Permütasyon

Bir kitaplığın rafına üç farklı kitap dizilecek: bir roman, bir şiir kitabı ve bir sözlük. Birinci yere üç kitaptan herhangi biri konabilir. Birinci yer dolunca ikinci yer için iki kitap kalır, üçüncü yer için tek kitap. Çarpma kuralına göre 3 · 2 · 1 = 6 farklı diziliş vardır. Kitap sayısı arttıkça bu çarpım hızla büyür: on kitap için 3.628.800 farklı diziliş çıkar ve hepsini tek tek yazmak bir ömür alır. Böyle "azalan çarpımlar" sayma problemlerinde o kadar sık karşımıza çıkar ki kendilerine ait bir gösterimleri vardır. Bir önceki derste toplama ve çarpma kurallarını gördük. Bu derste nesnelerin sıralanmasını, yani permütasyonu işliyoruz: faktöriyel gösterimini, n nesneden r tanesinin sıralanmasını, belirli nesnelerin yan yana olduğu ya da olmadığı sıralamaları ve belirli konumlara yerleşen nesneleri.

• n! gösterimini kullanır, faktöriyelli ifadeleri sadeleştirirsin.
• n farklı nesneden r tanesinin sıralanma sayısını P(n, r) = n!/(n − r)! ile bulursun.
• Yan yana olması istenen nesneleri tek blok sayarak, yan yana olmaması istenenleri tümleyenle sayarsın.
• Belirli konumlara yerleşmesi istenen nesneleri önce yerleştirip kalanları sıralarsın.

Faktöriyel

1'den n'ye kadar olan doğal sayıların çarpımına n faktöriyel denir ve n! ile gösterilir: n! = n · (n − 1) · … · 2 · 1. Örneğin 3! = 6 ve 4! = 24'tür. Tanım gereği 0! = 1 kabul edilir. Bu kabul ilk bakışta garip görünür, ama hiç nesne olmayan bir rafın tek bir dizilişi, boş diziliş, olduğunu düşünürsek anlam kazanır; ayrıca formüllerin her durumda çalışmasını sağlar.

Faktöriyelli ifadeler genellikle açılmadan sadeleştirilir. n! = n · (n − 1)! eşitliği temel araçtır. 9!/7! ifadesinde 9! = 9 · 8 · 7! yazılır ve 7!'ler sadeleşir: sonuç 72'dir. Büyük faktöriyelleri hesaplamaya çalışmak yerine küçük olanı içinde bulup sadeleştirmek hem hızlı hem güvenlidir.

n nesnenin sıralanması

n farklı nesne bir sıraya dizilirken birinci yere n, ikinci yere n − 1, son yere 1 seçenek kalır. Çarpma kuralı bu seçenekleri çarpar ve n! sonucunu verir. Kancadaki üç kitap 3! = 6 biçimde dizilir. Burada nesnelerin farklı olması önemlidir; aynı nesneler bulunuyorsa dizilişler birbirinin tekrarı olur ve sayım değişir. Bu durum bir sonraki dersin konusudur.

r nesnenin sıralanması

n farklı nesneden yalnızca r tanesi seçilip sıralanacaksa çarpım r adım sonra durur: n · (n − 1) · … · (n − r + 1). Bu sayıya n'nin r'li permütasyonu denir ve P(n, r) ile gösterilir. Faktöriyelle yazılınca P(n, r) = n!/(n − r)! olur. 5 kişiden bir başkan ve bir yardımcı seçmenin P(5, 2) = 5 · 4 = 20 yolu vardır. Görevler farklı olduğu için sıra önemlidir: Ali başkan, Veli yardımcı olduğunda oluşan durum, tersinden farklıdır.

P(n, n) = n! ve P(n, 1) = n'dir. P(n, r) içeren denklemlerde ifade çarpım biçiminde yazılır ve ardışık sayıların çarpımı tanınarak n bulunur.

Yan yana olma

Belirli nesnelerin yan yana olması isteniyorsa bu nesneler tek bir blok gibi düşünülür. Blok ile diğer nesneler sıralanır, ardından bloğun içindeki nesneler kendi aralarında sıralanır. 4 kişiden Ali ile Bora'nın yan yana olduğu dizilişleri saymak için bu ikili bir blok sayılır; blok ve kalan iki kişi 3! biçimde, blok içi 2! biçimde dizilir. Sonuç 3! · 2! = 12'dir. Bloğun içindeki sıralamayı unutmak, bu tür sorulardaki en yaygın hatadır. Blokta üç ya da daha çok nesne varsa iç sıralama da 3!, 4! gibi büyür ve sonucu belirgin biçimde değiştirir.

Yan yana olmama

Belirli iki nesnenin yan yana olmaması isteniyorsa tümleyen kullanılır: tüm dizilişlerden yan yana oldukları dizilişler çıkarılır. Az önceki örnekte 4! = 24 dizilişin 12'sinde Ali ile Bora yan yanadır; yan yana olmadıkları dizilişler 24 − 12 = 12'dir. Daha fazla nesnenin hiçbirinin yan yana gelmemesi istendiğinde ise diğer nesneler önce dizilip aralarındaki boşluklara yerleştirme yapılır; bu yöntem ileride kombinasyonla birlikte ele alınacaktır.

Belirli konumlar

Bir nesnenin belirli bir yerde olması isteniyorsa önce o nesne yerine konur, sonra kalan nesneler kalan yerlere dizilir. 5 kişilik bir sırada belirli bir kişinin en başta durduğu dizilişler 4! = 24'tür. İki kişi arasında belirli sayıda kişi olması isteniyorsa aradaki kişiler seçilip iki kişiyle birlikte bir blok oluşturulur; blok içi ve dışı ayrı ayrı sayılır.

Faktöriyelin hızlı büyümesi

Faktöriyel, sayma problemlerinde karşılaşılan en hızlı büyüyen ifadedir. 5! = 120 iken 10! üç buçuk milyonu geçer, 13! ise altı milyarı aşar. Bu büyüme, sınav sorularında sonuçların neden çoğu zaman faktöriyel ya da permütasyon gösterimiyle bırakıldığını açıklar: seçeneklerde 8! · 2! gibi yazımlar görmek olağandır ve bu durumda çarpımı hesaplamaya gerek yoktur. Seçenekler hesaplanmış sayılarla verildiğinde ise sonucu küçük faktöriyellerin çarpımı olarak bulup en sonda çarpmak, ara adımlarda büyük sayılarla uğraşmayı önler.

Sıra önemli mi?

Bir sayma problemine başlamadan önce sorulması gereken soru, seçilen nesnelerin sırasının sonucu değiştirip değiştirmediğidir. Bir yarışmada birinci, ikinci ve üçüncünün belirlenmesinde sıra önemlidir; aynı üç kişinin farklı sıralanışları farklı sonuçlardır ve permütasyon kullanılır. Bir takıma üç oyuncu seçilmesinde ise sıra önemli değildir; aynı üç kişi hangi sırayla seçilirse seçilsin aynı takımı oluşturur. Bu ikinci tür seçimler kombinasyon konusudur ve ileride ele alınacaktır. Görevlerin farklı olması, koltukların numaralı olması ya da bir sıranın kurulması, sıranın önemli olduğunun işaretleridir.

Kısıtların sırası

Birden fazla kısıt içeren sıralama sorularında kısıtlar bir düzen içinde uygulanır. Önce belirli konumlara yerleşmesi gereken nesneler yerleştirilir, sonra blok oluşturulması gereken gruplar tek nesne gibi düşünülür, en son kalan nesneler sıralanır. Bloklar kendi içlerinde ayrıca sıralanır ve bu sayılar çarpılır. Bir kısıt "olmamalı" biçimindeyse, örneğin iki nesnenin yan yana gelmemesi isteniyorsa, tümleyenle çalışmak çoğu zaman daha kısadır.

Soru kökleri

Bu dersin problemleri faktöriyelli ifadelerin değerini, faktöriyel ve permütasyon içeren denklemlerde n'yi, nesnelerin sıralanma sayısını, n nesneden r tanesinin seçilip sıralanmasını, yan yana olan ve olmayan dizilişleri, belirli konumlara yerleşen nesneleri ve gruplar halinde sıralamayı ister.

Örnek 1 — Faktöriyel sadeleştirme

Soru: 10!/8! ifadesinin değeri kaçtır?

• A) 80
• B) 2
• C) 90
• D) 45
• E) 100

Çözüm: 10! = 10 · 9 · 8! yazılır; 8!'ler sadeleşince 10 · 9 = 90 kalır. Cevap: C.

Örnek 2 — Seçip sıralamak

Soru: 7 kişilik bir kulüpte başkan, yardımcı ve sayman kaç farklı biçimde seçilebilir?

• A) 35
• B) 210
• C) 343
• D) 21
• E) 5040

Çözüm: Görevler farklı olduğundan sıra önemlidir: P(7, 3) = 7 · 6 · 5 = 210. Cevap: B.

Örnek 3 — Yan yana

Soru: Ali, Bora, Cem ve Deniz bir sıraya dizilecektir. Ali ile Bora'nın yan yana olduğu kaç diziliş vardır?

• A) 10
• B) 24
• C) 20
• D) 12
• E) 16

Çözüm: Ali ile Bora tek blok sayılır: 3! · 2! = 12. Cevap: D.

Örnek 4 — Permütasyon denklemi

Soru: n!/(n − 2)! = 30 olduğuna göre n kaçtır?

• A) 5
• B) 15
• C) 36
• D) 7
• E) 6

Çözüm: İfade n(n − 1)'e eşittir; 6 · 5 = 30 olduğundan n = 6. Cevap: E.

• 0!'ı 0 sanmak. 0! = 1'dir.
• Faktöriyelleri açarak hesaplamaya çalışmak. Küçük faktöriyeli büyüğün içinde bul ve sadeleştir.
• Blok içindeki sıralamayı unutmak. Yan yana olan k nesne kendi aralarında k! biçimde dizilir.
• Görevleri farklı olan seçimlerde sırayı yok saymak. Başkan-yardımcı seçimi bir permütasyondur.
• "Yan yana değil" sorusunu doğrudan saymaya çalışmak. Tümünden yan yana olanları çıkar.