Polinomlarda işlemler

Ümran'ın çalışma kâğıdında (x³ + 2x − 1)(x² − x + 3) çarpımı var ve soru ondan yalnız iki şey istiyor: x² teriminin katsayısı ve bütün katsayıların toplamı. Kâğıdın kenarına dokuz ayrı çarpım yazıyor, benzer terimleri topluyor, bir işaret hatasını düzeltip yeniden topluyor; dört dakika geçmiş. Yanındaki Rıza ise iki satırla bitiriyor: x = 1 için birinci parantez 2, ikincisi 3 verdiğinden katsayılar toplamı 6'dır; x² üreten çarpımlar yalnız 2x · (−x) ile (−1) · x² olduğundan katsayı −3'tür. İkisi de doğru sonuçta buluşuyor. Fark, Rıza'nın çarpımı tamamen açmadan neye bakacağını bilmesinde.

• Polinomları benzer terimleri toplayarak ve dağılma özelliğiyle çarparak işlem sonucunu yazarsın.
• Toplam, fark, çarpım, kuvvet ve bileşke polinomun derecesini işlemi yapmadan belirlersin.
• P(Q(x)) ve P(x + a) gibi bileşke polinomları hesaplar, sonuçlarının katsayılar toplamını ve sabit terimini P(1) ile P(0) kısayoluyla bulursun.
• Bir çarpımda istenen tek terimin katsayısını çarpımı açmadan hesaplar, derece koşullarından parametreyi çözersin.

Toplama ve çıkarma: benzer terimler

İki polinom toplanırken yalnız aynı kuvvetteki terimler birleşir; x³ ile x² ne kadar yan yana yazılsa da tek terime dönüşmez. P(x) = 3x³ − 2x² + 5 ve Q(x) = −3x³ + x² + 4x − 1 alalım. Kuvvetleri alt alta dizip katsayıları toplayınca P(x) + Q(x) = −x² + 4x + 4 çıkar. Dikkat edilirse x³ terimleri birbirini götürmüş, toplam üçüncü dereceden değil ikinci dereceden olmuştur.

Çıkarmada Q(x)'in her katsayısının işareti değişir ve ardından toplama yapılır: P(x) − Q(x) = 6x³ − 3x² − 4x + 6. En sık hata, parantezin önündeki eksiyi yalnız ilk terime uygulamaktır; −(−3x³ + x² + 4x − 1) ifadesinde dört terimin dördü de işaret değiştirir.

Çarpma: dağılma özelliği

Birinci polinomun her terimi ikinci polinomun her terimiyle çarpılır, üsler toplanır, sonra benzer terimler birleştirilir. (2x − 1)(x² + 3x − 2) çarpımında 2x ile üç terim, −1 ile yine üç terim çarpılır: 2x³ + 6x² − 4x − x² − 3x + 2 = 2x³ + 5x² − 7x + 2. Terim sayıları m ve n olan iki polinomun çarpımında birleştirmeden önce m · n tane çarpım bulunur; kancadaki dokuz çarpım da 3 · 3'ten gelir.

Bu çarpımların bir kısmını TYT'den hazır biliyoruz. M07'de iki kare farkını ve tam kareyi işlediğimiz özdeşlik dersinden gelen (a − b)(a + b) = a² − b² kalıbı, (x² + 1)(x² − 1) çarpımını tek adımda x⁴ − 1 yapar. «Küp açılımları» dersindeki toplamın küpü de (x + 2)³ = x³ + 6x² + 12x + 8 sonucunu dağılmaya girmeden verir. Polinom çarpımında bir kalıp tanınıyorsa onu kullanmak hem süreyi hem işaret hatası riskini azaltır.

Derece kuralları

der P = p ve der Q = q olsun; baş katsayılar a ve b. Çarpımda en büyük kuvvet yalnız iki baş terimin çarpımından doğar: a · xᵖ · b · x^q = ab · x^(p + q). a ve b sıfırdan farklı olduğuna göre ab de sıfır olamaz, bu yüzden der(P · Q) = p + q her zaman geçerlidir. Aynı akıl yürütmeyle bir polinomun n'inci kuvvetinde der(Pⁿ) = n · p bulunur.

Toplamda ise kural bir eşitsizliktir: der(P ± Q) ≤ max(p, q). Dereceler farklıysa büyük olan kazanır ve eşitlik sağlanır. Dereceler aynıysa baş terimler birbirini yok edebilir; yukarıdaki P + Q örneğinde 3x³ ile −3x³ gidince derece 3'ten 2'ye inmişti. Bir polinom kendisinden çıkarılırsa geriye sıfır polinom kalır ve derecesinden söz edilmez.

x yerine xᵏ yazmak her üssü k katına çıkarır: der P(xᵏ) = k · p. Bileşke polinomda dış polinomun baş terimi a · xᵖ içine Q(x) girer ve en büyük kuvvet (x^q)ᵖ olur; bu yüzden der P(Q(x)) = p · q. P(x + a) biçiminde bir öteleme ise iç polinom birinci dereceden olduğu için dereceyi değiştirmez, baş katsayıyı da korur.

p = 3 ve q = 2 için bu kuralların hepsi bir tabloda görülebilir:

Son satırda iki parçanın ikisi de dördüncü dereceden olduğu için baş katsayılar sadeleşebilir; soru ek bilgi vermedikçe yalnız «en çok 4» denebilir.

Bileşke polinom: P(Q(x)) ve P(x + a)

«Bileşke fonksiyon» dersinde f(g(x)) değerini içten dışa hesaplamıştık; polinomlarda da yol aynıdır, yalnız sonuç bir sayı değil yeni bir polinomdur. P(x) = x² − 4x + 5 için P(x + 1) yazmak, her x'in yerine (x + 1) koymak demektir: (x + 1)² − 4(x + 1) + 5 = x² − 2x + 2. Benzer biçimde P(2x − 1) = (2x − 1)² − 4(2x − 1) + 5 = 4x² − 12x + 10 olur. İçteki ifade parantezsiz yazılırsa −4(2x − 1) yerine −8x − 1 gibi işaret kayıpları başlar.

Ters yön de sık sorulur. P(x + 1) = x² + 3x + 5 verilip P(x) istendiğinde iç ifadeye yeni harf verilir: t = x + 1 için x = t − 1 ve P(t) = (t − 1)² + 3(t − 1) + 5 = t² + t + 3 bulunur.

İşlem sonrası katsayılar toplamı ve sabit terim

«Polinom kavramı» dersinde x = 1 ve x = 0 yerleştirmelerini tek bir polinom üzerinde kullandık. Polinom bir işlemin sonucu olduğunda da bu yerleştirmeler çalışır ve üstelik açılım gerektirmez, çünkü x'e verilen sayı işlemin içindeki her parçaya ayrı ayrı girer. R(x) = P(x) · Q(x) ise R(1) = P(1) · Q(1) ve R(0) = P(0) · Q(0) olur; toplamda ve farkta da değerler toplanıp çıkarılır. Kancadaki Rıza'nın yaptığı tam buydu.

Bileşkede değerler içten dışa taşınır. P(x + 1)'de x = 1 yazılınca içeride 2 oluştuğu için aranan toplam P(2)'ye eşittir; x = 0 yazılınca içeride 1 oluşur. P(2x − 3)'te bu iki yerleştirme P(−1) ile P(−3)'ü verir. Yukarıdaki P(x) = x² − 4x + 5 örneğinde P(2) = 1 ve P(1) = 2 bulunur; açılmış x² − 2x + 2 polinomunun katsayıları da 1 − 2 + 2 = 1 eder, sabiti 2'dir. P(Q(x)) gibi genel bir bileşkede önce Q(1) ya da Q(0) hesaplanır, çıkan sayı P'ye verilir.

Önceki dersin x = −1 yerleştirmesi de çarpıma aynı biçimde uygulanır: R(−1) = P(−1) · Q(−1). R(x) = (x² + 2x − 1)(x³ − x + 2) için iki parantez x = 1'de 2 ile 2, x = −1'de −2 ile 2 verir; R(1) = 4 ve R(−1) = −4 olur. Buradan x'in çift kuvvetlerine ait katsayıların toplamı (4 + (−4))/2 = 0, tek kuvvetlerinkiler (4 − (−4))/2 = 4 çıkar. Açılım x⁵ + 2x⁴ − 2x³ + 5x − 2 olduğundan bu iki sayı tek tek de denetlenebilir.

Tek bir terimin katsayısı

Bir çarpımda yalnız xᵏ teriminin katsayısı isteniyorsa bütün tabloyu kurmaya gerek yoktur. Birinci çarpandan xⁱ, ikinciden x^j alınan ve i + j = k olan çiftler seçilir, yalnız onlar çarpılıp toplanır. (x² − 3x + 2)(2x³ + x² − 4x + 1) çarpımında x³ katsayısı için üç çift vardır: x² ile −4x, −3x ile x², 2 ile 2x³. Toplam −4 − 3 + 4 = −3'tür. Çift aramaya en yüksek üsten başlayıp aşağı inmek, bir çifti atlamayı önler.

Çarpanlardan biri bir kuvvetse önce o açılır ya da «Binom açılımı» dersindeki genel terimden yalnız gereken katsayılar alınır. (x + 2)⁴ = x⁴ + 8x³ + 24x² + 32x + 16 olduğundan (x + 2)⁴ · (x − 1) çarpımında x² katsayısı x · 32x ve −1 · 24x² çiftlerinden 32 − 24 = 8 olarak gelir.

Parametreli derece soruları

Derecede bir parametre gizliyse iki tür denklem kurulur. Birincisi baş katsayıların sadeleşmesidir: P(x) = ax³ + 2x² − 1 ve Q(x) = 3x³ − x + 5 iken P(x) + Q(x) ikinci dereceden olacaksa x³'ün katsayısı a + 3 sıfır olmalıdır, yani a = −3. İkincisi derece kurallarından gelen doğrusal denklemlerdir: der(P² · Q) = 11 ve der(P · Q²) = 10 verilirse 2p + q = 11 ile p + 2q = 10 çözülür, p = 4 ve q = 3 bulunur. Sonra istenen her derece bu iki sayıdan hesaplanır.

Çarpmayı geri almak

Çarpma iki polinomdan üçüncüsünü kurdu. «Polinom bölmesi ve kalan teoremi» dersi aynı ilişkiye öbür uçtan bakıyor: bölünen, bölen ve bölüm arasındaki eşitlik kurulduğunda bölümün derecesi bu dersteki toplama kuralından çıkar, kalanın derecesi ise bölenin derecesine hiç ulaşamaz. Bölen x − a olduğunda kalan, uzun bölmeye girilmeden yalnız P(a) hesaplanarak bulunur.

Örnek 1 — Karma derece

Soru: P(x) dördüncü, Q(x) üçüncü dereceden polinomlardır. P(x²) + x · Q(x)³ polinomunun derecesi kaçtır?

• A) 8
• B) 13
• C) 11
• D) 10
• E) 12

Çözüm: P(x²) için 2 · 4 = 8 bulunur. Q(x)³ dokuzuncu dereceden, x ile çarpılınca onuncu dereceden olur. Dereceler farklı olduğu için toplamın derecesi büyük olandır: 10. Cevap: D.

Örnek 2 — Sadeleşen baş katsayı

Soru: P(x) = ax³ + 2x² − 1 ve Q(x) = 3x³ − x + 5 polinomlarının toplamı ikinci dereceden bir polinomdur. Bu durumda P(x) · Q(x) çarpımının bütün katsayıları toplanınca ne çıkar?

• A) 14
• B) −14
• C) 42
• D) −2
• E) 5

Çözüm: x³ terimi kaybolmalı: a + 3 = 0, a = −3. Çarpımı açmadan x = 1 yazılır: P(1) = −3 + 2 − 1 = −2 ve Q(1) = 3 − 1 + 5 = 7. Katsayılar toplamı (−2) · 7 = −14'tür. Cevap: B.

Örnek 3 — Tek terimin katsayısı

Soru: (x² − 3x + 2)(2x³ + x² − 4x + 1) çarpımında x³ teriminin katsayısı kaçtır?

• A) 4
• B) −13
• C) 1
• D) 7
• E) −3

Çözüm: Üsleri toplamı 3 olan çiftler: x² · (−4x) = −4x³, (−3x) · x² = −3x³, 2 · 2x³ = 4x³. Toplam −4 − 3 + 4 = −3. Cevap: E.

Örnek 4 — Bileşkede sabit terim

Soru: P(x) = 2x² − x + 3 ve Q(x) = x + 2 veriliyor. P(Q(x)) − Q(P(x)) farkı açıldığında x içermeyen terim ne olur?

• A) 4
• B) 9
• C) −8
• D) 13
• E) 6

Çözüm: Aranan sayı farkın x = 0'daki değeridir. P(Q(0)) = P(2) = 8 − 2 + 3 = 9 ve Q(P(0)) = Q(3) = 5. Fark 9 − 5 = 4. Açık hesap da aynı sonucu verir: P(Q(x)) = 2x² + 7x + 9, Q(P(x)) = 2x² − x + 5, fark 8x + 4. Cevap: A.

• Toplamın derecesini her zaman büyük dereceye eşit saymak. Dereceler eşitse baş katsayılar sadeleşebilir; der(P ± Q) yalnız «en çok» büyük derecedir.
• Bileşkenin derecesini çarpımınki gibi toplamak. P(x) · Q(x) için dereceler toplanır, P(Q(x)) için çarpılır; üçüncü dereceden P ile ikinci dereceden Q'nun bileşkesi beşinci değil altıncı derecedendir.
• Çıkarmada eksiyi yalnız ilk terime dağıtmak. −(…) parantezinin içindeki her terim işaret değiştirir.
• Bileşkede x = 1'i doğrudan dış polinoma yazmak. P(Q(x))'in katsayıları toplanırken P(1) değil, Q(1) hangi sayıysa P'nin o sayıdaki değeri hesaplanır.
• Tek katsayı ararken bir çifti atlamak. Üsler toplamı istenen sayıyı veren bütün çiftler, en yüksek üsten başlanarak sırayla taranmalıdır.