Dayanıklılık

Bir karınca kendi ağırlığının birkaç katı yükü taşıyabilir; bir fil, kendi ağırlığının yanında küçük bir yükle zorlanır. Bundan karıncanın filden "güçlü" olduğu sonucu çıkmaz. Fark, boyutun kendisinden gelir. Bir cismin bütün uzunlukları iki katına çıkarsa ayaklarının kesit alanı dört katına çıkar, ama hacmi ve dolayısıyla ağırlığı sekiz katına çıkar. Taşıyıcı yüzey ağırlığa yetişemez. Masaldaki dev bu yüzden gerçek dünyada ayakta duramaz; kemikleri kendi ağırlığı altında kırılır. Önceki iki derste kütle, hacim ve özkütleyi kullandık. Bu derste aynı büyüklüklerden yola çıkarak dayanıklılığı tanımlıyoruz: kesit alanının hacme oranını, boyut büyüdükçe bu oranın neden küçüldüğünü ve bunun canlılarda, yapılarda ve ölçekli modellerde nasıl göründüğünü öğreniyoruz.

• Dayanıklılığı kesit alanının hacme oranı olarak tanımlar, küp, prizma ve silindir için hesaplarsın.
• Uzunluklar k katına çıktığında alanın, hacmin ve dayanıklılığın nasıl değiştiğini bulursun.
• Küçük ve büyük canlıların, ölçekli modellerin dayanıklılık farkını açıklarsın.
• Dayanıklılığı yüzey alanı/hacim oranından ve malzemenin kendi direncinden ayırırsın.

Tanım

Bir cismin kendi ağırlığı altında ne kadar sağlam kalacağı, iki büyüklüğün yarışına bağlıdır. Ağırlık, cismin hacmiyle orantılıdır; aynı maddeden yapılmış iki cisimden hacmi büyük olan daha ağırdır. Ağırlığı taşıyan şey ise cismin kesit alanıdır: bir sütunda taban, bir canlıda bacak kemiğinin enine kesiti. Kesit alanı büyüdükçe yük daha geniş bir yüzeye dağılır. TYT fiziğinde bu yarış tek bir oranla ifade edilir:

Dayanıklılık ∝ kesit alanı / hacim

Bu oran büyükse cisim kendi ağırlığına göre daha dayanıklıdır. Oranın birimi uzunluğun tersidir (cm⁻¹ ya da m⁻¹). Soru çoğunlukla sayının kendisini değil, iki cismin dayanıklılıklarının oranını ya da sıralamasını ister.

Bu karşılaştırma aynı maddeden yapılmış cisimler için anlamlıdır. Çelikten ve tahtadan yapılmış iki sütunu yalnız bu oranla karşılaştırmak yanlış olur; malzemenin kendi direnci de işin içindedir.

Küp, prizma ve silindir

Ayrıtı a olan bir küpte kesit alanı a², hacim a³ olduğundan dayanıklılık 1/a ile orantılıdır. 10 cm ayrıtlı bir küp için oran 1/10 cm⁻¹ olur.

Tabanı üzerinde duran bir dikdörtgenler prizmasında kesit alanı taban alanıdır; hacim taban alanı çarpı yüksekliktir. Oran sadeleşince 1/h kalır: dayanıklılık yalnız yüksekliğe bağlıdır.

Dik duran bir silindirde de aynı sadeleşme olur: πr² / (πr²h) = 1/h. Bu, sınavların sevdiği bir sonuçtur. Yarıçapı 1 cm, yüksekliği 8 cm olan silindir ile yarıçapı 6 cm, yüksekliği 8 cm olan silindir aynı dayanıklılığa sahiptir; ikisinin oranı da 1/8 cm⁻¹'dir. Yarıçap kesit alanını büyütür ama hacmi de aynı oranda büyütür, etkisi birbirini götürür. Kalın bir sütun, kendi ağırlığına karşı ince bir sütundan daha dayanıklı değildir; kalın sütunun avantajı, üzerine konan dış yükü taşımaktır.

Ölçek büyüyünce ne olur?

Bir cismin biçimi korunarak bütün uzunlukları k katına çıkarılsın. Alanlar iki uzunluğun çarpımı olduğu için k² katına, hacimler üç uzunluğun çarpımı olduğu için k³ katına çıkar. Dayanıklılık bu ikisinin oranı olduğundan k²/k³ = 1/k katına iner.

Bir örnek: biçimi aynı kalan bir cismin bütün uzunlukları 4 katına çıkarsa kesit alanı 16 katına, hacmi ve ağırlığı 64 katına çıkar; birim kesit alanına düşen yük 4 katına çıkar, dayanıklılık dörtte birine iner. Aynı malzeme bu yükü taşıyamayabilir.

Tersine, bir cisim küçültüldükçe dayanıklılığı artar. Büyük bir küp eşit küçük küplere bölünürse her küçük küp büyük küpten daha dayanıklıdır; ayrıt kaç kat kısaldıysa dayanıklılık o kadar kat artar.

Canlılarda boyut

Bu ilişki, canlıların biçimini anlamak için güçlü bir araçtır. Küçük böcekler kendi ağırlıklarına göre büyük yükler taşır; düşen bir kedi çoğu zaman yara almadan kalkar, aynı yükseklikten düşen bir at ağır yaralanabilir. Büyük kara hayvanlarında ise bacaklar gövdeye göre belirgin biçimde kalındır. Bir fil, bir ceylanın büyütülmüş kopyası gibi yapılmış olsaydı ince bacakları ağırlığı taşıyamazdı; kemik kesiti, uzunluktan daha hızlı büyümek zorundadır.

Bu düşünceyi ilk açık biçimde yazanlardan biri Galileo'dur. 1638'de yayımlanan İki Yeni Bilim kitabında, bir hayvan ya da yapı büyütüldükçe kemiklerinin orantısız biçimde kalınlaşması gerektiğini, aksi hâlde kendi ağırlığı altında çökeceğini anlatır. Masaldaki devin ayakta duramaması bu akıl yürütmenin bir sonucudur.

Suda yaşayan canlılar bu sınırı bir ölçüde aşar: kaldırma kuvveti ağırlığın büyük bölümünü taşıdığı için, bilinen en büyük hayvanlar denizdedir.

Yapılar ve ölçekli modeller

Mühendislikte bir köprünün ya da binanın küçük ölçekli modeli, gerçek yapıdan daha dayanıklıdır. Model 1/20 ölçekteyse dayanıklılığı gerçek yapınınkinin 20 katıdır. Bu yüzden modelin sağlam durması, gerçek yapının da sağlam olacağını göstermez. Mimarlar büyük yapılarda taşıyıcı elemanları uzunlukla orantılı değil, daha hızlı kalınlaştırır ya da daha dayanıklı malzemeye geçer.

Karıştırılmaması gereken oran

Dayanıklılık, yüzey alanı/hacim oranıyla karıştırılmamalıdır. İkincisi cismin bütün dış yüzeyini hesaba katar ve ısı kaybı, buharlaşma, çözünme gibi olaylarla ilgilidir. İki oran da boyut büyüdükçe küçülür, bu yüzden aynı yönde hareket eder; ama sınav sorusu "dayanıklılık" diyorsa yalnız yükü taşıyan kesit alanı kullanılır. Bir küpte yüzey alanı/hacim oranı 6/a iken dayanıklılık 1/a ile orantılıdır.

Günlük gözlemler

Aynı ilişki gündelik deneyimde de görülür. Masadan düşen küçük bir oyuncak çoğu zaman sağlam kalırken, aynı malzemeden yapılmış büyük bir heykel benzer bir düşüşte kırılır. Kurumuş bir dal parçası elde kolayca taşınır, ama aynı ağacın gövdesi devrildiğinde kendi ağırlığıyla çatlar. Uzun ve ince bir çubuk, kısa bir parçasına göre daha kolay bükülür. Bu gözlemlerin hepsinde ortak olan şey, cismin büyüdükçe kendi ağırlığının taşıyıcı kesite göre daha hızlı artmasıdır. Dayanıklılık oranı, bu sezgiyi sayıya döken basit bir araçtır.

Soru çözme sırası

Dayanıklılık sorusunda önce cismin biçimi belirlenir. Küpse 1/a, tabanı üzerinde duran prizma ya da silindirse 1/h yazılır. Biçim korunarak büyütme varsa 1/k kuralı kullanılır. Son olarak istenen oran ya da sıralama bulunur; büyük cismin dayanıklılığının küçük çıkması, sonucu denetlemenin en hızlı yoludur.

Örnek 1 — Küp

Soru: Ayrıtı 6 cm olan bir küpün dayanıklılığı, ayrıtı 2 cm olan aynı maddeden bir küpünkinin kaç katıdır?

• A) 3 katı
• B) 1/9 katı
• C) 9 katı
• D) 1/3 katı
• E) Eşittir

Çözüm: Küpte dayanıklılık 1/a ile orantılıdır; oran (1/6)/(1/2) = 1/3. Büyük küp daha az dayanıklıdır. Cevap: D.

Örnek 2 — Silindir

Soru: Yarıçapı 5 cm, yüksekliği 12 cm olan dik silindirin dayanıklılığı ne kadardır?

• A) 5/12 cm⁻¹
• B) 1/12 cm⁻¹
• C) 1/5 cm⁻¹
• D) 12/5 cm⁻¹
• E) 1/60 cm⁻¹

Çözüm: πr²/(πr²h) = 1/h; yarıçap sadeleşir, sonuç 1/12 cm⁻¹. Cevap: B.

Örnek 3 — Ölçek

Soru: Biçimi korunarak bütün uzunlukları 3 katına çıkarılan bir heykelin dayanıklılığı nasıl değişir?

• A) Üçte birine iner.
• B) 3 katına çıkar.
• C) 9 katına çıkar.
• D) Dokuzda birine iner.
• E) Değişmez.

Çözüm: Kesit alanı 9, hacim 27 katına çıkar; 9/27 = 1/3. Cevap: A.

Örnek 4 — Kavram

Soru: Büyük kara hayvanlarının bacaklarının gövdeye göre kalın olmasının nedeni nedir?

• A) Kas kütlelerinin az olması
• B) Hacimleri ve ağırlıkları, kemik kesitinden daha hızlı büyür.
• C) Yüzey alanlarının küçük olması
• D) Özkütlelerinin yüksek olması
• E) Hızlı koşmaları

Çözüm: Ağırlık k³, kesit k² ile büyüdüğü için kemik kesiti orantısız kalınlaşmalıdır. Cevap: B.

• Kalın cismi daha dayanıklı sanmak. Dik silindir ve prizmada dayanıklılık yalnız yüksekliğe bağlıdır.
• Ölçekte k² ya da k³ kullanmak. Dayanıklılık 1/k katına iner; alan ve hacim ayrı ayrı değişir.
• Yüzey alanı ile kesit alanını karıştırmak. Dayanıklılıkta yalnız yükü taşıyan kesit kullanılır.
• Farklı malzemeleri bu oranla kıyaslamak. Oran aynı maddeden cisimler için anlamlıdır.
• Sonucu ters yazmak. Büyük cismin dayanıklılığı küçüktür; oran 1'den büyük çıktıysa denetle.