Karışımların özkütlesi

Bir bardağa yarısına kadar şerbet, kalanına su konuyor. Şerbetin özkütlesi sudan büyüktür; karışımın özkütlesi ikisinin arasında bir yerde olmalıdır. Peki tam ortada mı? Bardağa eşit hacimde şerbet ve su konduysa evet, karışımın özkütlesi iki değerin tam ortasıdır. Ama bir tartıyla eşit kütlede şerbet ve su konduysa sonuç değişir: bu kez su, şerbetten daha büyük bir hacim kaplar ve karışımın özkütlesi suya daha yakın çıkar. Aynı iki sıvı, karıştırılma biçimine göre farklı bir karışım verir. Önceki derste bir maddenin özkütlesini kütlesinden ve hacminden bulduk. Bu derste birden fazla maddenin karışımına geçiyoruz: karışımın özkütlesini hesaplamayı, eşit hacim ve eşit kütle durumlarının kısa yollarını, karışım özkütlesinden karışım oranını geriye doğru bulmayı ve hacimlerin toplanmadığı durumları öğreniyoruz.

• Karışımın özkütlesini toplam kütlenin toplam hacme bölümü olarak hesaplarsın.
• Eşit hacimli ve eşit kütleli karışımlar için kısa yolları kullanır, iki sonucu karşılaştırırsın.
• Karışım özkütlesi verildiğinde karışanların hacim ya da kütle oranını bulursun.
• Karışım özkütlesinin hangi aralıkta kalacağını ve hacmin toplanmadığı durumları yorumlarsın.

Temel kural

Bir karışımın özkütlesi, tek bir maddede olduğu gibi kütlenin hacme bölümüdür; yalnızca bu kez kütle de hacim de toplamdır:

d_karışım = (m₁ + m₂) / (V₁ + V₂)

Bu formülde her bileşenin kütlesi ve hacmi ayrı ayrı bulunur, sonra toplanır. Bir bileşenin özkütlesi ve hacmi verilmişse kütlesi m = d · V ile, özkütlesi ve kütlesi verilmişse hacmi V = m/d ile hesaplanır. En sık yapılan hata, karışanların özkütlelerinin doğrudan ortalamasını almaktır; bu yalnızca özel bir durumda doğrudur.

Bu derste, aksi söylenmedikçe karışımın hacminin bileşenlerin hacimleri toplamına eşit olduğu kabul edilir. Sınav soruları da çoğunlukla bu varsayımla kurulur.

Bir tablo kurarak çözmek

Karışım sorularında en güvenli yol, her bileşen için bir satır, kütle, hacim ve özkütle için birer sütun olan küçük bir tablo kurmaktır. Her satırda bu üç değerden ikisi bilinir; üçüncüsü d = m/V ilişkisinden bulunur. En alta bir "toplam" satırı eklenir: kütle sütunu toplanır, hacim sütunu toplanır, ama özkütle sütunu toplanmaz. Toplam satırının özkütlesi, toplam kütlenin toplam hacme bölümüyle elde edilir.

Bir örnekle bakalım. 1,1 g/cm³ özkütleli 150 cm³ şurup ile 0,8 g/cm³ özkütleli 100 cm³ yağ aynı kaba konuyor. Şurubun kütlesi 165 g, yağınki 80 g'dır. Toplam satırında 245 g ve 250 cm³ yazar; karışımın ortalama özkütlesi 0,98 g/cm³ olur. Yağ ile şurup gerçekte birbirine karışmaz ve katmanlar oluşturur; yine de kaptaki maddenin tamamı için ortalama özkütle bu şekilde hesaplanır. Tablo, hangi sayının nereden geldiğini görünür kılar ve en sık hatayı, yani özkütleleri toplamayı, baştan engeller.

Hedef özkütleye ulaşmak

Bazen soru tersten sorulur: elimizdeki sıvıya, istenen bir özkütleye ulaşmak için diğer sıvıdan ne kadar eklenmelidir? Bilinmeyen hacim V diye adlandırılır ve tabloya yazılır. Örneğin 1,5 g/cm³ özkütleli 40 cm³ sıvıya su eklenerek 1,2 g/cm³'lük bir karışım elde edilmek isteniyor. Sıvının kütlesi 60 g'dır; eklenen suyun kütlesi V gram, hacmi V cm³'tür. (60 + V)/(40 + V) = 1,2 denklemi 12 = 0,2V verir, yani 60 cm³ su eklenmelidir. Hedef özkütle eklenen sıvının özkütlesine yaklaştıkça gereken miktar hızla büyür; hedef tam o özkütleye eşitse hiçbir sonlu miktar yetmez.

Karışım özkütlesi nerede kalır?

Karışımın özkütlesi her zaman bileşenlerin en düşük ile en yüksek özkütlesi arasındadır. İki bileşenli bir karışımda sonuç, hangi bileşenden daha çok hacim varsa onun özkütlesine daha yakındır. Bu bilgi, seçeneklerin bir kısmını hesap yapmadan eler: 0,8 ve 1,2 g/cm³'lük iki sıvının karışımı 0,7 ya da 1,3 olamaz.

Eşit hacimli karışım

İki sıvıdan eşit hacimler karıştırılırsa, V₁ = V₂ = V yazılır ve formül sadeleşir:

d_karışım = (d₁ · V + d₂ · V) / (2V) = (d₁ + d₂) / 2

Eşit hacimli karışımın özkütlesi, iki özkütlenin aritmetik ortalamasıdır. Kancadaki eşit hacimli şerbet ve su karışımı bu durumdur. Genel olarak hacimler farklıysa karışım özkütlesi, özkütlelerin hacimlere göre ağırlıklı ortalamasıdır.

Eşit kütleli karışım

İki sıvıdan eşit kütleler karıştırılırsa, m₁ = m₂ = m yazılır; hacimler m/d₁ ve m/d₂ olur:

d_karışım = 2m / (m/d₁ + m/d₂) = 2 · d₁ · d₂ / (d₁ + d₂)

Bu değer, aritmetik ortalamadan küçüktür ya da ona eşittir; eşitlik yalnızca iki özkütle aynıysa sağlanır. Nedeni şudur: eşit kütlede, özkütlesi küçük olan bileşen daha büyük bir hacim kaplar ve karışımı kendine doğru çeker. Bu yüzden aynı iki sıvının eşit kütleli karışımı, eşit hacimli karışımından daha az yoğundur.

Geriye doğru: karışım oranı

Karışımın özkütlesi verilip karışanların oranı sorulabilir. Bu durumda hacimler V₁ ve V₂ diye adlandırılır ve temel formül bir denkleme dönüşür. Örneğin 1 ve 5 g/cm³'lük iki sıvının karışımı 2 g/cm³ ise (V₁ + 5V₂) / (V₁ + V₂) = 2 yazılır, buradan V₁ = 3V₂ bulunur: birinci sıvıdan üç kat fazla hacim kullanılmıştır. Kütle oranı sorulursa hacimler özkütlelerle çarpılarak kütlelere geçilir. Sonuç akla uygun olmalıdır: karışım özkütlesi hangi bileşene yakınsa o bileşenin hacmi daha büyük çıkar.

Alaşımlar ve katı karışımlar

Kural yalnızca sıvılar için değil, metallerin eritilip karıştırılmasıyla elde edilen alaşımlar için de geçerlidir. Bir alaşımda her metalin kütlesi verilmişse önce hacimleri özkütlelerinden bulunur, sonra toplam kütle toplam hacme bölünür. Bir alaşımın özkütlesi ölçülerek içindeki metallerin oranı da aynı denklemle bulunabilir.

Hacim her zaman toplanmaz

Gerçekte bazı sıvılar karıştırıldığında karışımın hacmi, hacimler toplamından biraz küçük çıkar. Su ile alkol bunun bilinen bir örneğidir: moleküller birbirinin arasına yerleşir. Kütle ise her durumda korunur. Bu yüzden hacim azalırsa karışımın gerçek özkütlesi, hacimler toplanarak hesaplanan değerden büyük çıkar. Bir soru bu durumu söylemiyorsa hacimler toplanır; söylüyorsa verilen gerçek hacim kullanılır.

Grafik ve sözel yorum

Kütle-hacim grafiğinde iki saf maddenin doğruları başlangıçtan geçer. Bu iki maddenin herhangi bir karışımının doğrusu da başlangıçtan geçer ve iki doğrunun arasında yer alır. Karışım hangi bileşenden daha çok hacim içeriyorsa doğrusu o bileşenin doğrusuna daha yakındır. Bu görsel yorum, sayısal hesabın sonucunu denetlemek için de kullanılabilir.

Örnek 1 — Temel kural

Soru: 1 g/cm³ özkütleli 20 cm³ sıvı ile 2,5 g/cm³'lük 40 cm³ sıvı karıştırılıyor. Karışımın özkütlesi ne kadardır?

• A) 1,75
• B) 3,5
• C) 2,25
• D) 1,5
• E) 2

Çözüm: Kütleler 20 g ve 100 g'dır; karışım 120 g ve 60 cm³ olduğundan özkütle 2 g/cm³. Cevap: E.

Örnek 2 — Eşit kütle

Soru: Özkütleleri 2 ve 6 g/cm³ olan iki sıvıdan eşit kütleler karıştırılıyor. Karışımın özkütlesini bulunuz.

• A) 3
• B) 4,5
• C) 3,6
• D) 2,4
• E) 5,2

Çözüm: 2 · 2 · 6 / (2 + 6) = 24/8 = 3 g/cm³; aritmetik ortalama olan 4'ten küçüktür. Cevap: A.

Örnek 3 — Geriye doğru

Soru: Özkütleleri 1 ve 4 g/cm³ olan iki sıvıdan elde edilen karışımın özkütlesi 2 g/cm³'tür. Birinci sıvının hacminin ikincininkine oranı kaçtır?

• A) 0,25
• B) 2
• C) 2,8
• D) 1,5
• E) 3,5

Çözüm: (V₁ + 4V₂)/(V₁ + V₂) = 2 eşitliği V₁ = 2V₂ verir; oran 2. Cevap: B.

Örnek 4 — Hacim azalması

Soru: İki sıvı karıştırıldığında karışımın hacmi, hacimler toplamından biraz küçük çıkıyor. Karışımın gerçek özkütlesi için hangisi doğrudur?

• A) Hacimler toplanarak hesaplanan değere eşittir.
• B) Hesaplanan değerden küçüktür.
• C) Hacimler toplanarak hesaplanan değerden büyüktür.
• D) Bileşenlerin en küçüğünden küçüktür.
• E) Sıfırdır.

Çözüm: Kütle korunurken hacim azaldığı için özkütle hesaplanan değerden büyük olur. Cevap: C.

• Özkütlelerin ortalamasını her durumda almak. Ortalama yalnız eşit hacimli karışımda geçerlidir.
• Eşit kütleli karışımı eşit hacimli gibi hesaplamak. Eşit kütlede 2d₁d₂/(d₁ + d₂) kullanılır.
• Kütle ile hacmi karıştırarak toplamak. Karışımda kütleler ayrı, hacimler ayrı toplanır.
• Sonucun aralığını denetlememek. Karışım özkütlesi bileşenlerin özkütleleri arasındadır.
• Hacim azalmasını unutmak. Soru belirtiyorsa gerçek hacim kullanılır; özkütle artar.