Monte Carlo simülasyonuna giriş

Sahadan bir an

Perşembe öğleden sonra, bilgi işlemin küçük odası. Burak bir hesap tablosu açmış; Ilgın'ın 10.3'te yazdığı üç değerli süre listesi ekranın sol yanında.

Burak: Her satıra bir rastgele sayı koyuyorum. Tablo her faaliyet için senin en kısa ve en uzun değerinin arasından bir süre çekiyor; en olası değere yakın olanları daha sık.

Ilgın: Bir kez mi?

Burak: On bin kez. Her seferinde bütün pilotu baştan sona hesaplıyor, bitiş gününü bir sütuna yazıyor.

Ilgın: Ve bitti?

Burak: Bitti. On iki günde bitme olasılığı yüzde iki civarında.

Ilgın: On iki gün her faaliyetin en olası değeriyle kurduğum takvimdi. Her işin en olası olduğu bir pilot, neredeyse hiç yaşanmıyor mu diyorsun?

Ilgın'ın takvimindeki on iki gün, her faaliyetin en sık görülen süresinin toplamıydı. Her biri tek başına en olası değerdi; ama hepsinin aynı anda en olası değerde gerçekleşmesi, tek tek her birinden çok daha az olası. Üstelik çoğu faaliyetin aralığı sağa çarpık: kısa tarafı dar, uzun tarafı geniş. On bin denemenin söylediği şey, 10.3'te sezilen bir şeyin sayıya dökülmüş hâli: en olası değerlerin toplamı, en olası proje süresi değildir.

Kavram

Üç noktalı tahminle her işin beklenen süresini bulup topladığımızda bir sayı elde ettik. Ama toplama, bir projenin süresinin dağılımını vermez; yalnız ortalamasını kabaca verir. Dağılımı görmek için başka bir araç gerekir.

Burak'ın tablosu şöyle çalışıyor. Her faaliyet için üç değer var: en kısa, en olası, en uzun. Tablo bu üç değerden bir üçgen dağılım kuruyor; 10.3'te PERT formülüne alternatif olarak gördüğümüz, daha az varsayım taşıyan dağılım. Her denemede deneme planı için yarım gün ile bir buçuk gün arasından, sevkiyat teyidi için bir ile dört gün arasından, Fikret'in temizliği için bir ile iki gün arasından, Gülşen'in raf iadesi için bir ile üç gün arasından bir süre çekiliyor. Günlük ölçümler, takvime bağlı oldukları için, sayım günüyle birlikte her denemede altı gün; karar ve kapatma bir gün. Tablo bu süreleri bağlarıyla birlikte topluyor ve bitiş gününü yazıyor.

On bin denemenin sonucu tek bir sayı değil, bir dağılım. Denemelerin yarısı on üç buçuk günden önce, yarısı sonra bitiyor. Yüzde sekseni on dört günden biraz sonra bitmiş oluyor; yüzde doksanı on dört buçuk günde. En kısa deneme on bir günün biraz üstünde, en uzunu on altı buçuk günün üstünde. Ve on iki günde ya da daha önce bitenler, on binde yüz altmış kadar; yaklaşık yüzde iki.

Bu sonucun bir kısmı, sağa çarpık aralıkların toplanmasından geliyor; 10.3'te görmüştük. Bir kısmı ise başka bir şeyden.

Pilotun takviminde günlük ölçümler iki öncülü bekliyor: tedarikçinin yazılı teyidi ve Selma'nın anlatımıyla ilk denetimli ölçüm. En olası değerlerle sevkiyat teyidi daha uzun; ilk ölçüm yolunun 9.5'te bir günlük bolluğu vardı. Ama belirsizlik hesaba girince, ilk ölçüm yolu da bazen uzuyor. Burak'ın tablosunda denemelerin üçte birinden fazlasında ölçümleri bekleten yol, sevkiyat teyidi değil ilk ölçüm. Ilgın bir deneme yapıyor: ilk ölçüm yolunu tablodan çıkarıp yalnız sevkiyat teyidini bıraktığında, on iki günde bitme olasılığı yüzde beşe yaklaşıyor. İkinci yolu eklemek, bu olasılığı üçte birine indiriyor. Kritik yol hesabı bu etkiyi görmez; her işe tek sayı yazdığı için, bolluğu olan yolu her durumda güvende sayar.

Monte Carlo'nun sunduğu üçüncü bir şey, simülasyonun neyi göremediğini de görünür kılması. Tablodaki en uzun deneme, on iki günün yaklaşık bir buçuk katından az. Oysa 10.6'da Gönül Hanım'ın klasöründe bir proje, sevkiyat rampası, tahminin iki katına çıkmıştı. Simülasyon, ona verilen aralıkların dışına çıkamaz; aralıklar ise 10.8'de gördüğümüz gibi, çoğu zaman gereğinden dar verilir. Burak'ın tablosu, Ilgın'ın ve iş sahiplerinin aşırı kesinliğini olduğu gibi içinde taşıyor.

Ilgın'ın Burak'la yaptığı küçük hesap, bu değerlendirmenin en basit hâli. Sonucu bir karara bağlıyor: pilotun hedefi on iki gün, ama bu hedefin tutma olasılığı yüzde ikiye yakın. Recep Bey'in yetkisiyle kurulmuş bir haftalık tampon, simülasyonun en uzun denemesini bile kapsıyor; ama simülasyonun en uzun denemesi, gerçekte yaşanabilecek en uzun durum değil. Ilgın notuna iki cümle yazıyor: tampon bilinen belirsizlikler için yeterli görünüyor; bilinmeyenler için, referans sınıfının iki katlık aşımı akılda tutulmalı.

Bir aile havalimanına gidecek. Evden çıkış, taksiyi bekleme, yol ve güvenlik kuyruğu; her birinin bir aralığı var. Hepsinin en olası değerini toplayınca bir buçuk saat çıkıyor. Ama bir kâğıda on denemelik bir tablo yapsalar, her denemede bir zar atıp her adımın süresini aralığından seçseler, on denemenin kaçında iki saati aştıklarını görürler. Taksi beklemesi ve güvenlik kuyruğu aynı gün uzarsa, en olası toplamın çok ötesine düşerler. Monte Carlo, bu zar atma işini on bin kez ve hızlıca yapmaktan ibarettir.

Perde arkası

Yöntemin kökeni 1949 tarihli bir istatistik makalesi; özeti okundu. Proje yönetimindeki tanımı PMI'ın sözlüğünden, takvim risk değerlendirmesindeki kullanımı NASA'nın takvim el kitabından okundu. Bu dersteki sayılar ise kaynaklardan değil, 10.3'te yazılan aralıklarla gerçekten yapılmış on bin denemelik bir hesaptan geliyor.

Yaygın yanılgılar

İki sürüm

Akşam Ilgın, simülasyonun sonucunu Recep Bey'e tek paragraflık bir notla bildiriyor.

Zayıf sürüm

Simülasyon sonucu: pilotun ortalama süresi 13,49 gün.

Güven: on bin deneme yapıldı, sonuç güvenilir.

Öneri: takvimi 13,5 güne çekelim.

Güçlü sürüm

Soru: pilotun on iki günlük hedefi tutar mı?

Hesap: her faaliyetin üç değerli aralığıyla on bin deneme; Burak'ın tablosu.

Sonuç: on iki günde bitme olasılığı yüzde iki civarında. Denemelerin yarısı on üç buçuk günden önce bitiyor, onda dokuzu on dört buçuk günde.

Neden: aralıklar uzun tarafa çarpık; ayrıca ölçümleri bekleten iki yolun üçte birinden fazlasında geciken yol ilk ölçüm, sevkiyat teyidi değil.

Tampon: bir haftalık tampon, simülasyonun en uzun denemesini de kapsıyor.

Sınır: simülasyon yalnız bizim verdiğimiz aralıkları biliyor; fabrikanın geçmişinde iki katlık bir aşım var. Tampon bilinen belirsizliklere yetiyor, bilinmeyenler için garanti değil.

Zayıf sürüm üç hata yapıyor. Ortalamayı iki ondalık basamakla vererek, girdileri kaba tahminlerden oluşan bir hesaba olmayan bir kesinlik veriyor. "On bin deneme yapıldı, sonuç güvenilir" cümlesi, deneme sayısını girdilerin doğruluğuyla karıştırıyor. Takvimi ortalamaya çekme önerisi de bir dağılımı tek bir sayıya geri indiriyor; ortalamada bitecek bir takvim, denemelerin yarısında aşılır. Güçlü sürüm önce sorulan soruyu yazıyor, sonra hesabın nasıl yapıldığını bir satırda söylüyor. Sonucu bir olasılık ve iki yüzdelik olarak, kaba bir hassasiyetle veriyor. Hedefin neden tutmadığını iki nedene bağlıyor; birincisi 10.3'ten bilinen, ikincisi bu hesabın yeni gösterdiği. Son satır, simülasyonun en zayıf yanını, girdilerin darlığını, açıkça kayda geçiriyor.

Bağlam notu

Monte Carlo simülasyonu, 10. modülün araçlarını bir araya getirir. Üç noktalı tahminin aralıkları girdi olur; uzman görüşü ve Delphi o aralıkları besler; çapa etkisine karşı alınan önlemler girdilerin temizliğini korur; kalibrasyon, aralıkların ne kadar dar verildiğini gösterir; referans sınıfı, simülasyonun göremediği kalın kuyruğu hatırlatır. Simülasyon bunların yerini almaz; onları bir dağılıma çevirir.

Belirsizlik nerede sorusuna simülasyon iki cevap verir. Birincisi, girdilerdeki belirsizliğin projenin bitişine nasıl yansıdığı: hangi faaliyetin aralığı sonucu en çok genişletiyor, hangi birleşme noktası en çok geciktiriyor. İkincisi, dolaylı olarak, simülasyonun dışında kalan belirsizlik: verilmemiş bir karar, kayda geçmemiş bir risk, bir dış onay. Ilgın'ın notundaki son satır bu ikinci cevabı veriyor. Sonuçlar ne kadar ayrıntılı görünürse görünsün, simülasyon bir takvim modelinin olasılık hesabıdır; o modelin dışında kalan her şey, hesaba girmemiştir.

Uygulama

Retro sorusu

Pilot projende her işin en olası süresiyle kurduğun takvim, kaç kez gerçekten o gün bitti?

Kapanış

1. Monte Carlo simülasyonu her faaliyetin süresini kendi aralığından rastgele çekerek takvimi binlerce kez hesaplar ve bitişin olasılık dağılımını verir; en olası değerlerin toplamı, en olası proje süresi değildir.
2. Sağa çarpık aralıklar ve yolların birleştiği noktalar, bitişi tek tek faaliyetlerin gösterdiğinden daha geç bir yere iter; kritik yol hesabı bu etkiyi görmez.
3. Simülasyon girdilerinin aralıklarının dışına çıkamaz; deneme sayısı kesinlik getirmez, ve sonuç, aralıkları veren kişilerin aşırı kesinliğini içinde taşır.

Beş soru

1. Burak'ın tablosu her faaliyetin en olası süresiyle kurulan on iki günü neden yalnızca yüzde iki civarında tutturdu?
2. İlk ölçüm yolunun bir günlük bolluğu vardı. Simülasyonda bu yol neden yine de sonucu etkiledi?
3. Simülasyonun en uzun denemesi neden fabrikanın geçmişindeki en büyük aşımdan kısa kaldı?
4. Bir öğrencinin sınav haftasında üç ödevi var ve hepsi aynı cuma teslim edilecek. Her birinin ne kadar sürebileceğine dair kaba bir aralığı var. Öğrenci en olası süreleri toplayıp perşembe akşamı bitireceğini hesaplıyor. Bu hesabın hangi iki zaafı var ve basit bir simülasyon ne gösterebilir?
5. Zayıf sürümdeki "on bin deneme yapıldı, sonuç güvenilir" cümlesindeki yanılgı nedir?

Yanıtlar

1. İki nedenle. Birincisi, aralıkların çoğu sağa çarpık: sevkiyat teyidinin kısa tarafı bir gün, uzun tarafı iki gün. Her faaliyetin uzun taraftaki payı toplanınca bitiş ortalamada uzar. İkincisi, ölçümler iki yolun birleştiği yerde duruyor ve en geç biten yolu bekliyor; belirsizlik girince bu birleşme noktası da gecikiyor. Hepsinin aynı anda en olası değerde gerçekleşmesi çok nadir.
2. Çünkü bolluk en olası değerlerle hesaplanmıştı. İlk ölçüm yolunun kendi aralığı da var ve bazen uzuyor; uzadığında, sevkiyat teyidi de kısa sürmüşse, ölçümleri bekleten yol o oluyor. Burak'ın tablosunda denemelerin üçte birinden fazlasında böyle oldu. Kritik yol hesabı, bolluğu olan bir yolu güvende sayar; simülasyon onun da zaman zaman belirleyici olduğunu gösterir.
3. Çünkü simülasyon, faaliyetlere verilen aralıkların dışına çıkamaz. Her faaliyetin en uzun değeri, iş sahiplerinin "işler ters giderse" diye verdiği süreydi; ve 10.8'de gördüğümüz gibi, bu tür aralıklar çoğu zaman gereğinden dar verilir. Klasördeki o iki katlık proje, kimsenin bir faaliyet aralığına yazmadığı bir dış onay yüzünden uzamıştı. Simülasyon, kimsenin öngörmediği bir şeyi üretemez.
4. Birincisi, her ödevin uzun taraftaki payını siliyor; bir ödev beklenenden uzun sürdüğünde, ötekilerin kısa sürmesi onu tam olarak telafi etmez. İkincisi, üç ödevin aynı geceye sıkışma olasılığını görmüyor. Basit bir simülasyon, her ödevin süresini kendi aralığından çekip birkaç yüz kez toplayarak, perşembe akşamı bitirme olasılığının sanıldığından ne kadar düşük olduğunu ve hangi ödevin bu olasılığı en çok düşürdüğünü gösterebilir.
5. Deneme sayısını girdilerin doğruluğuyla karıştırıyor. On bin deneme, hesabın rastgele gürültüsünü azaltır; ama her deneme aynı aralıklardan çekiliyor. Aralıklar yanlış ya da dar ise, on bin deneme o yanlışı on bin kez tekrarlar. Güvenilirlik deneme sayısından değil, aralıkların gerçekçiliğinden gelir.

Sonraki derse köprü

Recep Bey notu okuyup Ayten Hanım'a iletiyor; cevap ertesi sabah geliyor: "Süreyi anladım. Peki kaça mal olacak?" Gönül Hanım'ın masasında Yasin'in fazla mesaisi, Necati Usta'nın iş emirleri, kiralanacak bir forklift ve fabrikanın genel giderlerinden pilota düşecek pay yan yana duruyor. Bunların bazıları pilot olmasa hiç harcanmayacak, bazıları her durumda harcanacaktı. 11.1, doğrudan, dolaylı, sabit ve değişken maliyetleri ayırarak maliyet tahmini yapmayı ele alıyor.