Polinom kavramı

Levent'in deneme kitapçığındaki soru kısaydı: P(x + 2) = x² + 5x + 3 olduğuna göre P(x) polinomunun katsayılar toplamı kaçtır? Levent hiç duraksamadan x yerine 1 yazdı, 1 + 5 + 3 = 9 buldu ve işaretledi. Cevap anahtarında −1 yazıyordu. Ertesi gün Nesrin ona hatayı tek satırda gösterdi: x = 1 koyunca elde edilen değer P(1) değil P(3)'tür, çünkü parantezin içi 1 + 2 = 3 olur. Katsayılar toplamı P(1) olduğuna göre parantezin içini 1 yapan x seçilmelidir; x + 2 = 1'den x = −1 çıkar ve 1 − 5 + 3 = −1 bulunur. Levent'in eksiği hesap değildi; «katsayılar toplamı» ile «x = 1 yazmak» arasındaki bağın neden kurulduğunu bilmiyordu. Bu derste o bağı ve polinomu tanımlayan bütün kavramları kuruyoruz.

• Bir ifadenin polinom olup olmadığını üslerin doğal sayı olmasına ve değişkenin paydada ya da kök içinde bulunmamasına bakarak ayırt edersin.
• Bir polinomun derecesini, baş katsayısını ve sabit terimini belirler, polinom eşitliğinden ve polinom olma koşulundan parametre bulursun.
• Katsayılar toplamını P(1), sabit terimi P(0), çift ve tek dereceli terimlerin katsayı toplamlarını P(1) ile P(−1) üzerinden hesaplarsın.
• Polinom P(x + a) biçiminde verildiğinde istenen değeri veren x sayısını parantezin içinden belirlersin.

Polinom nedir?

TYT'deki «Ortak paranteze alma ve gruplama», «Küp açılımları» ve «Üç terimli ifadelerin çarpanları» derslerinde x² − 5x + 6 ya da x³ + 8 gibi ifadelerle çalıştık. AYT bu ifadelere bir ad verir ve onları kendi başına incelenen nesneler hâline getirir. n bir doğal sayı ve a₀, a₁, …, aₙ reel sayılar olmak üzere

P(x) = aₙxⁿ + aₙ₋₁xⁿ⁻¹ + … + a₂x² + a₁x + a₀

biçimindeki ifadeye x değişkenine bağlı polinom (polynomial) denir. Tanımın iki şartı vardır: x'in her kuvveti 0, 1, 2, 3 gibi bir doğal sayıdır ve x'in yanındaki sayılar reeldir. 3x⁴ − 2x² + x − 7 bu şartları sağlar. Katsayıların tam sayı olması gerekmez: √2 · x³ + x/5 − π de bir polinomdur, çünkü √2, 1/5 ve π birer reel sayıdır.

Polinom olmayan ifadeler

Şartı bozan şey her zaman x'in kendisidir. 1/x² ifadesi x⁻² olarak yazılır ve üs negatif olduğu için polinom değildir; aynı nedenle x paydada bulunan x + 3/x de polinom sayılmaz. √x aslında x^(1/2), ∛x ise x^(1/3) demektir; ikisi de kesirli üs taşır, bu yüzden x³ − √x polinom değildir. Ayırt etmenin kısa yolu şudur: kök ya da kesir çizgisi bir sayının üzerindeyse sorun yoktur, x'in üzerindeyse ifade polinom olmaktan çıkar. √5 · x² polinomdur, √(5x²) ise genel olarak |x| · √5'e eşittir ve polinom değildir.

Polinom olma koşulundan parametre

Üssün içinde bir parametre varsa koşul tersine işletilir: her üs bir doğal sayı olmalıdır. P(x) = x^(6/n) + 4x^(n − 1) + 2 ifadesinin polinom olduğu n doğal sayılarını arayalım. 6/n'nin doğal sayı olması için n, 6'nın pozitif böleni olmalıdır: 1, 2, 3 ya da 6. Ayrıca n − 1 ≥ 0 gerekir; bu dört değerin hepsi bu şartı sağlar. Dolayısıyla dört n değeri vardır. n = 0 baştan elenir, çünkü 6/0 tanımsızdır. Bu tür sorularda iki şartı ayrı ayrı yazıp kesişimlerini almak, birini gözden kaçırmayı önler.

Terim, katsayı ve derece

Polinomu oluşturan aₖxᵏ parçalarının her birine terim, aₖ sayısına o terimin katsayısı denir. Katsayısı sıfırdan farklı terimler içinde x'in en büyük kuvvetine polinomun derecesi denir ve der[P(x)] ile gösterilir. Derecesi belirleyen terimin katsayısına baş katsayı, x içermeyen a₀ terimine de sabit terim adı verilir.

Terimlerin yazılış sırası bu kavramları değiştirmez. P(x) = 5 − 2x³ + 4x⁵ − x polinomunda en büyük kuvvet x⁵ olduğundan derece 5, baş katsayı 4'tür; sabit terim 5'tir. Baş katsayı en başta yazılan sayı değil, en büyük kuvvetin önündeki sayıdır. Katsayısı parametre içeren bir terim, parametre onu sıfırlarsa polinomdan düşer. (m − 2)x³ + 4x² − 1 ifadesinin ikinci dereceden olması isteniyorsa x³'ün katsayısı sıfır olmalıdır: m = 2. x²'nin katsayısı 4 olduğu için derece gerçekten 2'ye iner.

Sabit polinom ve sıfır polinomu

P(x) = 7 gibi yalnız bir sayıdan oluşan polinoma sabit polinom denir. 7 = 7x⁰ diye düşünüldüğünde derecesi 0 olur. Bütün katsayıları sıfır olan P(x) = 0 polinomu ise ayrı tutulur: hiçbir terimin katsayısı sıfırdan farklı olmadığı için derecesi tanımsızdır. Bu ayrım soru köklerinde «sabit polinom» ile «sıfır polinomu» arasındaki farkı belirler. P(x) = (a − 3)x² + (b + 1)x + c − 2 sıfır polinomuysa her katsayı ayrı ayrı sıfıra eşitlenir; a = 3, b = −1, c = 2 bulunur. Aynı ifade yalnız sabit polinom olsaydı ilk iki katsayı sıfırlanır, c ise 2'den farklı da olabilirdi.

Polinom eşitliği

İki polinomun her x için aynı değeri vermesi, aynı dereceli terimlerinin katsayılarının tek tek eşit olmasıyla mümkündür. (a − 1)x² + 3x + b = 4x² + (c + 1)x − 5 eşitliğinde x²'lerden a − 1 = 4, x'lerden 3 = c + 1, sabitlerden b = −5 yazılır; a = 5, c = 2, b = −5 çıkar. Bir tarafta hiç görünmeyen kuvvetin katsayısı sıfırdır. Taraflardan biri parantezli verilmişse önce açılır: (x − 2)(x + k) = x² + mx − 6 eşitliğinde sol taraf x² + (k − 2)x − 2k olur, −2k = −6'dan k = 3 ve m = k − 2 = 1 bulunur. Çarpımın ayrıntısı bir sonraki dersin işidir; burada yalnız karşılaştırma ilkesini kullanıyoruz.

Bir polinomun değeri

P(a), polinomda x yerine a yazılınca elde edilen sayıdır. P(x) = 2x³ − x + 4 için P(−2) = 2 · (−8) + 2 + 4 = −10 olur. Negatif bir sayı yerine konurken her kuvvet parantezle yazılmalıdır; (−2)³ = −8 ama (−2)² = 4'tür.

Katsayılar toplamı ve sabit terim

«Binom açılımı» dersinde (x + y)ⁿ biçimli ifadelerde x = 1 konunca katsayıların toplandığını, x = 0 konunca yalnız sabit terimin kaldığını görmüştük. Bu iki kural her polinomda geçerlidir ve nedeni tanımın kendisindedir. x = 1 yazıldığında her xᵏ kuvveti 1 olur, geriye aₙ + … + a₁ + a₀ kalır; demek ki katsayılar toplamı P(1)'dir. x = 0 yazıldığında x'li bütün terimler yok olur, geriye a₀ kalır; yani sabit terim P(0)'dır. P(x) = (2x − 1)³ + (x + 3)² polinomunu açmadan katsayılar toplamını 1 + 16 = 17, sabit terimini −1 + 9 = 8 diye buluruz.

Çift ve tek dereceli terimlerin katsayıları

x = −1 yazıldığında çift kuvvetler 1, tek kuvvetler −1 olur. Bu yüzden P(−1) = a₀ − a₁ + a₂ − a₃ + … biçimindedir. P(1) ile P(−1) toplanınca tek dereceli katsayılar birbirini götürür, çift derecelilerin iki katı kalır; çıkarılınca bu kez çiftler gider. Sonuç:

• çift dereceli terimlerin katsayıları toplamı = (P(1) + P(−1))/2,
• tek dereceli terimlerin katsayıları toplamı = (P(1) − P(−1))/2.

Sabit terim x⁰'lı terim olduğu için çift tarafa girer. Bir polinomu çift kuvvetlerden oluşan parça ile tek kuvvetlerden oluşan parçanın toplamı olarak yazmayı «Tek ve çift fonksiyonlar» konusu göstermişti; bu iki formül, o parçaların katsayı toplamlarını açılım yapmadan verir. P(x) = (x² − 2x + 3)³ için P(1) = 8 ve P(−1) = 6³ = 216'dır. Çift derecelilerin katsayı toplamı (8 + 216)/2 = 112, tek derecelilerinki (8 − 216)/2 = −104 olur. İki sonucun toplamı yine P(1) = 8'i vermelidir; bu, hesabı denetlemenin ucuz bir yoludur.

İçi değiştirilmiş polinom

Levent'in sorusunda polinom P(x) olarak değil, P(x + 2) olarak verilmişti. Böyle bir ifadede parantezin içi neyse P o sayıda hesaplanmış olur. P(x)'in katsayılar toplamı P(1) olduğundan parantezin içini 1 yapan x seçilir; sabit terim P(0) olduğundan da içi 0 yapan x seçilir. P(2x − 1) verilmişse P(1) için 2x − 1 = 1 ve x = 1, P(0) için x = 1/2 yazılır.

Soru ters yönden de gelebilir: P(x) bilinir, P(x + a) polinomunun katsayılar toplamı ya da sabit terimi istenir. P(x + a)'nın kendisi bir polinomdur ve onda x = 1 yazmak P(1 + a)'yı, x = 0 yazmak P(a)'yı verir. P(x) = x² − 3x + 5 ise P(x + 2) polinomunun katsayılar toplamı P(3) = 5, sabit terimi P(2) = 3'tür. Açılarak da görülebilir: P(x + 2) = x² + x + 3. «Grafik dönüşümleri: öteleme ve yansıma» dersindeki f(x + a) yazımıyla aynı işlem burada cebirsel hesap için kullanılıyor.

Modülün geri kalanı

Polinomun tanımı ve tek tek değerleri burada kuruldu. Modülün ilerleyen derslerinde polinomlar bölünecek, kalan teoremiyle P(a) değerinin bölmedeki kalanla ilişkisi kurulacak; ardından çarpanlara ayırma ve köklere geçilecek. Sıradaki ders ise «Polinomlarda işlemler»: iki polinom toplanıp çıkarıldığında ya da çarpıldığında ortaya çıkan polinomun derecesi nasıl belirlenir, toplamda baş katsayılar birbirini götürürse derece neden düşer, P(x) · Q(x)'in derecesi neden der[P(x)] + der[Q(x)] olur?

Örnek 1 — Polinom olma koşulu

Soru: P(x) = 3x^(12/n) − x^(n − 2) + 5 ifadesini polinom yapan kaç farklı n doğal sayısı vardır?

• A) 6
• B) 27
• C) 5
• D) 4
• E) 1

Çözüm: 12/n doğal sayı olmalı; n, 12'nin pozitif bölenlerinden biridir: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Ayrıca n − 2 ≥ 0 gerekir, bu da n = 1'i eler. Geriye 2, 3, 4, 6, 12 kalır. n = 2 için ikinci terim x⁰ = 1 olur ve ifade yine polinomdur. 6 cevabı ikinci şartı unutmaktan, 4 cevabı n − 2 > 0 diye kesin eşitsizlik yazmaktan gelir; 27 ise değerlerin sayısı yerine toplamlarıdır. Cevap: C.

Örnek 2 — Polinom eşitliği

Soru: (a − 2)x³ + (a + b)x² + (b − c)x + 6 = 4x² − x + 6 eşitliği her x için sağlandığına göre a + b + c toplamı kaçtır?

• A) 11
• B) 7
• C) 1
• D) 9
• E) −3

Çözüm: Sağ tarafta x³ yoktur, katsayısı 0'dır: a − 2 = 0, a = 2. x²'lerden a + b = 4, b = 2. x'lerden b − c = −1, c = 3. Toplam 2 + 2 + 3 = 7. c'yi −1 − b diye işaret hatasıyla bulan 1'e ulaşır. Cevap: B.

Örnek 3 — Tek dereceli terimler

Soru: P(x) = (x² + x − 3)⁴ polinomunda tek dereceli terimlerin katsayılarının toplamı kaçtır?

• A) 40
• B) −41
• C) 41
• D) −40
• E) 80

Çözüm: P(1) = (1 + 1 − 3)⁴ = 1 ve P(−1) = (1 − 1 − 3)⁴ = 81. Tek derecelilerin toplamı (1 − 81)/2 = −40'tır. Çift derecelilerin toplamı (1 + 81)/2 = 41 olur; iki sonucun toplamı P(1) = 1'i verir. 41, sorulanın tersini hesaplamaktır; 40 ise farkı ters sırayla almaktan doğar. Cevap: D.

Örnek 4 — İçi değiştirilmiş polinom

Soru: P(2x − 1) = 4x² + 2x + k ve P(x) polinomunun sabit terimi 7'dir. P(x)'in katsayılar toplamı kaçtır?

• A) 13
• B) 9
• C) 7
• D) 5
• E) 11

Çözüm: Sabit terim P(0)'dır; 2x − 1 = 0'dan x = 1/2 yazılır: 1 + 1 + k = 7, k = 5. Katsayılar toplamı P(1)'dir; 2x − 1 = 1'den x = 1: 4 + 2 + 5 = 11. Sabit terimi bulmak için x = 0 yazan öğrenci k = 7 bulur ve 13'e varır. Gerçekten de P(x) = x² + 3x + 7 olup P(1) = 11'dir. Cevap: E.

• Kökü ya da kesri katsayıda görünce ifadeyi polinom dışı saymak. √3 · x² ve x/4 polinom terimleridir; kural yalnız x'in üssüne bakar.
• Baş katsayıyı en başta yazılan sayı sanmak. Baş katsayı, en büyük dereceli terimin katsayısıdır; terimler karışık sırada verilebilir.
• Sıfır polinomuna 0 derecesini vermek. P(x) = 0'ın derecesi tanımsızdır; derecesi 0 olan, sıfırdan farklı sabit polinomdur.
• P(x + a) verilince katsayılar toplamı için x = 1 yazmak. Bu P(1 + a)'yı verir; P(1) için parantezin içi 1 yapılmalıdır.
• Çift dereceli toplamda sabit terimi unutmak. Sabit terim x⁰'ın katsayısıdır ve (P(1) + P(−1))/2 toplamına dahildir.