman eksenine paralel bir doğrudur. Bu grafiğin altında kalan dikdörtgenin alanı v · t'dir; yani alan yer değiştirmeyi verir. Doğru zaman ekseninin altındaysa hız negatiftir ve alan negatif yer değiştirme olarak okunur. Grafikler sonraki derslerde ayrıntılı işlenecek; burada iki kural yeterlidir: konum-zaman grafiğinde eğim hız, hız-zaman grafiğinde alan yer değiştirmedir.

Karşılaşma problemleri

Aralarında d uzaklığı bulunan iki cisim birbirine doğru v₁ ve v₂ hızlarıyla aynı anda harekete başlarsa, aradaki uzaklık her saniye v₁ + v₂ kadar azalır. Karşılaşma süresi:

t = d / (v₁ + v₂)

Örneğin aralarında 240 m bulunan iki yaya 5 m/s ve 3 m/s hızlarla birbirine yürürse, uzaklık her saniye 8 m kapanır ve 30 s sonra karşılaşırlar. Karşılaşma noktası, birinin bu sürede aldığı yolla bulunur: hızlı yaya 150 m, yavaş yaya 90 m yürümüştür.

Aynı noktadan zıt yönlere ayrılan iki cismin arasındaki uzaklık da her saniye v₁ + v₂ kadar artar.

Yetişme problemleri

Aynı yönde giden iki cisimden arkadaki daha hızlıysa, aradaki uzaklık her saniye v₁ − v₂ kadar kapanır. Yetişme süresi:

t = d / (v_arka − v_ön)

Örneğin önde 12 m/s ile giden bir araca, 90 m geriden 15 m/s ile gelen bir araç 90 / 3 = 30 s sonra yetişir. Arkadaki daha yavaşsa ya da hızlar eşitse yetişme olmaz. Bu iki problem, sonraki derslerde işlenecek bağıl hareketin ilk örnekleridir.

Konumları eşitleyerek çözmek

Karşılaşma sorularını yaklaşma hızı yerine iki konum denklemiyle de çözmek mümkündür ve bu yol, cisimler farklı anlarda yola çıktığında daha güvenlidir. K cismi x = 0'dan +6 m/s ile, L cismi x = +84 m'den −8 m/s ile aynı anda hareket etsin. Konumlar x_K = 6t ve x_L = 84 − 8t olur. Karşılaşmada konumlar eşittir: 6t = 84 − 8t, buradan t = 6 s ve karşılaşma konumu x = +36 m bulunur. L'nin hızı eksi işaretle yazıldığı için denklem kendiliğinden doğru sonucu verir. Cisimlerden biri geç çıkıyorsa onun denkleminde t yerine, kendi hareket süresi olan t − t_gecikme yazılır.

Model ne zaman işe yarar?

Düzgün doğrusal hareket bir modeldir. Bir aracın kalkıştaki ve duruştaki birkaç saniyesi bu modele uymaz; ama uzun bir yolculuğun büyük bölümünde hız yaklaşık sabitse, toplam süreyi tahmin etmek için model yeterlidir. Soru "sabit hızla" ya da "düzgün olarak" diyorsa bu modeli kullanırız; hızın değiştiği söylenirse sonraki derslerin ivmeli hareket denklemlerine geçmek gerekir.

Uzunluğu olan cisimler

Bir trenin bir köprüyü tamamen geçmesi, trenin ön ucunun köprüye girdiği andan arka ucunun köprüden çıktığı ana kadar sürer. Bu sürede trenin ön ucu, köprünün uzunluğu artı trenin kendi uzunluğu kadar yol alır:

t = (L_köprü + L_tren) / v

Örneğin 150 m uzunluğunda bir tren 30 m/s hızla 450 m'lik bir köprüyü 600 / 30 = 20 s'de tamamen geçer. Yalnız ön ucun köprü boyunca ilerlediği süre sorulursa trenin uzunluğu eklenmez. Trenin tamamen tünelin içinde bulunduğu süre sorulursa yol, tünelin uzunluğu eksi trenin uzunluğu olur.

Soru çözme sırası

Önce pozitif yön ve başlangıç noktası seçilir. Her cisim için x = x₀ + v·t yazılır; negatif yönde gidenin hızı eksi işaretle girer. Karşılaşma ya da yetişme sorulursa iki konum eşitlenir; ya da doğrudan yaklaşma hızı kullanılır. Uzunluğu olan cisimlerde hangi ucun nereden nereye gittiği bir çizimle belirlenir.

Örnek 1 — Konum denklemi

Soru: x₀ = +12 m konumundan −2 m/s sabit hızla başlayan bir cismin 9 s sonraki konumu nedir?

• A) +30 m
• B) −6 m
• C) +18 m
• D) −18 m
• E) +6 m

Çözüm: x = 12 + (−2)(9) = 12 − 18 = −6 m. Cevap: B.

Örnek 2 — Eğim

Soru: Konumu zamanla hiç değişmeyen, grafiği yatay çizgi olan cisim için hangisi doğrudur?

• A) Hızı artmaktadır.
• B) Negatif yönde gitmektedir.
• C) Sabit hızla gitmektedir.
• D) Durmaktadır.
• E) İvmesi artmaktadır.

Çözüm: Eğim sıfır olduğundan hız sıfırdır; cisim durmaktadır. Cevap: D.

Örnek 3 — Karşılaşma

Soru: Aralarında 180 m bulunan iki bisikletli 4 m/s ve 5 m/s hızlarla birbirine doğru aynı anda hareket ediyor. Kaç saniye sonra karşılaşırlar?

• A) 20 s
• B) 36 s
• C) 45 s
• D) 180 s
• E) 9 s

Çözüm: Yaklaşma hızı 9 m/s'dir; 180 / 9 = 20 s. Cevap: A.

Örnek 4 — Tren

Soru: 100 m uzunluğunda bir tren 20 m/s hızla 500 m'lik bir tüneli tamamen geçiyor. Geçiş süresi nedir?

• A) 25 s
• B) 20 s
• C) 5 s
• D) 35 s
• E) 30 s

Çözüm: Ön uç 500 + 100 = 600 m yol alır; 600 / 20 = 30 s. Cevap: E.

• Karşılaşmada hızları çıkarmak. Birbirine doğru gidenlerde hızlar toplanır, aynı yönde gidenlerde çıkarılır.
• Trenin uzunluğunu unutmak. Tamamen geçişte köprü ile trenin uzunlukları toplanır.
• Negatif yöndeki hızın işaretini atmak. Konum denkleminde ters yön eksiyle yazılır.
• Yatay konum-zaman doğrusunu sabit hız sanmak. Yatay doğru durmayı gösterir.
• Birimleri karıştırmak. km/h ile verilen hız, metre ve saniyeyle çalışırken önce m/s'ye çevrilir.