Ortalama ve dağılım

Açılış sahnesi

İstanbul, iş zekâsı birimi. Doğrudan kuyruk gözleminin ilk sonuçları geldi ve Gizem ilk tabloyu hazırladı: on şubenin ortalama bekleme süresi. İki şube yan yana duruyor ve ikisinin ortalaması da tam altı dakika. Gizem personel kararı için ikisini aynı sıraya koyuyor.

Seda Hanım iki şubenin ham ölçümlerini açıyor. Birinci şubede on gözlemin dokuzu beş dakika ya da daha kısa; yalnız cuma akşamüstü yapılan bir gözlemde kuyruk otuz dakikaya çıkmış. İkinci şubede ise bütün gözlemler beş ile yedi dakika arasında. «Bu iki şube aynı mı?» diye soruyor Seda Hanım. Gizem tabloya bir daha bakıyor. Ortalama aynı, ama birinci şubede müşteriler çoğu zaman hızlı geçiyor ve bir saat boyunca çok uzun bekliyor; ikinci şubede her zaman biraz bekliyorlar. Gerekli karar da aynı değil.

Bu derste ne olacak

Önce bir sayı kümesini tek bir sayıyla özetlemenin iki yolunu, ortalamayı ve medyanı, ayıracağız ve bir uç değerin ortalamayı nasıl çektiğini aynı on gözlem üzerinde hesaplayacağız. Sonra özetin söylemediği şeye, dağılıma, yani değerlerin ortanın çevresinde nasıl yayıldığına bakacağız. Bu iki konuyu iki kaynakla destekleyeceğiz: biri aynı ortalamaya ve aynı yayılıma sahip ama grafiği bambaşka görünen veri setleri üretmenin yolunu gösteriyor; öteki, insanların küçük bir örneklemi bütüne olduğundan fazla benzer sanma eğilimini anlatıyor. Son olarak market, kargo ve fabrikadan dört örnekle bir ortalamanın nerede yanıltabileceğini göreceğiz. Bütün sayılar kurgudur ve her biri elle hesaplanabilir.

Kanıt ne diyor

Bir özet sayı bir sayı kümesinin yalnız bir yönünü gösterir. Aynı özet çok farklı kümelerden çıkabilir ve küçük kümelerin özeti büyük kümelerinkinden çok daha oynak olur. Bu iki gerçek, iş yerinde verilen pek çok yanlış kararın arkasında durur.

Sahada

Ortalama, medyan, uç değer

Yayılım ve küçük sayılar

Gizem'in yeni sütunları

Gizem bekleme tablosuna iki sütun ekliyor: medyan ve en uzun bekleyen onda birin sınırı. Şikâyet tablosunun yanına da her şubenin işlem sayısını yazıyor. Ali Rıza Bey ilk kez tabloyu gördüğünde sütunların çoğaldığından yakınıyor. Ama birinci şubeye yalnız cuma akşamüstü için bir kasiyer verilmesi önerisini görünce, bütün hafta için iki kasiyer istemekten vazgeçiyor. Seda Hanım tabloya bir kural daha koyuyor: hiçbir şube yalnız ortalamasıyla değerlendirilmeyecek.

Gri alan

Ortalama mı medyan mı sorusunun her durumda tek bir cevabı yoktur. Bazı kararlarda toplam önemlidir ve toplamı en iyi ortalama yansıtır: bir şubenin yıllık cirosunu tahmin ederken, birkaç çok büyük sepet de cironun gerçek bir parçasıdır ve atılamaz. Uç değerin ne olduğu da bir yorumdur: dokuz günlük paket bir adres hatası olarak ayıklanabilir, ama aynı hata sık tekrarlanıyorsa ayıklamak sorunu gizler. Bir uç değeri çıkarmak ya da tutmak, analizi yapanın verdiği ve açıkça yazması gereken bir karardır. Küçük sayılar konusunda da bir gerilim var: küçük birimlerin oranlarını hiç yorumlamamak, gerçek bir sorunu da geç fark etmeye yol açabilir; birkaç dönemi birlikte izlemek ya da bir güven aralığı vermek bu dengeyi kurmanın yollarıdır, ama ne kadar beklemenin yeterli olduğu tartışmalıdır. Dayandığımız kaynaklar bir yöntem çalışması ve bilimsel araştırmacılar üzerine bir çalışmadır; şirket verisine dair sonuçlar, bu iki genel bulgunun mantıksal uzantısıdır.

Senin işinde

Bir ortalama gördüğünde ya da sunduğunda, yanına üç şey sor: medyan ne, en küçük ve en büyük değerler ne ve kaç değere dayanıyor? Ortalama ile medyan arasında büyük bir fark varsa, bir ya da birkaç uç değer ortalamayı çekiyordur; o değerlere tek tek bak ve bir hata mı yoksa kararın asıl konusu mu olduklarını belirle. Bir uç değeri çıkarırsan bunu yaz ve nedenini söyle. İki birimi karşılaştırıyorsan yalnız ortalamalarına bakma; mümkünse ham değerleri ya da basit bir grafiği gör. Bir sıralama yapıyorsan her birimin kaç işleme, kaç müşteriye ya da kaç güne dayandığını sıralamanın yanına yaz; küçük birimlerin uçlarda görünmesi çoğu zaman şanstır. Bir grup ortalaması hesaplıyorsan, alt grupların ortalamalarını toplayıp bölme; toplam değeri toplam sayıya böl. Karar en kötü deneyimlerle ilgiliyse, örneğin şikâyet ya da güvenlik, ortalamanın yanına en uç dilimi gösteren bir sayı ekle. Tablonda bir şubeyi ya da bir çalışanı yalnız ortalamasıyla değerlendirme.

Kendin dene

Aklında kalsın

Ortalama bütün değerlerin toplamının sayıya bölümüdür ve uç değerlerden güçlü biçimde etkilenir; medyan sıralanmış değerlerin ortasıdır ve tipik değeri çoğu zaman daha iyi gösterir. Aynı ortalama çok farklı dağılımlardan çıkabilir; özetleri aynı olan veri setleri grafikte bambaşka görünebilir, bu yüzden ham değerlere ya da bir grafiğe bakmak gerekir. Küçük birimlerin oranları çok oynaktır ve insanlar küçük örneklemleri olduğundan temsilî sanar; bir sıralamada uçlar çoğu zaman küçük birimlerdir. Grup ortalaması alt grup ortalamalarının ortalaması değildir. Bir ortalamanın yanına medyanı, sayıyı ve gerekirse en uç dilimi ekle.

Sonraki derse köprü

Ali Rıza Bey şikâyet tablosunu okurken bir şubenin «binde dörtten binde beşe, yüzde yirmi beş artış» gösterdiğini söylüyor; bir başka toplantıda aynı değişim «binde bir puanlık artış» olarak sunuluyor. İkisi de doğru, ama dinleyene çok farklı şeyler söylüyor. M01-D04 oran ile yüzde değişimi, yüzde ile yüzde puanı ve göreli ile mutlak farkı ayırıyor.

Kendini sına

Soru 1 · Kavram

Bir şubenin on bekleme ölçümü dakika olarak 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 5 ve 30. Ortalama ve medyan nedir?

• A) Ortalama 3,5, medyan 6.
• B) Ortalama 6, medyan 3,5.
• C) İkisi de 6.
• D) Ortalama 6, medyan 30.

Cevap: B. Toplam 60, on değer, ortalama 6. Sıralı değerlerin ortadaki ikisi 3 ve 4; medyan 3,5. Otuz dakikalık tek ölçüm ortalamayı yukarı çekiyor.

Soru 2 · Senaryo

İki makinenin on günlük ortalama firesi aynı, günde 2 kilo. Biri her gün 2 kilo veriyor, öteki bir gün sıfır, ertesi gün 4 kilo veriyor. Bir kalite mühendisi için en önemli soru hangisidir?

• A) Hangi makinenin ortalaması daha düşük?
• B) İki makine aynı durumda mı?
• C) Toplam fire ne kadar?
• D) İkinci makinenin firesi neden bu kadar oynuyor?

Cevap: D. Ortalama ikisini aynı gösterir, ama dağılım ikinci makinedeki düzensizliği ortaya çıkarır. Asıl soru o düzensizliğin nedenidir.

Soru 3 · Tuzak

Bir satış direktörü şikâyet oranlarına göre en kötü şubeyi uyarmak, en iyi şubeyi ödüllendirmek istiyor; ikisi de grubun en küçük şubeleri. Bu karara yönelik en yerinde uyarı hangisidir?

• A) Küçük şubelerde birkaç olay oranı büyük ölçüde değiştirir; karardan önce her şubenin işlem sayısına ve birkaç dönemin ortalamasına bakmak gerekir.
• B) Küçük şubeler her zaman daha kötüdür.
• C) Oranlar hiçbir zaman kullanılamaz.
• D) Yalnız büyük şubeler değerlendirilmelidir.

Cevap: A. Küçük sayılar çok oynaktır ve sıralamanın iki ucunda da sık görülür. İnsanlar küçük örneklemleri olduğundan temsilî sanma eğilimindedir.

Soru 4 · Uygulama

Birinci bölgede yüz müşterinin ortalama sepeti 200 lira, ikinci bölgede dokuz yüz müşterinin ortalama sepeti 100 lira. Grubun ortalama sepet tutarı nedir?

• A) 150 lira.
• B) 300 lira.
• C) 110 lira.
• D) 100 lira.

Cevap: C. Toplam harcama 20.000 artı 90.000, yani 110.000 lira; bin müşteriye bölününce 110 lira. İki ortalamanın ortalaması olan 150 lira, küçük bölgeyi büyük bölgeyle aynı ağırlıkta sayar.