Normal dağılım ve z puanı

Açılış sahnesi

Bir bilim müzesinin bir köşesinde, ön yüzü camla kaplı dik bir tahta duruyor. Tahtanın üst kısmında sıra sıra çiviler çakılı; en altta ise yan yana dizilmiş dar bölmeler var. Ziyaretçiler en üstteki huniden bir avuç küçük bilye bırakıyor.

Her bilye aşağı düşerken bir çiviye çarpıyor ve şansla ya sağa ya sola sapıyor; sonra bir sonraki çiviye çarpıp yine şansla bir yöne sapıyor. On iki sıra çividen geçtikten sonra bölmelerden birine düşüyor.

Tek bir bilyenin nereye düşeceğini kimse söyleyemez. Ama birkaç yüz bilye bırakıldığında, her seferinde aynı şekil ortaya çıkıyor: ortadaki bölmeler en çok dolar, iki yana doğru gittikçe bölmelerdeki bilye sayısı azalır, en uçtaki bölmelere ise yalnızca birkaç bilye düşer. Bölmelerin üstünden geçen çizgi, ortası yüksek, iki yanı simetrik olarak alçalan bir çan çiziyor.

Bir çocuk aynı denemeyi beş kez yapıyor. Bilyelerin her biri farklı bir yoldan iniyor; ama çan her seferinde yerinde duruyor. Birbirinden bağımsız birçok küçük rastlantı toplandığında, sonuç rastlantısal görünmüyor.

Bu derste ne olacak

Önceki ders bir veri setini merkez ve yayılımla özetlemeyi, özellikle de standart sapmayı öğretti. Bu ders o iki sayının birlikte ne kadar güçlü bir araç olduğunu gösteriyor.

Önce açılıştaki çanı, yani normal dağılımı tanıyacağız: neden bu kadar sık karşımıza çıktığını ve neden her zaman çıkmadığını. Sonra bir puanı, ortalamaya göre kaç standart sapma uzakta olduğunu söyleyen bir sayıya, z puanına çevirmeyi öğreneceğiz. Bu çeviri, farklı ölçeklerde ve farklı gruplarda elde edilmiş sonuçları ortak bir dilde karşılaştırmamızı sağlayacak. Son olarak psikolojik testlerin puanlarının bu fikirle nasıl yorumlandığına ve bu yorumun nerede yanılttığına bakacağız.

Müzedeki tahta, istatistik tarihinin ünlü bir düzeneğinin bugünkü kopyalarından biri; karne, test ve öğrenci örnekleri ise hesapları izleyebilmen için bu derste kuruldu.

Sıfır noktası

Çan biçimi

Mekanizma

Kaç standart sapma uzakta?

Ortak bir dil

z puanının asıl gücü, farklı birimlerde ölçülmüş şeyleri aynı ölçeğe getirmesinde. Ama bu ortak dilin bir koşulu var: her puan, bir karşılaştırma grubuna göre z puanına çevrilir.

Usta katmanı

Kanıtın sınırı

Normal dağılımın matematiksel özellikleri tartışmalı değil; tartışmalı olan, gerçek psikolojik verilerin ona ne kadar benzediği. Büyük örneklemli test verilerinde tam normallik nadiren görülüyor ve dağılımların kuyrukları çoğu zaman normal dağılımın öngördüğünden daha ağır. Bu, uç puanların normal dağılım kurallarının söylediğinden daha sık görülebileceği anlamına geliyor.

z puanı ve yüzdelik sıra, norm grubunun kalitesine bağlı. Norm grubu küçükse, belirli bir bölgeden ya da belirli bir dönemden geliyorsa, puanların yorumu da o sınırlılıkları taşıyor. Birçok test, Türkiye'de kullanılırken güncel ve temsili bir Türkiye norm grubundan yoksun; bu durumda verilen yüzdelikler, başka bir ülkenin ya da başka bir dönemin insanlarına göre hesaplanmış olabiliyor.

Normal dağılımın tarihi de nötr değil. Ortalamayı ideal, ortalamadan sapmayı kusur olarak gören görüşler, bu dağılımın bilimsel kullanımıyla birlikte gelişti ve bazı zararlı toplumsal uygulamalara gerekçe olarak kullanıldı. Bir puanın ortalamadan uzak olması istatistiksel olarak sıra dışı olduğunu söyler; iyi ya da kötü olduğunu söylemez.

Kendin dene

Aklında kalsın

Normal dağılım, birçok küçük ve bağımsız etkinin toplandığı durumlarda ortaya çıkan simetrik çan biçimli dağılımdır; psikolojide yaygındır ama evrensel değildir ve bir veriyi normal saymadan önce çizmek gerekir.

z puanı, bir değerin grubun ortalamasından kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler; değerden ortalama çıkarılıp standart sapmaya bölünerek bulunur ve farklı ölçeklerdeki sonuçları ortak bir dile çevirir.

Normal bir dağılımda değerlerin yaklaşık üçte ikisi bir, yaklaşık yüzde doksan beşi iki standart sapma içinde kalır; z puanı yüzdelik sıraya çevrilebilir, ama yüzdelikler eşit aralıklı değildir.

Her z puanı ve yüzdelik sıra bir norm grubuna göredir; norm grubu yanlış, eski ya da temsili değilse yorum da yanıltıcı olur.

T puanı ve sınavlardaki standart puanlar, z puanının daha alışık olunan bir ölçeğe taşınmış biçimleridir; sıfır z puanı ölçülen şeyin yokluğunu değil, grubun ortalamasında olmayı gösterir.

Sonraki derse köprü

Bu derste bir kişinin tek bir ölçümde grubun neresinde durduğunu z puanıyla ifade ettik. Şimdi aynı kişiler için iki ölçümü birlikte düşünelim: her öğrencinin hem bir haftalık ortalama uyku süresinin z puanı hem de sınav notunun z puanı var.

Uyku z puanı yüksek olan öğrencilerin sınav z puanı da yüksek mi çıkıyor? Bir öğrencide biri artıyken öbürü eksi mi? Bütün öğrenciler için bu iki z puanının birlikte nasıl hareket ettiğini tek bir sayıyla özetlemenin yolu var ve bu sayı psikoloji makalelerinin en sık karşılaşılan sayılarından biri. Sonraki ders o sayının yönünü ve gücünü okumayı, ve onu yanıltan durumları anlatıyor: korelasyon katsayısını okumak.