Profil çıkarma ve eğim

İzci kampının ikinci günü. Grup ikiye ayrılacak: bir ekip 500 m'lik tepede bekleyecek, öteki vadiyi geçip karşı sırtın ardındaki mola yerine inecek. Lider, iki ekibin el aynalarıyla birbirine işaret vermesini istiyor; bunun için iki noktanın birbirini görmesi gerekiyor. Arda haritaya eğiliyor: aradaki tek engel 300 m'lik bir sırt. «Tepeden 200 m alçak, önümüzü kesmez» diyor. Lider bir şey söylemiyor, yalnız Arda'ya bir cetvel ve bir kâğıt şeridi uzatıyor. Kâğıt üzerinde on dakikalık bir çizim, kampın yarım gününü boşa geçirecek bir tahmini düzeltebilir.

• İzohipsli bir haritada seçilen doğrultunun profilini adım adım çizersin.
• Profil üzerinde dik ve az eğimli kesimleri ayırır, iki noktanın birbirini görüp görmediğine karar verirsin.
• Ölçeği uygulayarak iki nokta arasındaki ortalama eğimi yüzde ve binde olarak hesaplarsın.
• İki güzergâhın eğimini karşılaştırıp hangisinin daha dik olduğunu gerekçelendirirsin.

Arazinin dilimi

İzohipsli bir haritada yükseltiyi çizgilerin değerinden okursun, ama yamacın biçimi, yani nerede şişip nerede çukurlaştığı, çizgilerin arasında saklı kalır. Profil (kesit), araziyi haritada seçilen bir doğru boyunca bir pastayı keser gibi dikine dilimlemek ve kesilen yüzü kâğıda çizmektir. Yatay eksende o doğru boyunca ilerlenen uzaklık, düşey eksende yükselti durur. Böylece haritada sıkışan ya da seyrelen çizgiler, profilde dikleşen ya da yatıklaşan bir eğriye dönüşür.

Profili adım adım çıkarmak

1. Haritada iki uç noktayı (örneğin A ve B) cetvelle birleştir. Bu, kesit çizgisidir.
2. Bir kâğıt şeridinin kenarını kesit çizgisine yasla. Çizginin her izohipsi kestiği yere küçük bir çentik at ve yanına o izohipsin değerini yaz. Tepe noktası, akarsu gibi değeri verilmiş özel noktaları da işaretle.
3. Kâğıdının altına yatay bir eksen çiz; uzunluğu kesit çizgisiyle aynı olsun. Sol ucuna dikey bir yükselti ekseni ekle ve bunu eşit aralıklarla böl (0, 100, 200 m…).
4. Şeridi yatay eksenin üzerine koy, her çentiği eksene aktar. Her çentikten yukarı, kendi yükselti değerinin hizasına kadar ince bir dikme çık ve ucuna nokta koy.
5. Noktaları yumuşak bir eğriyle birleştir. Aynı değerli iki izohips arasında eğri ya biraz yükselir (tepe) ya da biraz alçalır (çukur, vadi tabanı); hangisinin olduğunu haritadaki yükselti noktalarından ve akarsulardan anlarsın.

Profilde düşey ölçek çoğu zaman yatay ölçekten büyük seçilir; yoksa birkaç yüz metrelik bir tepe kilometrelerce uzanan eksen üzerinde dümdüz bir çizgi gibi kalırdı. Bunun bedeli şudur: çizilen profil, arazinin gerçekte olduğundan daha dik görünür. Eğimi gözle değil, hesapla karşılaştırmanın ilk nedeni budur.

Sözel harita: A'dan B'ye bir kesit

Kâğıdını yatay tut; sol kenar batı, sağ kenar doğu olsun. Sol kenarda kuzey-güney uzanan bir kıyı çizgisi var; A noktası tam bu kıyıda, deniz düzeyinde. A'nın hemen doğusunda ilk üç izohips (100 m, 200 m, 300 m) birbirine çok yakın sıralanıyor; 400 m izohipsi biraz daha açıkta. Ardından, kıyıdan 2 cm içeride, yükseltisi 500 m olarak verilmiş T tepesi geliyor. T'nin doğusunda çizgiler önce sık, sonra giderek seyrek; arazi V noktasında kuzeyden güneye akan bir akarsuya iniyor. Akarsuyun doğusunda 300 m'lik bir sırt (S) yükseliyor; en doğuda, kesit çizgisinin bittiği yerde B noktası duruyor. Haritanın ölçeği 1/50.000; yani haritadaki 1 cm, gerçekte 50.000 cm = 500 m.

Kesit çizgisi boyunca şeride düşülen çentikler şunlardır (örnek veri, öğretim amacıyla kurulmuş bir arazi):

Bu değerleri dikmelerle eksene taşıyıp birleştirdiğinde soldan sağa şu çizgiyi elde edersin: kıyıdan duvar gibi kalkan, tepeye yaklaştıkça yatıklaşan bir yamaç; T'den sonra önce sert, sonra yumuşayan bir iniş; vadi tabanı; düzenli bir çıkışla S sırtı ve yeniden iniş.

Dik ve az eğimli kesimler

Profilde eğrinin dikleştiği her kesim, haritada izohipslerin sıklaştığı yerdir. Örnek profilin batı yamacında eğim yukarı çıktıkça azalır: alt kısım dik, üst kısım yatık. Böyle bir yamaca dışbükey (konveks) yamaç denir; profilde dışarı doğru şişkin görünür. T'nin doğu yamacında tersi olur: üst kısım dik, alt kısım yatık. Bu da içbükey (konkav) yamaçtır; profilde içeri doğru çukur görünür.

Görünürlük: iki nokta birbirini görür mü?

Profil üzerinde iki noktayı cetvelle düz bir çizgiyle birleştir; bu görüş çizgisidir. Aradaki arazi bu çizginin hep altında kalıyorsa iki nokta birbirini görür. Arazinin herhangi bir parçası çizginin üstüne çıkıyorsa görüş kesilir.

Burada kritik ayrıntı şudur: engelin iki noktadan yüksek olması gerekmez. T (500 m) ile B (100 m) arasına bak. Görüş çizgisi 8 cm'de 400 m alçalır, yani her santimetrede 50 m. S'nin bulunduğu 8,0 cm'de, T'den 6 cm uzakta, çizgi 500 − 6 × 50 = 200 m yüksekliktedir. S ise 300 m'dir; çizginin 100 m üstüne çıkar ve T ile B birbirini görmez. S, T'den 200 m alçak olduğu hâlde engeldir; kamptaki Arda'nın tahmini de tam bu noktada çöker.

Yamacın biçimi de görünürlüğü belirler. İçbükey yamaçta zirve ile etek birbirini görür: T'den V'ye çekilen çizgi her santimetrede 100 m iner; 3,0 cm'de 400 m'dedir, arazi 300 m; 4,0 cm'de 300 m'dedir, arazi 200 m. Çizgi hep arazinin üstünden geçer. Dışbükey yamaçta ise şişkin kısım araya girer: A'dan T'ye çizgi santimetrede 250 m yükselir ve 1,0 cm'de 250 m'dedir; arazi orada 400 m. Kıyıdaki A, T'yi göremez.

Eğimi sayıya çevirmek

Görünüş kıyaslamaya yetmez; eğim bir oranla ölçülür:

Eğim = yükselti farkı ÷ gerçek yatay uzaklık

Oranı 100 ile çarparsan yüzde (%), 1.000 ile çarparsan binde (‰) eğim bulursun. 100 m yatay ilerlemede 20 m yükselen bir yamacın eğimi 20 ÷ 100 = 0,20, yani %20 ya da ‰200'dür. Yüzde ve binde aynı oranın iki yazılışıdır; ‰200 ile %20 eşittir.

Hesap üç adımda kurulur. Önce iki noktanın yükseltilerini oku ve büyükten küçüğü çıkar. Sonra haritadaki uzunluğu ölçek paydasıyla çarpıp gerçek uzaklığa çevir. En son iki sayıyı aynı birime, genellikle metreye getirip böl.

Örnek profilde A'dan T'ye: yükselti farkı 500 − 0 = 500 m; harita uzunluğu 2 cm, gerçek uzaklık 2 × 500 = 1.000 m; eğim 500 ÷ 1.000 = %50. Tek tek kesimlere inince tablo değişir: A ile 0,6 cm arası 300 m yatayda 300 m yükselir, eğim %100'dür; 1,0 cm ile T arası 500 m yatayda 100 m yükselir, eğim %20'dir. %100, dikey bir duvar demek değildir: yükselti farkının yatay uzaklığa eşit olduğu, yaklaşık 45°'lik bir yamaçtır.

Bu hesabın verdiği değer ortalama eğimdir. A'dan B'ye bütün kesitte yükselti farkı yalnız 100 m, yatay uzaklık 10 × 500 = 5.000 m; ortalama eğim %2 çıkar. Oysa yol üzerinde %100'lük bir yamaç vardır. Ortalama, iki uç arasındaki farkı ölçer; aradaki iniş çıkışları silmez.

Ölçek ve birim: hesabın kırıldığı yer

Formülü bilen öğrenci de pay ile paydayı yanlış kurunca yanlış seçeneğe varır. Üç kırılma noktası öne çıkar:

• Ölçeği uygulamamak: 500 m'yi 2 cm'ye bölmek bir eğim vermez; harita uzunluğu gerçek uzaklık değildir.
• Birim kaydırmak: 1/50.000 ölçekte 1 cm = 50.000 cm = 500 m'dir, 5 km değil. Yükselti metre, uzaklık kilometre kalırsa sonuç bin kat sapar.
• Yükselti farkı yerine yükselti almak: 300 m'deki bir köyden 900 m'deki bir yaylaya çıkan yolda pay 600 m'dir, 900 m değil.

Haritada ölçtüğün uzunluk yatay izdüşümdür. Eğimli yüzeydeki gerçek yol bundan biraz uzundur; eğim hesabında ise her zaman yatay uzaklık kullanılır.

İki güzergâhı karşılaştırmak

Bir köyden yaylaya çıkan iki yolu bir haritada ölçelim; haritanın ölçeği 1/100.000 (örnek veri):

Yükselti farkı eşit olduğu için karşılaştırmayı uzaklık belirler: aynı tırmanış daha kısa mesafeye sığınca eğim büyür. Dere yolu kısa ama diktir. İki güzergâh farklı ölçekli haritalardan geliyorsa harita uzunluklarını asla doğrudan kıyaslama; her birini kendi ölçeğiyle metreye çevir, sonra böl.

Bu derste küçük bir alanı düz bir kâğıt gibi ele aldık; birkaç kilometrelik bir kesitte Dünya'nın eğriliği hesaba girmez. Bütün bir kıtayı ya da Dünya'nın tamamını kâğıda aktarmak istediğinde ise küre yüzeyi yırtılmadan ve gerilmeden düzleşmez. Silindirik, konik ve düzlem projeksiyonların bu açma işini nasıl yaptığına ve hangisinin Ekvator çevresinde, orta enlemlerde ya da kutuplarda daha az bozduğuna bir sonraki derste bakacağız.

Örnek 1 — Profilde en dik kesim

Soru: Konu anlatımındaki örnek profilde (ölçek 1/50.000) aşağıdaki kesimlerden hangisinin ortalama eğimi en fazladır?

• A) A ile 0,6 cm arası (0 → 300 m)
• B) 1,0 cm ile T arası (400 → 500 m)
• C) T ile 2,5 cm arası (500 → 400 m)
• D) 4,0 cm ile V arası (200 → 100 m)
• E) V ile S arası (100 → 300 m)

Çözüm: Her kesimde harita uzunluğunu 500 ile çarpıp metreye çevir, sonra yükselti farkını böl. A: 0,6 cm = 300 m, 300 ÷ 300 = %100. B: 1 cm = 500 m, 100 ÷ 500 = %20. C: 0,5 cm = 250 m, 100 ÷ 250 = %40. D: 2 cm = 1.000 m, 100 ÷ 1.000 = %10. E: 2 cm = 1.000 m, 200 ÷ 1.000 = %20. En büyük yükselti farkı E'de olsa da en kısa yatay mesafeye en çok tırmanış A'da sığar. Cevap: A.

Örnek 2 — Yükselti farkı ve birim

Soru: Ölçeği 1/50.000 olan bir haritada V (100 m) ile S (300 m) arası 2 cm ölçülüyor. V ile S arasındaki ortalama eğim yüzde kaçtır?

• A) %2
• B) %10
• C) %20
• D) %30
• E) %200

Çözüm: Yükselti farkı 300 − 100 = 200 m. Gerçek uzaklık 2 × 50.000 = 100.000 cm = 1.000 m. Eğim 200 ÷ 1.000 = 0,20 = %20. Sağlama: %20'lik eğimde 1.000 m yatayda 200 m tırmanılır; tutuyor. %30, S'nin yükseltisini fark yerine alanın; %10, V'nin yükseltisini alanın; %2, 1 cm'yi 5 km sanıp uzaklığı 10.000 m bulanın; %200 ise metreyi kilometreye bölenin sonucudur. Cevap: C.

Örnek 3 — Alçak bir sırt görüşü keser mi?

Soru: Örnek profilde T (2,0 cm; 500 m), S (8,0 cm; 300 m) ve B (10,0 cm; 100 m) aynı kesit üzerindedir. T'deki gözcü B'yi görebilir mi?

• A) Görür; S, T'den 200 m alçaktır.
• B) Görür; hem S hem B, T'den alçaktır.
• C) Görmez; S hizasında görüş çizgisi 200 m'dedir, 300 m'lik S onu keser.
• D) Görmez; V vadisi görüşü keser.
• E) Görür; A–B arasının ortalama eğimi yalnız %2'dir.

Çözüm: T ile B arasında görüş çizgisi 8 cm'de 400 m alçalır; santimetre başına 50 m. S, T'den 6 cm uzakta: 500 − 6 × 50 = 200 m. Arazi orada 300 m, çizginin 100 m üstünde. Kontrol: 9,0 cm'de çizgi 150 m, arazi 200 m; orada da arazi üstte. Vadi çizginin altında kalır, engel olmaz. Engelin iki noktadan da yüksek olması gerekmez; çizgiyi aşması yeter. Cevap: C.

Örnek 4 — Farklı ölçekli iki harita

Soru: P yolu 1/25.000'lik bir haritada 16 cm, R yolu 1/100.000'lik başka bir haritada 3 cm ölçülüyor. İki yol da 600 m'den 1.200 m'ye çıkıyor. Hangisi doğrudur?

• A) P %15, R %20; R daha diktir.
• B) P %3,75, R %20; R daha diktir.
• C) P %15, R %80; R daha diktir.
• D) Yükselti farkları aynı olduğu için eğimleri eşittir.
• E) P %30, R %40; R daha diktir.

Çözüm: P: 16 × 25.000 = 400.000 cm = 4.000 m; 600 ÷ 4.000 = %15. R: 3 × 100.000 = 300.000 cm = 3.000 m; 600 ÷ 3.000 = %20. Sağlama: %15 × 4.000 = 600, %20 × 3.000 = 600. B, P'ye de 1/100.000 ölçeği uygulayanın; C, R'ye 1/25.000 uygulayanın; E, fark yerine varış yükseltisini (1.200 m) alanın sonucudur. Cevap: A.

• Ölçeği atlamak. Harita santimetresi gerçek uzaklık değildir; önce ölçek paydasıyla çarpılıp metreye çevrilir, sonra bölünür.
• Birim kaydırmak. 1/50.000'de 1 cm 500 m eder, 5 km değil; yükselti metreyken uzaklık kilometre bırakılırsa sonuç bin kat sapar.
• Yükselti farkı yerine yükselti almak. Pay, iki noktanın yükseltileri arasındaki farktır; varış noktasının yükseltisi değil.
• %100'ü dikey duvar sanmak. %100, yükselti farkının yatay uzaklığa eşit olduğu, yaklaşık 45°'lik eğimdir.
• Görünürlüğü yalnız yükseltiyle karar vermek. İki noktadan alçak bir sırt da görüş çizgisinin üstüne çıkıyorsa görüşü keser; dışbükey yamaçta zirve ile etek birbirini görmeyebilir.
• Ortalamayı her kesime yaymak. İki uç arasındaki %2'lik ortalama eğim, aradaki %100'lük yamacı gizleyebilir.