Ölçek hesapları

Defne, hafta sonu babasıyla yapacağı bisiklet turunu planlıyor. Masadaki haritanın köşesinde «1/250.000» yazıyor; cetveli iki köyün arasına koyuyor, 6 cm okuyor. Hesap makinesinde 6 × 250.000 = 1.500.000 çıkıyor. Defterine «1.500 km» yazıyor, sonra kalemi bırakıp gülüyor: bu, Türkiye'yi doğudan batıya neredeyse baştan başa geçmek kadar bir yol. İki komşu köy arası bu kadar olamaz. Çarpma doğru, sayı doğru; yanlış olan, sonucun hangi birimde çıktığını unutmak. 1.500.000 santimetredir ve kilometreye çevrilince 15 km eder, yani bir öğleden sonralık pedal. Ölçek sorularında hataların büyüğü çarpmada değil, sıfırların sayısında ve birimin adında saklanır.

• Kesir ölçekten ve çizgi ölçekten yararlanarak iki nokta arasındaki gerçek uzaklığı hesaplarsın.
• Gerçek uzunluk, harita uzunluğu ve ölçek paydasından eksik olanı bulur, santimetreyi kilometreye hatasız çevirirsin.
• Ölçeğin karesini kullanarak haritadaki alanı gerçek alana, gerçek alanı haritadaki alana dönüştürürsün.
• Farklı ölçekli iki haritada aynı uzunluğun ya da alanın nasıl değiştiğini karşılaştırırsın.

Kesir ölçek ne söyler?

Kesir ölçek, haritadaki uzunlukla gerçek uzunluk arasındaki oranı bir kesirle yazar. «1/100.000» ifadesinin okunuşu şudur: haritadaki 1 birimlik uzunluk, gerçekte aynı birimden 100.000 tanesine karşılık gelir. Birim yazılmaz, çünkü oran her birimde aynıdır: haritadaki 1 cm gerçekte 100.000 cm, haritadaki 1 mm gerçekte 100.000 mm eder. Payın her zaman 1 olduğu bu kesirde bütün bilgi paydadadır. Payda, gerçeğin kaç kez küçültüldüğünü söyler. Aynı ölçek 1:100.000 biçiminde de yazılabilir; anlamı değişmez.

Birim merdiveni: santimetreden kilometreye

Hesabın kendisi bir çarpmadır, zorluk birimdedir. Merdiveni ezberle: 1 km = 1.000 m, 1 m = 100 cm, öyleyse 1 km = 100.000 cm. Santimetre cinsinden bir sonucu kilometreye çevirmek için 100.000'e bölersin; pratikte sondan beş sıfır silmek demektir. Metreye çevirmek içinse 100'e bölmek, yani iki sıfır silmek yeter.

Bu merdivenin en kullanışlı sonucu şudur: ölçek paydasından beş sıfır silersen haritadaki 1 cm'nin kaç kilometre ettiğini doğrudan okursun. 1/100.000'de 1 cm = 1 km, 1/1.000.000'da 1 cm = 10 km. Aşağıdaki tablo bu kısayolu sık görülen ölçeklerde gösterir; değerler hesaptan gelir, yuvarlama yoktur.

Üç büyüklük, tek bağıntı

Ölçek sorularında üç büyüklük vardır: haritadaki uzunluk (H), gerçek uzunluk (G) ve ölçek paydası (P). Aralarındaki bağıntı tektir: G = H × P. Hangisi eksikse bu eşitlikten çekilir:

• Gerçek uzunluk sorulursa: G = H × P.
• Haritadaki uzunluk sorulursa: H = G ÷ P.
• Ölçek sorulursa: P = G ÷ H, sonra cevap 1/P biçiminde yazılır.

Kural tek, ama bir koşulu var: G ile H aynı birimde olmalıdır. Gerçek uzunluk kilometreyle verilmişse önce santimetreye çevir, sonra böl. Örneğin gerçekte 30 km olan bir yol haritada 6 cm ise 30 km = 3.000.000 cm, P = 3.000.000 ÷ 6 = 500.000 ve ölçek 1/500.000 olur. 30'u doğrudan 6'ya bölüp «1/5» yazan biri, birimi eşitlemeyi atlamıştır.

Sağlama yapmanın kolay yolu sonucun makul olup olmadığına bakmaktır. Kancadaki 1.500 km iki köy için akla yatmıyordu; bir şehir planında 40 km'lik bir sokak da yatmaz.

Çizgi ölçek ve kesre çevirme

Çizgi ölçek, eşit parçalara bölünmüş bir doğru parçasıdır; her bölmenin altında gerçekte kaç kilometreye karşılık geldiği yazar. Örneğin «0 — 20 — 40 — 60 km» yazan ve her bölmesi 1 cm olan bir çizgi, haritadaki her 1 cm'nin gerçekte 20 km olduğunu söyler. Okuması kolaydır: pergelin iki ucunu haritadaki iki noktaya aç, sonra aynı açıklığı çizgi ölçeğin üstüne koy.

Çizgi ölçeği kesre çevirmek üç adımdır. Önce bir bölmenin haritadaki uzunluğunu ve gösterdiği gerçek uzunluğu oku. Sonra gerçek uzunluğu santimetreye çevir: 20 km = 2.000.000 cm. Son olarak bölmenin uzunluğuna böl: 2.000.000 ÷ 1 = 2.000.000, ölçek 1/2.000.000. Bölme 1 cm değil de 2 cm olsaydı ve yine 20 km gösterseydi payda 1.000.000 çıkardı. Sık yapılan hata, çizginin tamamının uzunluğu ile son rakamı karıştırmaktır: 3 cm'lik çizginin ucunda 60 km yazıyorsa 1 cm 20 km eder, 60 km değil.

Çizgi ölçeğin kesir ölçekten bir üstünlüğü vardır. Harita fotokopiyle büyütülür ya da ekranda yakınlaştırılırsa çizgi de haritayla birlikte büyür ve doğru ölçmeye devam eder. Kâğıda basılmış «1/400.000» yazısı ise büyütmeden sonra artık gerçeği söylemez.

Payda küçülünce ölçek büyür

Ölçek bir kesirdir ve payı 1 olan kesirlerde payda küçüldükçe kesrin değeri büyür: 1/50.000, 1/200.000'den büyüktür. Bu yüzden «ölçeği büyütmek» paydayı küçültmek demektir. Ölçek büyüdüğünde gerçek değişmez, yalnız haritadaki çizim büyür. Ölçeğin büyük ya da küçük sayılmasının harita türleriyle ilişkisi ayrı bir konudur; burada yalnız sayısal sonucuna bakıyoruz.

Sayısal sonuç şudur: payda k kat küçülürse haritadaki uzunluklar k kat uzar. 1/200.000'lik bir haritayı 1/50.000'e taşırsan payda 4 kat küçülür, bir yolun haritadaki uzunluğu 4 kat artar. Payda k kat büyürse uzunluklar k kat kısalır.

Aynı yol, iki harita

Farklı ölçekli iki haritada aynı yol çizildiğinde gerçek uzunluk ortaktır. Bu yüzden iki haritanın verileri arasında H₁ × P₁ = H₂ × P₂ eşitliği kurulur. Haritadaki uzunluk paydayla ters orantılıdır: paydası küçük olan haritada yol daha uzun çizilir.

1/1.000.000 ölçekli haritada 5 cm olan bir yol, 1/250.000 ölçekli haritada kaç cm olur? Gerçek uzunluk 5 × 1.000.000 = 5.000.000 cm, yani 50 km. İkinci haritada 5.000.000 ÷ 250.000 = 20 cm. Kısa yolu da aynı sonucu verir: payda 4 kat küçüldüğü için uzunluk 4 kat artar, 5 × 4 = 20 cm. Kısa yolu kullanırken yönü sor: küçük paydalı haritada sayı büyümeli. Sonuç ters çıkıyorsa payda yönünü karıştırmışsındır.

Alan: ölçeğin karesi

Alan iki uzunluğun çarpımıdır, ve haritada iki uzunluk birden küçültülür. 1/100.000 ölçekli haritada 1 cm × 1 cm'lik bir kare, gerçekte 1 km × 1 km'lik bir kareye karşılık gelir. Haritadaki 2 cm × 2 cm'lik kare ise 4 cm² eder ve gerçekte 2 km × 2 km = 4 km²'dir. Uzunluk P ile çarpılırken alan P² ile çarpılır: Gerçek alan = Harita alanı × P².

Kâğıt üstünde en güvenli yol, önce 1 cm'nin kaç km olduğunu bulmak, sonra onun karesini almaktır. 1/300.000'de 1 cm = 3 km, öyleyse 1 cm² = 9 km². Haritada 4 cm² tutan bir göl gerçekte 4 × 9 = 36 km²'dir. Karesini almayı unutan öğrenci 4 × 3 = 12 km² bulur. Bu, ölçek sorularının en sık çeldiricisidir.

Aynı kural iki harita karşılaştırmasına da uzanır. Payda k kat küçülürse uzunluklar k kat, alanlar k² kat büyür. 1/600.000'den 1/200.000'e geçen bir haritada payda 3 kat küçülmüştür; bir gölün haritadaki alanı 3 değil 9 katına çıkar.

Sözel harita: göl kıyısındaki üç yer

Bir kâğıda kuzey üstte olacak biçimde 1/200.000 ölçekli bir harita çiz; bu ölçekte 1 cm = 2 km ve 1 cm² = 4 km² eder. Kâğıdın sol altına Kaya kasabasını koy. Kaya'nın 4 cm doğusuna Su köyünü, 3 cm kuzeyine de bir gözetleme tepesi yerleştir. Kaya ile Su arası 4 × 2 = 8 km, Kaya ile tepe arası 3 × 2 = 6 km'dir. Tepe ile Su köyünü birleştiren eğik çizgi, kenarları 3 ve 4 cm olan dik üçgenin uzun kenarıdır ve haritada 5 cm ölçülür: gerçekte 10 km. Üçgenin içinde, bir köşesi Kaya'ya yaslanan 2 cm (doğu-batı) × 1,5 cm (kuzey-güney) boyutlarında dikdörtgen bir göl çiz. Göl haritada 3 cm² tutar, gerçekte 3 × 4 = 12 km²'dir. Aynı göl 1/100.000 ölçekli bir haritaya aktarılsa payda yarıya indiği için kenarları 4 cm × 3 cm, alanı 12 cm² olur; gerçek alan yine 12 km² çıkar, çünkü değişen yalnız çizimdir.

Düzlemden yüksekliğe

Ölçek, haritadaki iki nokta arasındaki yatay uzaklığı ve bir yüzeyin kapladığı alanı verir. Kaya ile tepe arasının 6 km olduğunu artık biliyorsun; ama o tepe kaç metre yüksek, yamacının bir yanı dik bir duvar mı, öteki yanı yavaşça yükselen bir sırt mı? Düz bir kâğıt üçüncü boyutu ancak bir çizim kuralıyla taşıyabilir. Sıradaki derste haritaya aynı yükseltideki noktaları birleştiren eğriler giriyor; yamacın dikliğini ve tepe, vadi, sırt gibi yer şekillerini bu eğrilerden okumayı orada öğreneceksin.

Örnek 1 — Kancadaki hesap

Soru: 1/250.000 ölçekli bir haritada iki köy arası 6 cm ölçülmüştür. İki köy arasındaki gerçek uzaklık kaç km'dir?

• A) 1,5
• B) 15
• C) 150
• D) 1.500
• E) 0,15

Çözüm: G = H × P = 6 × 250.000 = 1.500.000 cm. Santimetreden kilometreye geçmek için 100.000'e bölünür: 1.500.000 ÷ 100.000 = 15 km. Sağlama: bu ölçekte 1 cm = 2,5 km, 6 × 2,5 = 15 km. D seçeneği santimetreyi metre sanıp 1.000'e bölen öğrencinin cevabıdır; A, C ve E ise birim çevirisinde basamak kaydırılmış sonuçlardır. Cevap: B.

Örnek 2 — Çizgi ölçeği kesre çevirmek

Soru: Bir haritanın çizgi ölçeğinde 0 ile 30 km arasındaki aralık 2 cm'dir. Haritanın kesir ölçeği hangisidir?

• A) 1/3.000.000
• B) 1/150.000
• C) 1/1.500.000
• D) 1/15.000.000
• E) 1/6.000.000

Çözüm: 2 cm 30 km ettiğine göre 1 cm = 15 km. 15 km = 1.500.000 cm, ölçek 1/1.500.000. A seçeneği 30 km'yi 2'ye bölmeyi unutan öğrencinin cevabıdır; B ve D birim çevirisinde bir basamak kaydırılmış sonuçlardır; E ise 30 km'yi 2'ye bölmek yerine 2 ile çarpan hatadan gelir. Cevap: C.

Örnek 3 — Alanda kare

Soru: 1/250.000 ölçekli bir haritada bir göl 4 cm² yer kaplamaktadır. Gölün gerçek alanı kaç km²'dir?

• A) 10
• B) 1
• C) 100
• D) 2,5
• E) 25

Çözüm: Bu ölçekte 1 cm = 2,5 km, dolayısıyla 1 cm² = 2,5 × 2,5 = 6,25 km². Gerçek alan 4 × 6,25 = 25 km². A seçeneği alanı yalnız 2,5 ile çarpan, yani ölçeğin karesini almayı unutan öğrencinin cevabıdır. Cevap: E.

Örnek 4 — İki harita, bir yol

Soru: İki şehir arası 1/500.000 ölçekli K haritasında 8 cm'dir. Aynı aralık L haritasında 2 cm ölçüldüğüne göre L haritasının ölçeği hangisidir?

• A) 1/2.000.000
• B) 1/125.000
• C) 1/1.000.000
• D) 1/4.000.000
• E) 1/200.000

Çözüm: Gerçek uzunluk 8 × 500.000 = 4.000.000 cm (40 km). L haritasında P = 4.000.000 ÷ 2 = 2.000.000, ölçek 1/2.000.000. Yol L'de daha kısa çizildiğine göre L'nin paydası daha büyük olmalıdır; sonuç bununla tutarlıdır. B seçeneği payda yönünü ters kuran öğrencinin cevabıdır (500.000 × 2 ÷ 8); D ise gerçek uzunluğun kendisini payda sanan hatadır. Cevap: A.

• Birimi kaydırmak. Santimetreden kilometreye 100.000'e bölünür; 1.000'e ya da 10.000'e bölen öğrenci sonucu 100 ya da 10 kat büyük bulur. Sonucun makul olup olmadığına bak.
• Alanda ölçeğin karesini almamak. Haritadaki alan P ile değil P² ile çarpılır; 1 cm = 3 km ise 1 cm² = 9 km²'dir, 3 km² değil.
• Payda yönünü karıştırmak. Payda küçüldükçe ölçek büyür ve haritadaki uzunluk artar. İki harita karşılaştırmasında küçük paydalı haritada daha büyük sayı çıkmalıdır.
• Çizgi ölçekte son rakamı bir bölmeye vermek. «0 — 60 km» yazan 3 cm'lik çizgide 1 cm 20 km'dir; çizginin tamamı ile bir bölme ayrı şeylerdir.
• Birimleri eşitlemeden bölmek. Ölçek bulurken gerçek uzunluk ile harita uzunluğu aynı birime çevrilmeden bölünürse anlamsız bir kesir çıkar.
• Büyütülmüş kopyada kesir ölçeğe güvenmek. Fotokopiyle büyütülen haritada basılı kesir ölçek artık doğru değildir; çizgi ölçek haritayla birlikte büyüdüğü için doğru kalır.