Belirsiz integral

Gülnaz ile Hayri aynı ödevin ilk sorusunda takılıyor: «Türevi 6x olan bir fonksiyon yazınız.» Gülnaz 3x² yazıyor, Hayri 3x² − 4. İkisi de cevabını türev alarak sınıyor ve ikisi de 6x buluyor. Hangisi doğru? Öğretmenleri ikisini de doğru sayıyor ama ikisinin de eksik olduğunu söylüyor: 3x² + 10, 3x² − π ve 3x² + 0,5 de aynı sınavdan geçer. Türevi bilinen bir fonksiyonu geri bulmak tek bir cevap değil, bir aile verir. Bu derste türevi geri sarmayı, o ailenin neden hep bir sabit kadar farklı üyelerden oluştuğunu, ∫ işaretiyle nasıl yazıldığını ve ek bir bilgiyle aileden tek fonksiyonun nasıl seçildiğini öğreniyoruz.

• Verilen bir fonksiyonun ilkel fonksiyonunu türev bilgisinden bulur, sonucunu türev alarak sınarsın.
• ∫ f(x) dx gösterimini okur, sonuca + c eklemenin gerekçesini ve dx'in hangi değişkeni gösterdiğini açıklarsın.
• d/dx ∫ f(x) dx = f(x) ve ∫ f'(x) dx = f(x) + c eşitliklerini soru çözümünde kullanırsın.
• Bir başlangıç koşulundan c'yi hesaplar, eğimi ya da hızı verilen durumda eğrinin denklemini ya da konumu yazarsın.

Türevi geri sarmak

M19 boyunca hep aynı yönde ilerledik: fonksiyon verildi, türevini aldık. «Türev alma kuralları» dersinde x³'ün türevini 3x², x²'nin türevini 2x, 5x'in türevini 5 bulmuştuk. İntegral bu yolun dönüşüdür. Elimizde türev vardır ve onu üreten fonksiyonu ararız. Türevi 2x olan fonksiyonu sorulan öğrenci, x²'nin türevini hatırlar ve x² der. Türevi 3x² olanı soran soruya x³, türevi 5 olana 5x cevap verilir. Henüz bir kural kullanmıyoruz; yalnız bildiğimiz türevleri tersinden okuyoruz.

İlkel fonksiyon

Bir aralıkta tanımlı f için F'(x) = f(x) oluyorsa F'ye f'nin ilkel fonksiyonu (ters türevi, antiderivative) denir. x² fonksiyonu 2x'in, x³ fonksiyonu 3x²'nin ilkel fonksiyonudur. Tanım, sınamanın yolunu da içinde taşır: bir adayın ilkel fonksiyon olup olmadığını anlamak için türevini almak yeter. x² + 4x − 9 için türev 2x + 4 çıktığından bu ifade 2x + 4'ün bir ilkel fonksiyonudur; 2x² + 4x ise 4x + 4 verdiği için değildir.

Neden tek değil: sabitin türevi sıfır

Kancadaki tartışmanın kaynağı basittir: sabit bir sayının türevi 0'dır. F ilkel fonksiyonsa F + 7, F − 2 ya da F + π de türevde aynı f'yi verir, çünkü eklenen sabit türevde kaybolur. Tersi de geçerlidir: bir aralıkta türevleri eşit olan iki fonksiyonun farkının türevi 0'dır ve türevi her yerde 0 olan fonksiyon o aralıkta sabittir. Demek ki f'nin bütün ilkel fonksiyonları, bulunan herhangi bir F'ye bir sabit eklenerek elde edilir: F(x) + c.

Bu aile grafikte göze görünür. «Grafik dönüşümleri: öteleme ve yansıma» dersinde y = f(x) + k eğrisinin, f'nin grafiğinin k birim yukarı (k < 0 ise aşağı) kaydırılmış hâli olduğunu görmüştük. x², x² + 3 ve x² − 2 parabolleri aynı biçimdedir; yalnız düşey konumları değişir. Aynı apsiste üçünün teğet eğimi de aynıdır, 2x. İlkel fonksiyon ailesi, birbirine paralel kaydırılmış eğrilerden oluşan bir demettir; türev bilgisi demetin biçimini belirler ama hangi eğrinin seçildiğini söylemez.

∫ işareti ve dx

f'nin bütün ilkel fonksiyonlarının kümesine f'nin belirsiz integrali denir ve ∫ f(x) dx biçiminde yazılır. Okunuşu «f(x)'in x'e göre integrali»dir. Uzatılmış bir S'yi andıran ∫ integral işaretidir; f(x) integrali alınan fonksiyon, c ise integral sabitidir:

∫ f(x) dx = F(x) + c, burada F'(x) = f(x).

Böylece ∫ 2x dx = x² + c, ∫ 3x² dx = x³ + c ve ∫ 5 dx = 5x + c yazılır. «Belirsiz» sözcüğü sonucun tek bir fonksiyon olmayıp c'ye bağlı bir aile olduğunu anlatır.

dx kısmı süs değildir; hangi değişkene göre işlem yapıldığını söyler. ∫ 2t dt sorusunda değişken t'dir ve sonuç t² + c olur. Aynı 2t ifadesi ∫ 2t dx içinde yer alırsa t, x'e göre bir sabittir; ∫ 5 dx = 5x + c ile aynı mantıkla sonuç 2tx + c çıkar. y = f(x) için dy = f'(x) dx çarpımına f'nin diferansiyeli denir; örneğin d(x²) = 2x dx. İntegral işaretinin içindeki f(x) dx bu yüzden F'nin diferansiyelidir ve ∫ d(F(x)) = F(x) + c yazılabilir.

Sonucu türevle sınamak

İntegral sonucunun doğruluğunu ölçmenin en güvenli yolu türev almaktır. ∫ 3x² dx = x³ + c yazan öğrenci (x³ + c)' = 3x² sınamasını saniyede yapar. Çoktan seçmeli bir soruda yanlış seçenekler çoğu zaman bu sınamada kendini ele verir: ∫ 6x dx için 6x² + c seçeneğinin türevi 12x, 6 + c seçeneğininki 0'dır. Sınamanın bir sınırı da vardır: türev, c'nin unutulup unutulmadığını göstermez. Bunu yazanın kendisi kontrol etmelidir.

Birbirini götüren iki işlem

Türev ve integral ters işlemlerdir; art arda uygulandıklarında başa dönülür, ama sıraya göre küçük bir fark kalır.

• Önce integral, sonra türev: d/dx ∫ f(x) dx = f(x). İntegralin sonucu F(x) + c'dir, türevi f(x)'tir ve sabit yok olduğundan sonuçta c bulunmaz.
• Önce türev, sonra integral: ∫ f'(x) dx = f(x) + c. f'nin ilkel fonksiyonlarından biri f'nin kendisidir; aile ise sabit eklenerek yazılır.

Bu iki eşitlik, integral kuralı bilinmeyen ifadelerde bile işe yarar. ∫ (x² sin x)' dx sorusunda hiçbir integral hesaplanmaz: cevap x² sin x + c'dir.

Bir koşulla c'yi bulmak

Aile içinden tek bir fonksiyon seçmek için ek bir bilgi gerekir; buna başlangıç koşulu denir. F'(x) = 3x² ve F(1) = 3 verilsin. Önce aile yazılır: F(x) = x³ + c. Koşul yerine konur: 1 + c = 3, yani c = 2. Aranan fonksiyon x³ + 2 olarak belirlenir; buradan F(2) = 10 çıkar. Koşulu c bulunmadan kullanmak mümkün değildir; c'yi bulmadan F(2) = 8 yazan öğrenci, ailenin rastgele bir üyesini seçmiş olur.

Eğimi bilinen eğri

«Türevin geometrik anlamı ve teğet denklemi» dersinde bir eğrinin x apsisli noktasındaki teğetin eğiminin f'(x) olduğunu gördük. Soru bunu tersinden sorabilir: bir eğrinin her noktasındaki teğet eğimi 2x'tir ve eğri (1, 4) noktasından geçmektedir. Eğimden eğri ailesi çıkar, y = x² + c. Noktanın koordinatları yerine konunca 1 + c = 4, c = 3 bulunur ve eğri y = x² + 3 olur. Demetteki bütün paraboller aynı eğimlere sahiptir; (1, 4)'ten geçen ise yalnız bir tanesidir.

Hızdan konuma

«Türevin tanımı» dersinde anlık hızı konum fonksiyonunun türevi olarak kurmuştuk. İntegral bu ilişkiyi geri çevirir. Düz bir yolda ilerleyen bir aracın t saniyedeki hızı v(t) = 2t + 3 metre/saniye olsun. Konum s(t) = t² + 3t + c olur, çünkü bu ifadenin türevi hızı verir. Hız tek başına aracın nereden yola çıktığını söylemez; c tam olarak bu bilinmeyen başlangıç konumudur. Araç t = 0'da 5 metre işaretinin önündeyse c = 5 olur ve 4. saniyede konum s(4) = 16 + 12 + 5 = 33 metredir. Aynı mantık bir adım daha geri götürülebilir: ivmeden hız, hızdan konum bulunur; her adımda bir sabit doğar ve her sabit için ayrı bir başlangıç bilgisi gerekir.

Tahminden kurala

Bu derste ilkel fonksiyonu hep bildiğimiz bir türevi tersinden okuyarak bulduk ve türevle sınadık. ∫ 7x⁶ dx kolaydır, çünkü x⁷'nin türevi akla hemen gelir; ama ∫ x⁵ dx, ∫ eˣ dx ya da ∫ 1/x dx sorulduğunda her seferinde tahmin yürütmek yorucudur. Sonraki ders «İntegral alma kuralları» bu tahmini sistemli bir araca dönüştürüyor: kuvvet, üstel ve trigonometrik fonksiyonların integralleri ile sabitle çarpılmış ve toplanmış ifadelerin integralini veren kuralları, türev kurallarının ters çevrilmiş hâli olarak kuruyor.

Örnek 1 — İlkel fonksiyonu seçmek

Soru: Aşağıdakilerden hangisi f(x) = 2x + 4 fonksiyonunun ilkel fonksiyonlarından biridir?

• A) x² + 4
• B) 2x² + 4x
• C) 2
• D) x² + 4x − 9
• E) x² + 8x

Çözüm: Her seçeneğin türevi alınır. A seçeneğinin türevi 2x, B'ninki 4x + 4, C'ninki 0, E'ninki 2x + 8'dir. D seçeneğinin türevi 2x + 4 olur; −9 sabiti türevde kaybolur. C seçeneği türevi alınmış fonksiyonun yeniden türevidir. Cevap: D.

Örnek 2 — Koşuldan sabit

Soru: Türevi 4x³ olan F fonksiyonu F(1) = −2 koşulunu sağlıyor. F(2) kaçtır?

• A) F(2) = 16
• B) F(2) = 32
• C) F(2) = 13
• D) F(2) = 14
• E) F(2) = −3

Çözüm: x⁴'ün türevi 4x³ olduğundan aile F(x) = x⁴ + c'dir. F(1) = 1 + c = −2 eşitliği c = −3 verir ve F(x) = x⁴ − 3 olur; F(2) = 16 − 3 = 13. A seçeneği c'yi hiç bulmadan aileden x⁴'ü seçer, E seçeneği c'nin kendisidir, B 4x³'ü x = 2'de hesaplar, D ise koşuldaki −2'yi sabit sanır. Cevap: C.

Örnek 3 — Eğimden eğriye

Soru: Bir eğrinin apsisi x olan her noktasındaki teğetinin eğimi 3x²'dir ve eğri (2, 5) noktasından geçer. Bu eğrinin y eksenine değdiği nokta hangisidir?

• A) (0, −3)
• B) (0, 5)
• C) (0, 13)
• D) (0, −7)
• E) (0, 3)

Çözüm: Türevi 3x² olan eğriler y = x³ + c ailesidir. (2, 5) noktası için 8 + c = 5, c = −3; eğri y = x³ − 3 olarak belirlenir; apsis sıfırken ordinat −3 çıkar. B seçeneği noktanın ordinatını kesişim sanır; C seçeneği 8'i çıkarmak yerine ekler; D eğimin x = 2'deki değeri olan 12'yi 5'ten çıkarır. Cevap: A.

Örnek 4 — İki sıra, iki sonuç

Soru: g(x) = d/dx ∫ (x³ + 2x) dx ve h(x) = ∫ (x³ + 2x)' dx olsun. h(0) = 5 ise g(1) + h(1) toplamı kaçtır?

• A) g(1) + h(1) = 8
• B) g(1) + h(1) = 11
• C) g(1) + h(1) = 6
• D) g(1) + h(1) = 13
• E) g(1) + h(1) = 3

Çözüm: Önce integral sonra türev alındığı için g(x) = x³ + 2x olur ve g(1) = 3. Öteki sırada h(x) = x³ + 2x + c çıkar; h(0) = c = 5 olduğundan h(1) = 1 + 2 + 5 = 8. Toplam 3 + 8 = 11. A seçeneği yalnız h(1)'i, C ise h'de sabiti unutup 3 + 3'ü verir. Cevap: B.

• + c'yi yazmamak. ∫ 2x dx sorusunun cevabı x² değil x² + c'dir; seçeneklerde sabitsiz ifade çoğu zaman hazır bekler ve türev sınaması bu hatayı yakalamaz.
• İntegral yerine türev almak. ∫ 6x dx için 6 + c yazmak, yön karışıklığından gelir. Sonucun türevi integrandı vermelidir.
• d/dx ∫ f(x) dx sonucuna c eklemek. Önce integral sonra türev alındığında sabit yok olur; cevap yalnız f(x)'tir. Ters sırada ise c kalır.
• dx'i görmezden gelmek. ∫ 4y dx içinde y, x'e göre sabittir; sonuç 4xy + c olur, 2y² + c değil.
• c'yi bulmadan koşullu değeri hesaplamak. F(1) = 3 gibi bir bilgi varken sabiti atlayıp F(2)'yi yazmak, ailenin yanlış üyesini seçmektir.