Pergel ve cetvel

Gör

Kasım güneşi, Didim'de denize iki sokak uzaklıktaki kumlu bir boş arsaya öğleden sonra üçte alçaktan vuruyor. Kalıpçı İlyas Usta bir çay bahçesi için yuvarlak bir çardak tabanı hazırlıyor ve yanında ilk mevsimini çalışan on dokuz yaşındaki çırağı Berk var. Ortada metre yok, gönye yok. İlyas Usta arsanın ortasına kısa bir demir kazık çakıyor, kazığa bir ip bağlıyor, ipin öbür ucuna bir çivi düğümlüyor. Berk'e ipi gergin tutmasını, çivinin ucunu kuma bastırarak kazığın çevresinde yürümesini söylüyor.

Berk yürüyor. İlk turda ip bir yerde gevşiyor ve çivi içeri kaçıyor; kumdaki çizgi orada küçük bir çukur yapıyor. İlyas Usta silip yeniden yürütüyor. İkinci turda ip hiç gevşemiyor ve Berk başladığı yere döndüğünde çizgi kendi ucuyla buluşuyor. Kumda, ortasında bir kazık duran bir daire var.

Sonra İlyas Usta altı direk yeri istiyor, aralarında eşit uzaklık olsun. Berk elindeki ipe bakıyor: "Ölçmeden mi?" Usta kazıktan ipi çözüyor, aynı uzunluğu dairenin üstünde bir noktadan başlatıp çiviyle dairenin üstünde bir sonraki yeri işaretliyor, sonra oradan bir sonrakini. Altıncı adımda çivi başladığı noktaya, bir parmak eni kadar bir farkla, geri geliyor. "İp biraz esnedi," diyor İlyas Usta, "kum da kaydı." Altı işaretin arasındaki farkı gözle paylaştırıp direk yerlerini çakıyor.

Berk'in aklında iki soru kalıyor. Kimse ölçmediği hâlde kumdaki çizgi neden kapandı? Ve dairenin kendi ipi neden onu tam altıya bölüyor da beşe ya da yediye bölmüyor?

Neden bu biçim

Kumdaki dairenin biçimini çizen kişi belirlemedi. Berk yalnız yürüdü; çizginin nereden geçeceğine ip karar verdi. Çivi kazıktan ipin boyundan daha uzağa gidemezdi, çünkü ip gergindi; daha yakına da gelemezdi, çünkü Berk ipi hiç gevşetmeden yürüyordu. Ucun her an kazığa aynı uzaklıkta kalması, ucun gidebileceği bütün yerleri tek bir eğriye indirdi. Bu bir kısıt: biçimi bir kuvvet ya da bir büyüme değil, aşılamayan bir sınır üretiyor. İlk turda ip gevşediği anda kısıt kalktı ve çizgi hemen daireden ayrıldı.

Öklid daireyi tam bu kısıtla tanımlar. Tanımda bir çizim aracı yoktur; yalnız eşit uzaklık vardır.

Aynı kısıt, kimsenin yürümediği bir yerde de iş görebilir. Kumulun eteğinde tek bir noktadan köklenmiş bir ot düşün. Otun boyu birkaç dakika içinde değişmez ve dibi yerinden oynamaz. Rüzgâr onu yere doğru eğdiğinde ucu kuma değiyorsa, ucun kumda bırakabileceği iz bir yay olmak zorundadır, çünkü uç dibinden otun boyundan daha uzağa gidemez. Yayın ne kadar uzun olacağına rüzgârın yönü ve otun ne kadar eğildiği karar verir; yayın eğriliğine ise yalnız otun boyu. Burada rüzgâr ucu itiyor ama biçimi rüzgâr çizmiyor; rüzgâr hangi yöne eserse essin, uç aynı dairenin bir parçasında kalıyor. Bu bir gözlem değil, sabit uzaklığın kendisinden çıkan bir sonuçtur: ip, ot ya da pergelin bacağı, uzaklığı sabit tutan her şey aynı eğriyi verir.

Kural

Öklid Elemanlar'ı tanımlardan sonra beş postulatla açar. İlk üçü birer çizim iznidir. Birincisi, herhangi bir noktadan herhangi bir noktaya bir doğru çekilebileceğini söyler. İkincisi, sonlu bir doğrunun bir doğru boyunca kesintisiz uzatılabileceğini. Üçüncüsü, herhangi bir merkez ve yarıçapla bir daire çizilebileceğini. Joyce'un yorumuna göre ilk ikisi cetvelle, üçüncüsü pergelle yapılan çizime karşılık gelir. Cetvelin üstünde çizgi yoktur; postulatlar ona yalnız iki noktayı birleştirme işi verir, uzunluk okuma işi vermez.

Joyce üçüncü postulatın ilginç bir kısıtını da gösterir. Postulat pergelin açıklığını bir yerden alıp başka bir yere taşımaya izin vermez; sanki pergel kâğıttan kalktığı anda kapanıyormuş gibidir. Öklid bunu düzeltmek için ayrı bir önermeyle, I.3'le, bir uzunluğun başka bir yere nasıl aktarılacağını gösterir ve böylece kapanan pergelle yapılabilen her şey sıradan pergelle de yapılabilir hâle gelir. İlyas Usta ipi kazıktan çözüp dairenin üstüne taşıdığında bu kısa yolu kullandı.

Kitabın ilk önermesi, I.1, bu iki aracın birlikte neler yapabildiğini gösterir: verilen bir doğru parçası üstüne eşkenar üçgen kurmak. Parçanın uçlarına A ve B dersen, önce merkezi A olan ve B'den geçen bir daire çizilir, sonra merkezi B olan ve A'dan geçen bir daire. İki daire birbirini C noktasında keser. C, A merkezli dairenin üstünde olduğu için AC, AB'ye eşittir; B'nin çevresindeki daireye de ait olduğundan BC de BA'ya eşittir. Aynı şeye eşit olanlar birbirine de eşit olduğu için üç kenar birbirine eşittir. Hiçbir uzunluk ölçülmedi, ama üçgenin eşkenar olduğu kesin. Kesinliği veren şey, Neden bu biçim'deki kısıttır: dairenin üstündeki her nokta merkeze aynı uzaklıktadır.

Berk'in ikinci sorusunun cevabı da buradan çıkıyor. Öklid dördüncü kitabın on beşinci önermesinde bir dairenin içine düzgün altıgen yerleştirir ve önermenin sonuna, altıgenin kenarının dairenin yarıçapına eşit olduğunu ekler. Sebebi I.1'deki üçgenin altı kez tekrarıdır: merkezle iki komşu köşe her seferinde bir eşkenar üçgen kurar, eşkenar üçgenin merkezdeki açısı tam bir dönüşün altıda biridir ve altı üçgen dönüşü boşluksuz kapatır. Yarıçap ipi dairenin üstünde bu yüzden altı adımda başladığı yere döner. Beş ya da yedi eşit parça için başka bir uzunluk gerekir ve o uzunluk kendiliğinden elde değildir.

İnsan eliyle

Ölçmeden kurmanın en eski izlerinden biri bir kelimede saklı. İskenderiyeli Klemens, Stromata'nın birinci kitabının on beşinci bölümünde Demokritos'un kendisiyle övündüğü bir cümleyi aktarır: kanıtla çizgi kurmakta kimse onu geçmemiş, Mısır'da adı geçen bir zümre bile. Bu zümrenin adı Yunancada harpedonaptai diye geçer.

Heath bundan sonra bir adım daha atar. Eski Hint ve muhtemelen Çin geometricilerinin üç parçası 3, 4 ve 5 oranında bölünmüş bir ipi gererek dik açı kurduğunu, Mısırlıların da 3, 4, 5 kenarlı üçgenin dik açılı olduğunu bildiğini yazar. Okunurken dikkat edilecek yer şu: Heath'in bu sayfalarında ip gericilerin dik açıyı böyle bir düğümlü iple kurduğunu gösteren bir Mısır belgesi yok. Elde kelimenin anlamı, tapınak temelinde ip ve kazık tasvirleri ve başka ülkelerden bir uygulama var. «Mısırlı ustalar on iki düğümlü iple dik açı kurardı» cümlesi yaygın olsa da Heath'in metninden çıkan şey bir çıkarımdır, bir tanıklık değildir.

İp ile pergel arasındaki akrabalığı Yunanca da taşıyor. Heath, Theognis'in bir dizesinde dürüst bir elçinin tornostan, çekülden ve gönyeden daha doğru olması gerektiğinin söylendiğini aktarır ve tornosu daire çizmeye yarayan, gergin ipli bir araç diye açıklar. İlyas Usta'nın kazığı ve ipi bu aracın büyüğü.

Romalı mimar Vitruvius aynı işi bir kent ölçeğinde anlatır. Mimarlık Üzerine On Kitap'ın birinci kitabında mimara geometrinin cetvel ve pergel kullanmayı öğrettiğini, binaların planını araziye bu yolla aktardığını yazar. Altıncı bölümde kent sokaklarının yönü için bir yöntem verir: kentin ortasında düzlenmiş bir yere bir gölge çubuğu dikilir, sabah gölgenin ucu işaretlenir ve çubuk merkez olmak üzere o uca kadar açılan pergelle bir daire çizilir. Öğleden sonra uzayan gölge daireye yeniden değdiğinde ikinci işaret konur. Bu iki noktadan pergelle kesişen yaylar çizilir ve kesişme noktasıyla merkezden geçen doğru güneyi ve kuzeyi verir. Vitruvius'un iki yayı I.1'deki iki dairenin aynı hareketidir: iki noktaya eşit uzaklıktaki yerleri bulmak.

İslam bezemesinde pergelin yürüttüğü iş Sanat Tarihi Akademisi'nin KRO-309-7 dersinin konusu; bu akademi aynı inşaya 10.1'de, daireden yıldıza giden yolda dönüyor.

Sınır

Öklid'in dairesi kalınlığı olmayan bir çizgidir ve merkeze uzaklığı bütün noktalarında tam olarak aynıdır. Kumdaki daire böyle değil. İlyas Usta'nın altıncı adımda bulduğu bir parmaklık fark bunu gösteriyor: ip esniyor, kum kayıyor, çivinin ucu bir kalınlık bırakıyor ve her adımda biriken küçük hata altı adımın sonunda görünür hâle geliyor. Teoremin söylediği şey, kurulan şeklin hangi koşulda tam olacağıdır; elin yaptığı şey o koşula yaklaşmaktır. Pergeli sıkı olmayan biri kâğıtta da aynı farkı görecek.

Doğadaki yaylar için de aynı uyarı geçerli. Rüzgârdaki ot örneğinde dairenin bir parçası çıkıyorsa bunun sebebi otun boyunun ve dibinin sabit kalmasıdır. Ot eğilirken kendisi de bükülür, ucu kuma her yerde aynı derinlikte değmez, rüzgâr kesik keser. Böyle bir iz gördüğünde ondan beklenebilecek olan Öklid'in dairesi değil, bir sabit uzaklık koşulunun yaklaşık izidir.

Öklid'in kendi metninin de bir sınırı var. Joyce'un notu, I.1'deki iki dairenin kesiştiğini hiçbir postulatın garanti etmediğini hatırlatıyor; ispat bunu çizimin gözle görünen hâlinden alıyor. Pergel-cetvel çiziminin kesinliği, hangi şeylerin sessizce kabul edildiğini bilmekle birlikte gelir.

Bir de beğeni sınırı var. Atölyede çizeceğin yedi daireli desen çoğu insanın gözüne hoş gelir; bu bir zevktir ve bu ders onu ölçmez. Desene bugün yaygın olarak verilen «hayat çiçeği» adı modern bir addır; bu ad etrafında kurulan «kutsal geometri» iddiaları 10.9'da kaynaklarına kadar izlenecek. Burada desen yalnız bir pergel alıştırması.

Atölye

Malzeme: Bir pergel, sivri bir kurşun kalem, cetvel, silgi ve iki beyaz A4 kâğıt. Pergel yoksa bir ip parçası ve iki kalem: birini iğne gibi tut, öbürüyle ip gergin kalacak şekilde çiz.

Kayıt: Kâğıdın bir yüzünde altıgen, öbüründe yedi daire durur. Altıgenin yanına altıncı adımdaki farkı milimetre olarak yaz ve bu farkın nereden geldiğini düşündüğünü bir cümleyle not et. Yedi dairenin içinde bulduğun eşkenar üçgeni renkli kalemle belirginleştir. Bu kâğıdı ilk iki dersin kâğıtlarıyla birlikte sakla.

Sonraki derse köprü

Öklid postulatlardan önce birkaç tanım verir ve bu derste kullandığın her şey onlara dayanıyor: nokta parçası olmayandır, çizgi eni olmayan uzunluktur, yüzey yalnız eni ve boyu olandır. Kumdaki çivi izinin bir eni vardı, kâğıttaki kurşun kalem çizgisinin de var. 0.4 «Nokta, çizgi, yüzey, hacim» bu tanımları doğadaki şeylerle sınıyor: bir yağmur damlasına ne zaman nokta, bir örümcek ipine ne zaman çizgi, bir yaprağa ne zaman yüzey dersin? Öklid'in tanımlarıyla doğadaki şeyler arasındaki bu aralık, boyutun ne demek olduğunu yeniden sordurur.