İntegral alma kuralları

Necmi'nin ödevinde ∫ x(x + 2) dx var. Kısa yoldan gitmeye karar veriyor: x'in integrali x²/2, (x + 2)'nin integrali x²/2 + 2x; ikisini çarpıp (x²/2) · (x²/2 + 2x) + c yazıyor. Kontrol için bulduğunu türetiyor ve x³ + 3x² elde ediyor; başladığı x² + 2x ile hiç ilgisi yok. Hatanın kaynağı türev dersinden tanıdık: bir çarpımın türevi, türevlerin çarpımı değildi. Ters işlem de çarpımı parçalarına dağıtmaz. Necmi parantezi açıp ∫ (x² + 2x) dx yazınca iş iki satıra iniyor: x³/3 + x² + c, türevi de tam x² + 2x. Bu derste hangi işlemlerin integralin içinden çıkabildiğini, hangilerinin çıkamadığını ve temel fonksiyonların integral formüllerini, her birini bir türev kuralının tersinden okuyarak kuruyoruz.

• Kuvvet fonksiyonlarının, üstel ve trigonometrik fonksiyonların integral formüllerini türev kurallarının tersinden çıkarır ve her sonucu türeterek sınarsın.
• Negatif ve kesirli üslü terimleri xⁿ biçimine çevirip integralini alır, n = −1 durumunda ln|x| formülüne geçersin.
• Çarpım ya da bölüm biçimindeki bir integrandı önce açar veya sadeleştirir, sonra terim terim integre edersin.
• Bir başlangıç koşulundan integral sabitini bulur, istenen fonksiyon değerini hesaplarsın.

Türev tablosunu tersten okumak

«Belirsiz integral» dersinde bir fonksiyonun integralinin, türevi o fonksiyona eşit olan bütün fonksiyonların ailesi olduğunu gördük. Bu eşitlik integral formüllerini nereden alacağımızı da söyler: M19'da kurduğumuz her türev kuralı, sağdan sola okunduğunda bir integral kuralı verir. Bu yüzden integral formülü ezberlemek, türev tablosunu ikinci kez ezberlemek değildir; aynı tabloya ters yönden bakmaktır. Her sonucun bir de bedava sınaması vardır: bulduğun ifadenin türevini al, integralin içindeki fonksiyon çıkmalı.

Kuvvet kuralı

«Türev alma kuralları» dersindeki kuvvet kuralına göre (x⁵)' = 5x⁴ olur. Türevde üs bir azalıp başa çarpan olarak iniyordu; integralde üs bir artar ve yeni üsse bölünür:

∫ xⁿ dx = x^(n+1)/(n + 1) + c, n ≠ −1.

Sağ tarafı türetince (n + 1) çarpanı paydadakini götürür ve xⁿ kalır. ∫ x⁴ dx = x⁵/5 + c bu kuralın en düz kullanımıdır. Kural tam sayı olmayan ve negatif üslerde de aynen işler; tek iş, terimi önce xⁿ biçiminde yazmaktır. √x = x^(1/2) olduğundan ∫ √x dx = x^(3/2)/(3/2) + c = (2/3)x√x + c bulunur. Paydadaki kuvvet yukarı negatif üsle çıkar: 1/x² terimi x^(−2) olarak yazılınca integrali x^(−1)/(−1) + c, yani −1/x + c bulunur. Kök paydada durduğunda üs −1/2 olur; yarıma bölmek iki ile çarpmaktır ve ∫ (1/√x) dx = 2√x + c çıkar. Kesirli bir üsse bölmek, o kesrin tersiyle çarpmak demektir; hızlı hesap bu adımda kazanılır ya da kaybedilir.

Sabit bir sayının integrali kuralın n = 0 hâlidir: ∫ k dx = kx + c. Türevi k olan fonksiyon kx'tir.

Üs −1 olunca: ln|x|

Formülde n = −1 yazılırsa payda sıfır olur; 1/x kuvvet kuralının dışında kalır. M19'da logaritmanın türevini işlerken (ln x)' = 1/x bulmuştuk; ne var ki doğal logaritmanın tanım kümesi pozitif sayılardır. Oysa 1/x negatif sayılarda da tanımlıdır. x < 0 bölgesinde ln(−x) fonksiyonunun türevi zincir kuralıyla (−1)/(−x) = 1/x çıkar. İki parçayı tek yazıda toplayan ifade ln|x|'tir:

∫ (1/x) dx = ln|x| + c, x ≠ 0.

Mutlak değer, formülün x'in negatif olduğu aralıkta da doğru kalmasını sağlar. Bu formül 5/x, 1/(3x) gibi sabit katlarına da sabitle çarpım kuralıyla uygulanır.

Sabitle çarpım, toplam ve fark

Türevde sabit çarpan dışarı çıkıyor, toplamın türevi türevlerin toplamı oluyordu. İntegral bu iki özelliği aynen devralır: ∫ k · f(x) dx = k ∫ f(x) dx ve ∫ (f ± g) dx = ∫ f dx ± ∫ g dx. Polinom bu sayede terim terim integre edilir: ∫ (6x² − 4x + 5) dx = 2x³ − 2x² + 5x + c. Her terimden ayrı bir sabit doğsa da sabitlerin toplamı yine bir sabittir; sonuçta tek bir c yazılır.

Üstel fonksiyonlar

Türevi kendisine eşit olan eˣ, integralde de değişmez: ∫ eˣ dx = eˣ + c. Başka bir a tabanında (a > 0, a ≠ 1) türev (aˣ)' = aˣ · ln a idi; türevde çarpan olarak gelen ln a, integralde paydaya geçer:

∫ aˣ dx = aˣ/ln a + c.

Örneğin ∫ 2ˣ dx = 2ˣ/ln 2 + c. Üstel ifadeye kuvvet kuralı uygulanmaz; 2ˣ'te değişken üstedir ve x^(n+1)/(n + 1) kalıbı burada anlamsızdır.

Trigonometrik fonksiyonlar

«Trigonometrik fonksiyonların türevi» dersindeki üç eşitlik üç integral formülü verir. (sin x)' = cos x olduğundan ∫ cos x dx = sin x + c. (cos x)' = −sin x olduğundan sinüsün integrali eksi işaret taşır: ∫ sin x dx = −cos x + c. İşaret hatası bu bölümün en sık hatasıdır; şüphede kalınca sonucu türetmek yeter. Tanjantın türevi iki biçimde yazılıyordu: 1/cos²x ya da 1 + tan²x. Bu iki ifadenin her biri, integral işaretinin altına konduğunda tan x + c verir; formül cos x ≠ 0 olan aralıklarda geçerlidir. Bu ikinci yazım bir kapı açar: ∫ tan²x dx için integrand 1 + tan²x'ten 1 eksiktir, dolayısıyla sonuç tan x − x + c olur. Bütün bu formüllerde açı radyan cinsindendir.

Önce sadeleştir, sonra integral al

İntegralin çarpıma ve bölüme dağılan bir kuralı yoktur. İntegrand çarpım ya da kesir biçimindeyse önce cebirle toplam hâline getirilir. (x + 1)² ifadesini açarsak x² + 2x + 1 elde edilir; integrali x³/3 + x² + x + c'dir. Payı x² − 1, paydası x − 1 olan kesir x ≠ 1 için x + 1'e sadeleşir; integrali x²/2 + x + c'dir. (x³ + 1)/x kesri payı paydaya terim terim bölerek x² + 1/x olur ve sonuç x³/3 + ln|x| + c bulunur. Trigonometride de aynı hamle işler: sin²x/(1 − cos x) ifadesinde pay 1 − cos²x = (1 − cos x)(1 + cos x) olarak yazılınca kesir 1 + cos x'e iner.

(x + 1)² için ikinci bir yol da vardır. (x + 1)³/3 ifadesini türetirsen zincir kuralıyla iç türev 1 gelir ve (x + 1)² kalır; demek ki (x + 1)³/3 + c de doğru bir cevaptır. Açıp bulduğumuz sonuçla arasındaki fark yalnızca 1/3'tür, yani integral sabitinin içinde kaybolur. İki öğrencinin farklı görünen iki cevabı bu yüzden ikisi de doğru olabilir: türevleri aynıysa aynı ailenin üyeleridir.

Çarpımın integrali neden parçalanmaz

Kancadaki hata bir sınama ile hemen görülür. ∫ f dx · ∫ g dx çarpımını türetmek çarpım kuralını gerektirir ve iki terimli bir toplam doğurur; bu toplam f · g'ye ancak tesadüfen eşit olur. Bölüm için de aynısı geçerlidir: ∫ (f/g) dx, iki integralin oranı değildir. Seçeneklerde «integrallerin çarpımı» ya da «integrallerin oranı» biçiminde duran bir ifade gördüğünde, onu türetmeden de eleyebilirsin.

Başlangıç koşuluyla sabiti bulmak

Belirsiz integral bir fonksiyon ailesi verir; aileden tek bir üyeyi seçmek için bir nokta yeter. F'(x) = 3x² − 4x ve F(1) = 5 verilmişse önce F(x) = x³ − 2x² + c yazılır, sonra 1 − 2 + c = 5 eşitliğinden c = 6 bulunur. Soru ikinci türevle başlıyorsa iki kez integral alınır ve her adımda ayrı bir sabit doğar; bunun için iki koşul gerekir.

Formülün yetmediği yer

Bu derste her integrand ya doğrudan bir formüle uydu ya da açılıp sadeleştirilince uydu. ∫ 3x² · (x³ − 2)⁴ dx gibi bir integralde ise açmak dördüncü kuvvetten beş terimli bir açılım ve ardından bir çarpma daha ister. Dikkatli bakılınca 3x² çarpanının, parantez içindeki x³ − 2'nin türevi olduğu görülür. Bir sonraki ders «Değişken değiştirme yöntemi», integralin içinde iç fonksiyonla onun türevini birlikte yakalamayı, iç fonksiyona u adını verip dx yerine du yazmayı ve integrali bu derste kurduğumuz tablodaki bir formüle indirmeyi işliyor.

Örnek 1 — Kök ve paydadaki kuvvet

Soru: ∫ (3√x − 2/x²) dx aşağıdakilerden hangisidir?

• A) G(x) = x√x/2 + 2/x + c
• B) G(x) = (3/2)x√x + 2/x + c
• C) G(x) = 2x√x − 2/x + c
• D) G(x) = 2x√x + 2/x + c
• E) G(x) = 3/(2√x) + 4/x³ + c

Çözüm: 3√x = 3x^(1/2) için üs 3/2 olur ve 3 · x^(3/2)/(3/2) = 2x^(3/2) = 2x√x çıkar. −2/x² terimi −2x^(−2) olarak yazılır; yeni üs −1'dir, −2'yi −1'e bölmek 2 verir ve terim 2/x olur. Türetince 3√x − 2/x² geri gelir. B seçeneği 3/2'ye bölmek yerine onunla çarpar, C negatif üsteki işareti kaçırır, E ise integral yerine türev almıştır. Cevap: D.

Örnek 2 — Trigonometrik integral ve sabit

Soru: Türevi 2cos x + 3sin x olan F fonksiyonu F(0) = 1 koşulunu sağlıyor. F(π/2) kaçtır?

• A) 6
• B) 2
• C) 5
• D) 3
• E) 0

Çözüm: Terim terim integral alınınca F(x) = −3cos x + 2sin x + c olur. x = 0'da cos 0 = 1 ve sin 0 = 0 olduğundan −3 + c = 1 ve c = 4 bulunur. π/2'de kosinüs sıfır, sinüs bir olduğu için F(π/2) = 2 + 4 = 6'dır. Sinüsün integralini +cos x alan öğrenci 3 + c = 1 eşitliğinden c = −2 çıkarır ve 0 cevabına ulaşır; sabiti hiç bulmayan ise yalnız 2 der. Cevap: A.

Örnek 3 — Üstel kesirde sadeleştirme

Soru: ∫ (e^(2x) − 1)/(eˣ + 1) dx hangisidir?

• A) H(x) = eˣ + x + c
• B) H(x) = e^(2x)/2 − x + c
• C) H(x) = eˣ − 1 + c
• D) H(x) = (e^(2x)/2 − x)/(eˣ + x) + c
• E) H(x) = eˣ − x + c

Çözüm: Pay bir iki kare farkıdır: e^(2x) − 1 = (eˣ − 1)(eˣ + 1). Paydayla sadeleşince integrand eˣ − 1 kalır ve integrali eˣ − x + c olur. C seçeneği integral almadan sadeleşmiş ifadeyi yazar, D pay ile paydanın integrallerini ayrı ayrı bölmüştür, B ise paydayı hiç hesaba katmaz. Cevap: E.

Örnek 4 — Çarpımı açmak

Soru: ∫ (2x − 1)(x + 3) dx aşağıdakilerden hangisine eşittir?

• A) K(x) = (x² − x)(x²/2 + 3x) + c
• B) K(x) = 2x³/3 + 7x²/2 − 3x + c
• C) K(x) = 2x³/3 + 5x²/2 − 3x + c
• D) K(x) = 4x + 5 + c
• E) K(x) = x³ + 5x²/2 − 3x + c

Çözüm: Çarpım açılınca 2x² + 6x − x − 3 = 2x² + 5x − 3 olur. Terim terim integral 2x³/3 + 5x²/2 − 3x + c verir. A seçeneği iki çarpanın integrallerini ayrı ayrı alıp çarpmıştır; türetilince kübik bir ifade çıkar. B açarken 6x − x'i 7x yapmış, D ise türev almıştır. Cevap: C.

• Çarpımın integralini integrallerin çarpımı sanmak. ∫ x · eˣ dx ≠ (x²/2) · eˣ; türetince başka bir ifade çıkar. Çarpımı ve kesri önce aç ya da sadeleştir.
• Sinüsün integralinde işareti kaçırmak. ∫ sin x dx = −cos x + c; eksi, (cos x)' = −sin x eşitliğinden gelir. Emin değilsen sonucu türet.
• Kesirli üsse bölerken çarpmak. ∫ √x dx'te 3/2'ye bölünür, yani 2/3 ile çarpılır; (3/2)x√x yazan aslında türevin ters yönündeki işlemi yapmıştır.
• 1/x'e kuvvet kuralını uygulamak. n = −1'de payda sıfır olur; doğru sonuç ln|x| + c'dir. Mutlak değeri düşürmek x < 0 bölgesini dışarıda bırakır.
• aˣ'in integralinde ln a'yı paya yazmak. Türevde çarpan olan ln a, integralde paydaya geçer: ∫ 3ˣ dx = 3ˣ/ln 3 + c.