Tahmin ve güven aralığı

Öğrenme çıktıları

• Hatırlama — Tahmin ediciyi, nokta tahminini, güven aralığını, güven düzeyini, hata payını ve t dağılımını tanımlar.
• Anlama — Yüzde 95'lik bir güven aralığının neyi vaat ettiğini ve neyi vaat etmediğini, bir aralığın neden örneklem büyüdükçe daraldığını ve güven düzeyi yükseldikçe genişlediğini açıklar.
• Uygulama — Ortalamalar ve oranlar için güven aralığı kurar; küçük örneklemlerde normal dağılım yerine t dağılımını kullanır.
• Değerlendirme — Bir merkez bankasının tahmin aralığı gibi bir belirsizlik beyanının güvenilirliğini, aralığın dayandığı varsayımlar ve geçmiş isabeti açısından değerlendirir.

Sezgi

Açılış

Şubat 2026'da Türkiye Cumhuriyet Merkez Bankası, yılın ilk enflasyon raporunu açıkladı. Raporda yıl sonu enflasyonu için tek bir sayı değil, bir aralık vardı: enflasyonun yüzde 70 olasılıkla yüzde 15 ile yüzde 21 arasında gerçekleşeceği tahmin ediliyordu. Grafikte bu aralık, ileriye doğru açılan bir yelpaze gibi çizilmişti.

Üç ay sonra, Mayıs'taki ikinci raporda tablo değişmişti. Nisan ayında yıllık enflasyon yüzde 32,37 ile önceki raporda sunulan tahmin aralığının üzerinde gerçekleşmişti. Banka tahminlerini güncelledi ve küresel görünümden kaynaklanan yüksek oynaklık nedeniyle tahmin aralığı iletişimine ara verdiğini açıkladı.

Bu iki rapor arasındaki fark, bu dersin sorusunu somutlaştırır. Bir tahminin yanına bir aralık yazmak ne anlama gelir? «Yüzde 70 olasılıkla» ya da «yüzde 95 güvenle» gibi ifadeler neyi vaat eder? Gerçekleşme aralığın dışına düştüğünde aralık yanlış mıydı, yoksa yalnızca vaat ettiği şansın öbür tarafı mı gerçekleşmişti?

Hikâye — Bira fabrikasındaki istatistikçi

Yirminci yüzyılın başında Dublin'deki Guinness bira fabrikası, bilimsel yöntemleri üretime uygulamak için üniversite mezunu kimyagerler işe alıyordu. Bunlardan biri, Oxford'da kimya ve matematik okumuş William Sealy Gosset'ti. Gosset'in işi, arpa çeşitlerinin, tarlaların ve mayalama koşullarının biranın kalitesini nasıl etkilediğini anlamaktı.

Gosset'in karşılaştığı sorun, dönemin istatistik yöntemlerinin büyük örneklemler için geliştirilmiş olmasıydı. Bir arpa çeşidinin verimini ölçmek için yüzlerce tarla deneyi yapmak mümkün değildi; çoğu zaman elinde birkaç, en fazla birkaç düzine ölçüm vardı. Bu kadar az gözlemle hesaplanan bir ortalamanın ne kadar güvenilir olduğunu söylemek için, büyük örneklemlere uygun kurallar yanıltıcı sonuçlar veriyordu. Küçük örneklemlerde standart sapmanın kendisi de belirsizdi ve bu ek belirsizlik hesaba katılmadığında, sonuçlar olduğundan daha kesin görünüyordu.

Gosset bu sorunu çözmek için küçük örneklemlerde ortalamanın dağılımını inceledi ve normal dağılımdan daha kalın kuyruklu bir dağılım buldu. Sonuçlarını 1908'de Biometrika dergisinde «The Probable Error of a Mean» başlığıyla yayımladı. Ama makalenin altında kendi adı yoktu. Guinness, şirket verilerinin yayımlanmasını yasaklıyordu ve Gosset'e ancak takma adla ve şirket verisi kullanmadan yayım yapma izni verilmişti. Makale «Student», yani «Öğrenci» imzasını taşıyordu.

Gosset'in bulduğu dağılım bugün hâlâ o takma adla anılır. Bir bira fabrikasının arpa sorununa çözüm olarak doğan bu fikir, ilaç denemelerinden ekonomi anketlerine kadar küçük örneklemlerle çalışan her alanın temel aracı oldu. Hikâyenin dersi de açıktır: bir tahminin ne kadar güvenilir olduğunu dürüstçe söylemek, elimizdeki bilginin ne kadar az olduğunu da hesaba katmayı gerektirir.

Kavram

Bir önceki derste, bir istatistiğin örneklemden örnekleme nasıl oynadığını gördük. Şimdi bu oynamayı, bir tahminin yanına yazılan bir belirsizlik beyanına çeviriyoruz.

Veri ve kanıt

Merkez bankalarının tahmin aralıkları, güven aralığı mantığının gündelik hayattaki en görünür örneklerinden biridir.

Bu örnek, bir aralığın iki yüzünü gösterir. Yüzde 70'lik bir aralık, gerçekleşmelerin yaklaşık üçte birinin aralığın dışına düşmesini zaten öngörür; tek bir dışarıda kalma, yöntemin yanlış olduğunu kanıtlamaz. Ama dışarıda kalmalar sık ve hep aynı yöndeyse, aralığın dayandığı varsayımlar gözden geçirilmelidir.

Küçük örneklemlerde aralıkları doğru kurmanın yolunu açan çalışma ise bir sanayi laboratuvarından çıktı.

Neden önemli?

İktisatta açıklanan sayıların neredeyse hepsi birer tahmindir: büyüme oranı, işsizlik, enflasyon beklentisi, bir politikanın etkisi. Bir tahminin yanında bir aralık görmek, onun ne kadar ciddiye alınması gerektiğini gösterir. Yüzde 3 büyüme tahmini ile yüzde 1 ile 5 arasında bir aralık, aynı nokta tahminini taşısa da çok farklı mesajlar verir.

Aralıklar, kamuoyu tartışmalarında da önemlidir. İki anket sonucu arasındaki farkın ya da bir aydan öbürüne değişimin anlamlı olup olmadığı, aralıkların örtüşüp örtüşmediğine bakarak kabaca değerlendirilebilir. Bir kurumun tahmin aralıklarının geçmişte ne sıklıkla isabet ettiği de o kurumun güvenilirliği hakkında bilgi verir.

Kişisel kararlarda da aralık düşüncesi yararlıdır. Bir yatırımın, bir işin ya da bir projenin tek bir beklenen sonucu yerine, olası sonuçların makul bir aralığını düşünmek, beklenmedik durumlara hazırlıklı olmayı sağlar. Tek bir sayıya kilitlenmek, belirsizliği yok saymak demektir.

Model

Tahmin edici ve tahmin

İstatistikte tahmin, bir kuralın veriye uygulanmasıdır. Kural, yani tahmin edici, örneklem verisini alıp bir sayı üretir: örneklemdeki değerleri toplayıp gözlem sayısına bölmek, anakütle ortalamasının tahmin edicisidir. Bu kuralın belirli bir örneklemde ürettiği sayı ise bir tahmindir. Ayrım önemlidir, çünkü bir tahminin kalitesi tek başına değerlendirilemez; o tahmini üreten kuralın, olası bütün örneklemlerde nasıl davrandığına bakmak gerekir. İyi bir tahmin edici, tek bir örneklemde şanslı olan değil, pek çok örneklemde ortalama olarak iyi sonuç veren kuraldır.

İyi bir tahmin edicinin özellikleri

Bir tahmin edicinin kalitesi üç özellikle değerlendirilir. Yansızlık, tahmin edicinin örneklem dağılımının merkezinin gerçek parametreye denk gelmesidir; tahminler bazen yukarıda, bazen aşağıda kalır ama sistematik bir sapma yoktur. Kesinlik, örneklem dağılımının dar olmasıdır; standart hata ne kadar küçükse tahminler o kadar az oynar. Tutarlılık ise örneklem büyüdükçe tahminin gerçek değere yaklaşmasıdır. Örneklem ortalaması, rastgele örneklemlerde üç özelliğe de sahiptir. Ama her tahmin edici böyle değildir; bazıları yanlıdır, bazıları çok oynaktır.

Yansızlık ile kesinlik arasında

Yansızlık ile kesinlik bazen birbiriyle çatışır. Yansız ama çok oynak bir tahmin edici, ortalamada doğrudur ama tek bir örneklemde gerçek değerden çok uzağa düşebilir. Biraz yanlı ama çok daha kesin bir tahmin edici ise her seferinde gerçek değere oldukça yakın, ama hep aynı yönde biraz uzak bir sonuç verir. Hangisinin tercih edileceği, hatanın bedeline bağlıdır. Hedef tahtası benzetmesiyle, birinci atıcının okları merkezin etrafında geniş bir alana dağılır; ikincisininki merkezin biraz yanında sıkı bir küme oluşturur. İstatistikçiler toplam hatayı, yanlılığın karesi ile varyansın toplamı olarak ölçer ve bu toplamı küçültmeye çalışır.

Nokta tahmininden aralığa

Bir nokta tahmini, ne kadar iyi bir kuralla üretilmiş olursa olsun, neredeyse hiçbir zaman gerçek değere tam olarak eşit değildir. Bir önceki derste gördüğümüz standart hata, tahminin tipik olarak ne kadar yanılabileceğini söyler. Güven aralığı bu bilgiyi okunabilir bir biçime çevirir: tahminin etrafına, standart hatanın belirli bir katı kadar genişlikte bir aralık çizilir. Aralığın genişliği iki şeye bağlıdır: standart hatanın büyüklüğüne ve ne kadar güvenli olmak istediğimize. Aralık, okuyucuya hem en iyi tahmini hem de o tahminin ne kadar sağlam olduğunu aynı anda söyler.

Güven aralığının formülü

Büyük örneklemlerde bir ortalamanın güven aralığı şöyle kurulur: nokta tahmini artı eksi kritik değer çarpı standart hata. Kritik değer, seçilen güven düzeyine karşılık gelen standart puandır. Merkezî limit teoremi sayesinde örneklem ortalamasının dağılımı normale yakın olduğu için, bu değerler normal dağılımdan okunur. Yüzde 90'lık bir aralık için kritik değer yaklaşık 1,645, yüzde 95'lik için yaklaşık 1,96, yüzde 99'luk için yaklaşık 2,576'dır. Kritik değer ile standart hatanın çarpımı hata payını, yani aralığın yarı genişliğini verir.

Yüzde 95 ne demek?

Güven düzeyinin anlamı, tek bir aralıkta değil, yöntemin tekrarlanmasında yatar. Bir araştırmacının aynı anakütleden yüz farklı rastgele örneklem çektiğini ve her birinden yüzde 95'lik bir aralık kurduğunu düşünelim. Her örneklemin ortalaması ve standart hatası biraz farklı olacağı için yüz farklı aralık elde edilir. Bu aralıkların yaklaşık doksan beşi gerçek ortalamayı içerir, yaklaşık beşi ıskalar. Gerçekte elimizde yalnızca bir aralık vardır ve onun hangi gruba düştüğünü bilemeyiz. Güvenimiz aralığın kendisinden değil, onu üreten yöntemin geçmiş başarısından gelir.

İki yorumun tartışması

Güven aralığının bu yorumu sezgiye aykırı geldiği için tartışma yaratır. Sıklık yaklaşımını benimseyenler, parametrenin sabit olduğunu ve bir olasılık taşıyamayacağını, dolayısıyla doğru yorumun yöntemin başarı oranı olduğunu savunur. Olasılığı inanç derecesi olarak yorumlayan Bayesçi yaklaşım ise önsel bir inançtan başlayarak veriyle güncellenen bir güvenilirlik aralığı kurar ve bu aralık için «parametre yüzde 95 olasılıkla buradadır» demek meşrudur. Bayesçiler bunun karar vericilerin gerçekte sormak istediği soru olduğunu söyler; eleştirenler ise sonucun önsel inanca bağımlılığına dikkat çeker. Büyük örneklemlerde ve zayıf önsellerle iki yaklaşımın aralıkları çoğu zaman birbirine çok yakındır.

Genişliği ne belirler?

Güven aralığının genişliği üç etkene bağlıdır. Güven düzeyi yükseldikçe aralık genişler: yüzde 99 güvenle konuşmak isteyen, daha geniş bir ağ atmak zorundadır. Anakütledeki dağınıklık arttıkça aralık genişler: birbirinden çok farklı değerlerden oluşan bir anakütlenin ortalaması daha belirsizdir. Örneklem büyüdükçe ise aralık daralır, ama karekök oranında: yarı genişlikte bir aralık, dört kat büyük bir örneklem ister. Bu üç etken arasında bir tercih vardır. Dar ve güvenli bir aralık istenirse, bunun bedeli büyük bir örneklemdir.

Bir oranın güven aralığı

Oranlar için de aynı mantık işler. Örneklemdeki oran p, gözlem sayısı n ise, standart hata √(p × (1 − p) ÷ n) formülüyle hesaplanır; aralık ise p'nin iki yanına kritik değer çarpı bu standart hata kadar uzanır. Anket sonuçlarında sık görülen «artı eksi 3 puan hata payı» ifadesi, genellikle yüzde 95 güven düzeyinde ve oranın yüzde 50 civarında olduğu varsayımıyla hesaplanmış bir hata payıdır. Bin kişilik bir ankette bu, yaklaşık 1,96 × √(0,25 ÷ 1.000) ≈ 0,031, yani 3,1 puandır.

Çözümlü örnek — Üç aralık

Bir ortalama. 100 hanelik rastgele bir örneklemde aylık harcama ortalaması 18.000 lira, harcamaların örneklemdeki yayılımı 5.000 lira çıkmış olsun. Standart hata 5.000 ÷ √100 = 500 liradır. Yüzde 95'lik hata payı 1,96 × 500 = 980 lira; aralık 17.020 ile 18.980 lira arasıdır. Yüzde 90'lık aralık için hata payı 1,645 × 500 ≈ 823 lira olur ve aralık daralır.

Bir oran. 625 çalışandan oluşan bir örneklemde yüzde 36'sı son bir yılda ek bir iş yaptığını söylemiş olsun. Standart hata √(0,36 × 0,64 ÷ 625) ≈ 0,0192. Yüzde 95'lik hata payı 1,96 × 0,0192 ≈ 0,038; aralık yaklaşık yüzde 32,2 ile yüzde 39,8 arasıdır.

Küçük bir örneklem. Yeni bir ürünün 16 mağazadaki haftalık satış ortalaması 50 adet, standart sapması 8 adet olsun. Standart hata 8 ÷ √16 = 2 adettir. Standart sapma örneklemden tahmin edildiği ve örneklem küçük olduğu için t dağılımı kullanılır; 15 serbestlik derecesinde yüzde 95'lik kritik değer yaklaşık 2,131'dir. Hata payı 2,131 × 2 ≈ 4,26; aralık yaklaşık 45,7 ile 54,3 adet arasıdır. Normal dağılımın 1,96'sı kullanılsaydı hata payı 3,92 çıkar ve aralık olduğundan dar görünürdü.

Küçük örneklemler ve t dağılımı

Gosset'in fark ettiği sorun şuydu: standart hatayı hesaplamak için anakütlenin standart sapmasını bilmemiz gerekir, ama çoğu zaman onu da örneklemden tahmin ederiz. Büyük örneklemlerde bu tahmin oldukça isabetlidir. Küçük örneklemlerde ise standart sapmanın kendisi de belirsizdir: şans eseri küçük çıkarsa aralık gereğinden dar, büyük çıkarsa gereğinden geniş olur. T dağılımı bu ek belirsizliği hesaba katar. Kuyrukları normal dağılımdan kalındır, bu yüzden aynı güven düzeyi için daha büyük bir kritik değer, dolayısıyla daha geniş bir aralık verir. Örneklem otuz, kırk gözleme ulaştığında t ile normal arasındaki fark küçülür.

Serbestlik derecesi

T dağılımının biçimi, serbestlik derecesi denen bir sayıya bağlıdır; bir ortalamanın aralığı için bu sayı, gözlem sayısının bir eksiğidir. Sezgisel anlamı şudur: örneklem ortalaması hesaplandıktan sonra, sapmaların toplamı sıfır olmak zorunda olduğu için, gözlemlerden yalnızca n − 1 tanesi serbestçe değişebilir. Serbestlik derecesi küçükken dağılımın kuyrukları çok kalındır; beş gözlemlik bir örneklemde yüzde 95 için kritik değer yaklaşık 2,78'dir. Serbestlik derecesi arttıkça kritik değer 1,96'ya yaklaşır. Bir önceki dersteki varyans formülünde n − 1'e bölmenin nedeni de aynı mantığa dayanır.

İki grubun farkı

İktisattaki pek çok soru, iki grubun karşılaştırılmasıdır: kadınların ve erkeklerin ortalama ücreti, bir destek programına katılanların ve katılmayanların geliri, iki bölgenin işsizlik oranı. Bu durumda tahmin edilen şey iki ortalamanın ya da iki oranın farkıdır. Farkın standart hatası, iki grup bağımsızsa, iki standart hatanın karelerinin toplamının kareköküdür. Güven aralığı yine fark artı eksi kritik değer çarpı standart hata olarak kurulur. Aralık sıfırı içeriyorsa, veri iki grup arasında bir fark olmadığı olasılığını dışlamaya yetmez. Bu mantık, sıradaki dersin konusu olan hipotez testiyle yakından ilişkilidir.

Formül olmadan aralık kurmak

Standart formüller, örneklem ortalamasının dağılımının normale yakın olduğu durumlar için tasarlanmıştır. Ortanca, iki ortalamanın oranı ya da bir eşitsizlik ölçüsü gibi daha karmaşık istatistikler için basit bir formül bulunmayabilir. İstatistikçi Bradley Efron'un 1979'da önerdiği önyükleme (bootstrap) yöntemi bu sorunu bilgisayar gücüyle çözer. Elimizdeki örneklemden, aynı büyüklükte ve gözlemlerin geri konularak seçildiği binlerce yeni örneklem çekilir. Her birinde istatistik yeniden hesaplanır ve bu binlerce sonucun dağılımı, örneklem dağılımının bir tahmini olarak kullanılır. Örneğin sonuçların ortadaki yüzde 95'i, bir güven aralığı verir. Yöntem esnektir, ama örneklemin kendisi anakütleyi iyi temsil etmiyorsa o hatayı düzeltmez.

Aralıkları iletmek

Bir aralığın doğru hesaplanması kadar doğru iletilmesi de önemlidir. Araştırmalar, okuyucuların tek bir sayıyı aralıktan çok daha fazla hatırladığını ve aralığın uçlarını çoğu zaman görmezden geldiğini gösterir. Bu yüzden iyi bir sunum nokta tahminini ve aralığı birlikte, aynı görünürlükte verir; güven düzeyini açıkça yazar ve aralığın hangi belirsizlikleri kapsadığını belirtir. Merkez bankalarının yelpaze grafikleri, belirsizliğin zamanla büyüdüğünü göstererek tek bir çizginin yaratacağı kesinlik yanılsamasını azaltmayı amaçlar.

Güven aralığı ile tahmin aralığı

Bir merkez bankasının enflasyon yelpazesi, bu dersteki güven aralıklarından farklı bir şeydir. Güven aralığı, bugün var olan ama bilinmeyen bir parametre, örneğin gerçek ortalama hane harcaması hakkındadır ve yalnızca örnekleme belirsizliğini ölçer. Tahmin aralığı ise gelecekte gerçekleşecek tek bir değer hakkındadır. Bu yüzden modelin parametrelerindeki belirsizliğin yanında, gelecekte gelecek şokların, örneğin enerji fiyatlarındaki bir sıçramanın belirsizliğini de içermelidir. Tahmin aralıkları bu nedenle çok daha geniştir. Ayrıca geçmiş şokların büyüklüğüne göre kurulduğu için, olağandışı bir dönemde gerçekleşmelerin aralığın dışına düşmesi daha olasıdır.

Aralıkların isabetini sınamak

Bir kurumun belirsizlik beyanlarının dürüst olup olmadığı, geçmişe bakılarak sınanabilir. Yüzde 70'lik aralıklar veriyorsa, geçmişteki gerçekleşmelerin yaklaşık yüzde 70'inin aralığın içinde kalmış olması beklenir. Oran çok daha düşükse aralıklar fazla dar, yani tahminci aşırı özgüvenlidir; çok daha yüksekse aralıklar gereğinden geniştir ve bilgi değeri düşüktür. Dışarıda kalmaların hep aynı yönde olması ise tahminlerde sistematik bir yanlılık olduğuna işaret eder. Bu tür bir sınama, tek bir yılın başarısından ya da başarısızlığından çok daha anlamlı bir değerlendirme sunar.

Modelin sınırları

Güven aralıkları, dayandıkları varsayımlar kadar güvenilirdir. Örneklemin rastgele olduğu, gözlemlerin bağımsız olduğu ve örneklem ortalamasının dağılımının normale yakın olduğu varsayılır. Veri kümelenmişse, örneğin aynı mahalledeki haneler birbirine benziyorsa, standart hata olduğundan küçük hesaplanır ve aralık yanıltıcı biçimde dar çıkar. Ayrıca aynı veriden çok sayıda aralık kurulduğunda, bunlardan bazılarının yalnızca şans eseri ilginç görünmesi kaçınılmazdır. Bir aralığı okurken, onu üreten yöntemi, örneklemin nasıl seçildiğini ve aralığın hangi belirsizlikleri içerip hangilerini dışarıda bıraktığını sormak gerekir.

Uygulama

Özet kartı

1. Tahmin edici veriye uygulanan bir kuraldır, nokta tahmini bu kuralın bir örneklemdeki sonucudur; iyi bir tahmin edici yansız, kesin ve tutarlıdır.
2. Güven aralığı nokta tahmini artı eksi kritik değer çarpı standart hatadır; aralığın yarı genişliği hata payıdır.
3. Yüzde 95 güven, tek bir aralığın parametreyi içerme olasılığı değil, aralığı kuran yöntemin tekrarlanan örneklemlerdeki başarı oranıdır; Bayesçi yaklaşım bu yorumu farklı kurar.
4. Aralık, güven düzeyi ve anakütle dağınıklığı arttıkça genişler, örneklem büyüdükçe karekök oranında daralır; küçük örneklemlerde t dağılımı daha geniş ve dürüst aralıklar verir.
5. Güven aralığı yalnızca örnekleme belirsizliğini ölçer; geleceğe dair tahmin aralıkları şok belirsizliğini de içermelidir ve bir kurumun aralıklarının güvenilirliği geçmiş isabetine bakılarak sınanabilir.

Kavram sözlüğü

Kendini sına

1. (Çıktı 1) Tahmin edici ile nokta tahmini arasındaki farkı bir örnekle açıkla. Hata payı nasıl hesaplanır?
2. (Çıktı 2) «Yüzde 95'lik güven aralığımız 17.020 ile 18.980 lira; demek ki gerçek ortalama yüzde 95 olasılıkla bu aralıkta» cümlesindeki sorunu klasik yoruma göre açıkla.
3. (Çıktı 3) 400 kişilik bir örneklemde ortalama ücret 30.000 lira, standart sapma 10.000 lira olsun. Yüzde 95'lik güven aralığını kur. Aynı aralığı yarı genişliğe indirmek için kaç kişilik bir örneklem gerekir?
4. (Çıktı 3) 1.600 kişilik bir ankette katılımcıların yüzde 20'si son bir yılda iş değiştirdiğini söylemiş olsun. Yüzde 95'lik güven aralığını kur.
5. (Çıktı 3) 9 gözlemlik bir örneklemde ortalama 40, standart sapma 6 olsun. 8 serbestlik derecesinde yüzde 95 için t kritik değeri yaklaşık 2,306'dır. Güven aralığını kur ve normal dağılımın 1,96'sı kullanılsaydı ne olacağını karşılaştır.
6. (Çıktı 4) Bir kurum art arda on yıl, her yılın sonu için yüzde 70'lik enflasyon tahmin aralığı yayımlamış, gerçekleşmeler bu on yılın yalnızca üçünde aralığın içinde kalmış ve dışarıda kalan yedi yılın hepsinde aralığın üstünde gerçekleşmiş olsun. Bu tabloyu değerlendir.

Cevaplar

1. Tahmin edici bir kuraldır; örneğin örneklemdeki değerleri toplayıp gözlem sayısına bölmek. Nokta tahmini bu kuralın belirli bir örneklemde verdiği sayıdır; örneğin 18.000 lira. Hata payı, seçilen güven düzeyine karşılık gelen kritik değerin standart hatayla çarpımıdır.
2. Klasik yorumda gerçek ortalama sabit bir sayıdır ve ya bu aralığın içindedir ya da değildir; tek bir aralığa olasılık bağlanmaz. Yüzde 95, aynı yöntemle çok sayıda örneklemden kurulan aralıkların yaklaşık yüzde 95'inin gerçek değeri içereceğini söyler. Doğru ifade şudur: bu aralık, yüzde 95 oranında başarılı olan bir yöntemle kurulmuştur.
3. Standart hata 10.000 ÷ √400 = 500 liradır. Hata payı 1,96 × 500 = 980 lira; aralık 29.020 ile 30.980 lira arasıdır. Genişliği yarıya indirmek için örneklem dört kat büyümeli, yani 1.600 kişiye çıkmalıdır.
4. Standart hata √(0,20 × 0,80 ÷ 1.600) = √0,0001 = 0,01. Hata payı 1,96 × 0,01 ≈ 0,0196; aralık yaklaşık yüzde 18,0 ile yüzde 22,0 arasıdır.
5. Standart hata 6 ÷ √9 = 2. Hata payı 2,306 × 2 ≈ 4,61; aralık yaklaşık 35,4 ile 44,6 arasıdır. 1,96 kullanılsaydı hata payı 3,92 ve aralık 36,1 ile 43,9 olurdu; küçük örneklemde standart sapmanın kendisinin belirsizliği göz ardı edildiği için aralık olduğundan dar ve aşırı güvenli görünürdü.
6. Yüzde 70'lik aralıklarda on yılın yaklaşık yedisinde gerçekleşmenin aralık içinde kalması beklenir; yalnızca üç yıl, aralıkların ciddi biçimde fazla dar olduğunu gösterir. Dışarıda kalmaların hepsinin aynı yönde, aralığın üstünde olması ise tahminlerin sistematik olarak iyimser, yani yanlı olduğuna işaret eder. Kurum hem aralıklarının genişliğini hem de merkezî tahminlerinin dayandığı varsayımları gözden geçirmelidir; tek tek yıllardaki şokları talihsizlik saymak bu tabloyu açıklamaz.

İleri okuma

• Student (1908). «The Probable Error of a Mean». Biometrika 6(1). Küçük örneklemlerde ortalamanın dağılımını ve t dağılımını tanıtan makale.
• Jerzy Neyman (1937). «Outline of a Theory of Statistical Estimation Based on the Classical Theory of Probability». Philosophical Transactions of the Royal Society A 236. Güven aralığı kuramının kurucu metni.
• TCMB, Enflasyon Raporu (üç aylık). Enflasyon tahmin aralıklarının ve yelpaze grafiklerinin nasıl sunulduğuna dair Türkiye örneği.
• Charles Wheelan (2013). Naked Statistics: Stripping the Dread from the Data. W. W. Norton. Güven aralıkları ve anket hata payları üzerine genel okura yönelik bir anlatım.

Sonraki derse köprü

Bu derste bir tahminin yanına belirsizliğini yazmayı öğrendik ve iki grubun farkı için kurulan bir aralığın sıfırı içerip içermediğine baktık. Ama çoğu zaman sorulan soru bir aralık değil, bir iddiadır: yeni politika işsizliği azalttı mı, iki bölgenin ücretleri gerçekten farklı mı, bir ilacın etkisi şans eseri mi? Bir iddiayı veriyle sınamanın kuralları nelerdir? «İstatistiksel olarak anlamlı» ifadesi ne anlama gelir ve neden bu kadar sık yanlış anlaşılır? Hipotez testini sıradaki ders ele alıyor.