İçeriğe geç
← OkulYKS Akademileri

YKS Matematik · Permütasyon, Kombinasyon, Olasılık, İstatistik · MAT-M11-L01

Sayma: toplama ve çarpma kuralı

TYTsınavdaki ağırlığı orta· 8 bölüm

1Kanca

Bir okul kantininde öğle menüsü iki adımda seçiliyor: önce üç ana yemekten biri, sonra iki içecekten biri. Kaç farklı menü oluşur? Her ana yemeğin yanına iki içecekten biri gelebildiği için üç ana yemek iki seçenekle çoğalır: 3 · 2 = 6 menü. Aynı kantinde bir öğrenci tatlı yerine meyve de alabiliyor ve dört tatlıyla üç meyve arasından yalnızca birini seçiyorsa seçenek sayısı 4 + 3 = 7'dir. Birinci durumda iki seçim birlikte yapılıyor ve sayılar çarpılıyor. İkinci durumda seçeneklerden yalnızca biri seçiliyor ve sayılar toplanıyor. Bu iki basit kural, sayma problemlerinin tamamının temelidir. Bu ünitede permütasyon, kombinasyon, olasılık ve istatistiği işleyeceğiz; hepsi bu iki kuralın üzerine kurulur. Kümeler ünitesinde alt küme sayısını 2ⁿ ve fonksiyon sayısını s(B)^s(A) olarak bulurken de aslında çarpma kuralını kullanmıştık. Bu derste iki kuralı açıkça tanımlıyor, rakam problemlerine, yol problemlerine ve "en az bir" sorularına uyguluyoruz.

2Hedefler

  • Birbirini dışlayan seçenekler arasından seçim yapılırken toplama kuralını kullanırsın.
  • Art arda yapılan bağımsız seçimlerde çarpma kuralını kullanırsın.
  • Rakam problemlerinde sıfırın başa gelememesini ve rakamların farklı olma koşulunu doğru sırayla uygularsın.
  • "En az bir" içeren sayma sorularını tümünden hiç içermeyenleri çıkararak çözersin.

3Konu anlatımı

Toplama kuralı

Bir iş birbirini dışlayan farklı yollardan biriyle yapılabiliyorsa toplam yol sayısı, her yoldaki seçenek sayılarının toplamıdır. Bir şehre 4 otobüs ve 3 tren seferiyle gidilebiliyorsa, bu seferlerden birini seçmenin 4 + 3 = 7 yolu vardır. Kuralın şartı, seçeneklerin ortak elemanı olmamasıdır; bir sefer hem otobüs hem tren olamaz. Ortak seçenekler varsa kümeler ünitesindeki birleşim formülü kullanılır ve ortak olanlar bir kez çıkarılır.

Toplama kuralı, sayma problemlerini durumlara ayırırken de kullanılır. Bir koşul birkaç farklı biçimde sağlanabiliyorsa her durum ayrı sayılır ve sonuçlar toplanır. Durumların birbirini dışlaması, aynı sonucun iki kez sayılmamasını garanti eder.

Çarpma kuralı

Bir iş art arda yapılan adımlardan oluşuyorsa ve birinci adımda m, ikinci adımda n seçenek varsa, işin yapılabileceği yol sayısı m · n'dir. 3 gömlek ve 2 pantolondan bir takım seçmenin 3 · 2 = 6 yolu vardır, çünkü her gömleğin yanına iki pantolondan biri gelebilir. Adım sayısı arttıkça çarpım da uzar: 3 gömlek, 2 pantolon ve 4 ayakkabı için 24 takım vardır.

Çarpma kuralının şartı, bir adımdaki seçenek sayısının önceki adımda neyin seçildiğine bağlı olmamasıdır. Seçeneklerin kendisi değişebilir ama sayıları değişmemelidir. Rakamları farklı sayılar yazılırken ikinci basamak için kalan rakamlar birinci basamakta neyin seçildiğine göre değişir; ama kaç rakam kaldığı her durumda aynıdır ve kural yine uygulanır.

Yol problemleri

Şehirler arasındaki yollar çarpma ve toplama kurallarının en açık örneğidir. A'dan B'ye 2, B'den C'ye 5 yol varsa A'dan B üzerinden C'ye 2 · 5 = 10 yol vardır. A'dan C'ye doğrudan giden yollar da varsa bunlar ayrı bir durumdur ve toplama kuralıyla eklenir. Gidiş-dönüş sorularında dönüş için kullanılabilecek yol sayısı sorudaki koşula bağlıdır: aynı yol kullanılamıyorsa dönüşte bir seçenek eksilir.

Rakam problemleri

Belirli rakamlarla sayı yazma soruları çarpma kuralının en sık sınanan uygulamasıdır. Bu sorularda üç koşul belirleyicidir. Birincisi, sayının ilk basamağı 0 olamaz. İkincisi, rakamların tekrar edip edemeyeceği soruda belirtilir. Üçüncüsü, sayının çift, tek ya da 5 ile bölünebilir olması gibi bir koşul son basamağı kısıtlar.

Kısıtlı basamaklar her zaman önce doldurulur. {1, 2, 3} rakamlarıyla tekrar serbestken iki basamaklı 3 · 3 = 9 sayı yazılır. {0, 1, 2, 3} rakamlarıyla rakamları farklı üç basamaklı sayı yazılırken önce ilk basamak doldurulur: 0 olamayacağı için 3 seçenek vardır. Kalan basamaklara kalan rakamlar dağıtılır: 3 ve 2 seçenek. Sonuç 3 · 3 · 2 = 18'dir.

Hem ilk basamak hem son basamak kısıtlıysa ve iki kısıt aynı rakamı ilgilendiriyorsa, en çok 0 ile, sorun durumlara ayrılarak çözülür. Rakamları farklı çift sayılar sayılırken son basamağın 0 olduğu durum ile 0 olmadığı durum ayrı sayılır, çünkü 0 son basamağa yerleştiğinde ilk basamak için seçenek sayısı değişir. Durumlar toplanır.

"En az bir" soruları

"En az bir rakamı tekrar eden", "içinde en az bir 7 bulunan" gibi koşulları doğrudan saymak çoğu zaman uzundur. Bunun yerine tümleyen sayılır: bütün durumlardan koşulu hiç sağlamayan durumlar çıkarılır. Üç haneli bir şifrede rakamlar 0–9 arasından tekrar serbestçe seçiliyorsa 1000 şifre vardır; rakamları tamamen farklı olanlar 10 · 9 · 8 = 720'dir. En az bir rakamı tekrar eden şifre sayısı 1000 − 720 = 280'dir.

Dağıtma problemleri

Farklı nesneler kutulara ya da kişilere dağıtılırken her nesne için ayrı bir seçim yapılır. 3 farklı top 4 kutuya istenildiği gibi atılabiliyorsa her topun 4 seçeneği vardır ve sonuç 4³ = 64'tür. Burada taban kutu sayısı, üs nesne sayısıdır; bu, fonksiyon sayısındaki s(B)^s(A) ile aynı yapıdır. Her kutunun en az bir nesne alması isteniyorsa boş kalan kutuların olduğu durumlar çıkarılır.

Ağaç diyagramı

Çarpma kuralının neden işlediğini görmenin en açık yolu bir ağaç diyagramı çizmektir. Kanca örneğinde kökten üç dal çıkar; her biri bir ana yemektir. Her dalın ucundan iki küçük dal daha çıkar; bunlar içeceklerdir. Yaprakların, yani dalların en uçtaki noktalarının sayısı, oluşabilecek menülerin sayısıdır ve 3 · 2 = 6'dır. Ağaç, küçük sayılarda bütün durumları tek tek göstererek sayımı denetlemeye yarar. Bir adımdaki seçenek sayısı önceki seçime göre değişiyorsa ağacın dalları eşit olmaz; bu durumda çarpma kuralı doğrudan uygulanamaz ve dallar ayrı ayrı sayılıp toplanır.

Hangi kural, ne zaman?

Bir sayma sorusunda ilk bakılacak şey, seçimlerin birlikte mi yoksa birbirinin yerine mi yapıldığıdır. "Ve" ile bağlanan, art arda yapılan seçimler çarpılır; "veya" ile bağlanan, birbirini dışlayan seçenekler toplanır. Soruda bir kısıt varsa önce o kısıtlı adım doldurulur. Kısıtlar birbirini etkiliyorsa sorun durumlara ayrılır ve her durum ayrı sayılıp toplanır. Koşul "en az bir" biçimindeyse tümleyen sayımı neredeyse her zaman daha kısadır.

Soru kökleri

Bu dersin problemleri seçim ve menü sayılarını, yol sayılarını, belirli rakamlarla yazılabilen sayıların sayısını, çift, tek ya da 5 ile bölünebilen sayıları, en az bir şartı taşıyan durumları ve farklı nesnelerin dağıtılma sayılarını ister.

4Çözümlü örnekler

Örnek 1 — Çarpma kuralı

Soru: Bir kahvaltı tabağı için 2 içecek ve 5 börek çeşidinden birer tane seçilecektir. Kaç farklı tabak hazırlanabilir?

  • A) 7
  • B) 52
  • C) 10
  • D) 16
  • E) 3

Çözüm: Her içeceğin yanına beş börekten biri gelir: 2 · 5 = 10. Cevap: C.

Örnek 2 — Rakamları farklı

Soru: {1, 2, 3, 4} rakamlarıyla rakamları farklı kaç tane üç basamaklı sayı yazılabilir?

  • A) 64
  • B) 24
  • C) 12
  • D) 81
  • E) 4

Çözüm: Basamaklar sırayla 4, 3 ve 2 seçenekle doldurulur: 4 · 3 · 2 = 24. Cevap: B.

Örnek 3 — Sıfırlı rakam kümesi

Soru: {0, 2, 3, 5, 7, 8} rakamlarıyla rakamları farklı kaç tane iki basamaklı sayı yazılabilir?

  • A) 30
  • B) 36
  • C) 20
  • D) 24
  • E) 25

Çözüm: İlk basamak 0 olamaz: 5 seçenek. İkinci basamağa kalan 5 rakamdan biri gelir: 5 · 5 = 25. Cevap: E.

Örnek 4 — Dağıtma

Soru: 3 farklı top 4 kutuya istenildiği gibi kaç farklı biçimde atılabilir?

  • A) 64
  • B) 81
  • C) 12
  • D) 7
  • E) 24

Çözüm: Her topun 4 seçeneği vardır: 4³ = 64. Cevap: A.

5Tuzaklar

  • Birlikte yapılan seçimleri toplamak. Art arda seçimler çarpılır.
  • İlk basamağa 0 koymak. Sayının ilk basamağı 0 olamaz.
  • Kısıtsız basamaklardan başlamak. Önce kısıtlı basamaklar doldurulur.
  • 0'ın çift olduğunu unutmak. Çift sayı sorularında 0 durumu ayrıca sayılır.
  • Dağıtmada üs ile tabanı değiştirmek. Nesne sayısı üs, kutu sayısı tabandır.

6Tekrar kartı

  • Ya o ya bu, ortak yok: topla.
  • Önce o, sonra bu: çarp.
  • Rakam problemi: kısıtlı basamaklar önce, ilk basamak 0 olamaz.
  • 0 hem başa hem sona ilişkinse durumlara ayır.
  • En az bir: tümü − hiç.
  • n farklı nesne, k kutu: kⁿ.

7Alıştırma

  1. Soru 1 · Kolay

    4 tişört ve 3 pantolondan birer tane seçilerek kaç farklı kıyafet oluşturulabileceğini bulunuz.

    1. A)12
    2. B)64
    3. C)81
    4. D)7
    5. E)9
    Önce çöz, sonra cevabı aç

    Cevap: A. Her tişörtün yanına üç pantolondan biri gelir: 4 · 3 = 12.

  2. Soru 2 · Kolay

    Bir rafta 6 roman ve 8 hikâye kitabı vardır. Bu kitaplardan yalnızca bir tane seçmenin kaç yolu olduğunu bulunuz.

    1. A)2
    2. B)48
    3. C)8
    4. D)16
    5. E)14
    Önce çöz, sonra cevabı aç

    Cevap: E. Seçim ya romandan ya hikâyeden yapılır: 6 + 8 = 14.

  3. Soru 3 · Kolay

    A'dan B'ye 5, B'den C'ye 4 farklı yol vardır. A'dan B'ye uğrayarak C'ye kaç farklı biçimde gidilebileceğini bulunuz.

    1. A)20
    2. B)9
    3. C)625
    4. D)1024
    5. E)25
    Önce çöz, sonra cevabı aç

    Cevap: A. İki adımın seçenekleri çarpılır: 5 · 4 = 20.

  4. Soru 4 · Kolay

    {2, 3, 5, 7, 9} rakamlarıyla tekrar serbestken kaç tane iki basamaklı sayı yazılabileceğini bulunuz.

    1. A)20
    2. B)25
    3. C)32
    4. D)10
    5. E)15
    Önce çöz, sonra cevabı aç

    Cevap: B. Her basamak için 5 seçenek vardır: 5 · 5 = 25.

  5. Soru 5 · Orta

    {0, 2, 4, 6, 8} rakamlarıyla rakamları farklı kaç tane üç basamaklı sayı yazılabileceğini bulunuz.

    1. A)60
    2. B)48
    3. C)64
    4. D)100
    5. E)24
    Önce çöz, sonra cevabı aç

    Cevap: B. İlk basamak 4, sonrakiler 4 ve 3 seçenekle dolar: 48.

  6. Soru 6 · Orta

    {1, 2, 3, 5, 7, 8} rakamlarıyla rakamları farklı kaç tane üç basamaklı çift sayı yazılabileceğini bulunuz.

    1. A)120
    2. B)60
    3. C)40
    4. D)72
    5. E)30
    Önce çöz, sonra cevabı aç

    Cevap: C. Son basamak 2 ya da 8 olmalıdır; kalan basamaklar 5 ve 4 seçenekle dolar: 2 · 5 · 4 = 40.

  7. Soru 7 · Orta

    Rakamları 0–9 arasından tekrar serbestçe seçilen dört haneli şifrelerden kaç tanesinde en az bir rakam tekrar ettiğini bulunuz.

    1. A)4960
    2. B)5040
    3. C)10000
    4. D)3024
    5. E)6976
    Önce çöz, sonra cevabı aç

    Cevap: A. Tüm şifreler 10000, rakamları farklı olanlar 10 · 9 · 8 · 7 = 5040'tır; fark 4960.

  8. Soru 8 · Orta

    A'dan B'ye 3, B'den C'ye 2 yol; A'dan C'ye ise doğrudan 4 yol vardır. A'dan C'ye kaç farklı biçimde gidilebileceğini bulunuz.

    1. A)24
    2. B)14
    3. C)12
    4. D)9
    5. E)10
    Önce çöz, sonra cevabı aç

    Cevap: E. B üzerinden 3 · 2 = 6, doğrudan 4 yol; toplam 10.

  9. Soru 9 · Orta

    A ile B arasında 4 farklı yol vardır. Gidişte kullanılan yol dönüşte kullanılmamak şartıyla kaç farklı gidiş-dönüş yapılabileceğini bulunuz.

    1. A)16
    2. B)6
    3. C)7
    4. D)12
    5. E)14
    Önce çöz, sonra cevabı aç

    Cevap: D. Gidiş 4, dönüş 3 seçenekle yapılır: 12.

  10. Soru 10 · Orta

    Üç basamaklı doğal sayılardan kaç tanesinin 5 ile bittiğini bulunuz.

    1. A)100
    2. B)81
    3. C)72
    4. D)180
    5. E)90
    Önce çöz, sonra cevabı aç

    Cevap: E. İlk basamak 9, ikinci basamak 10 seçenekli, son basamak sabittir: 90.

  11. Soru 11 · Orta

    Rakamları farklı iki basamaklı tek sayıların sayısını bulunuz.

    1. A)40
    2. B)45
    3. C)50
    4. D)36
    5. E)35
    Önce çöz, sonra cevabı aç

    Cevap: A. Son basamak 5 tek rakamdan biri, ilk basamak 0 ve son rakam dışındaki 8 rakamdan biridir: 40.

  12. Soru 12 · Zor

    {0, 1, 3, 4, 6, 7} rakamlarıyla rakamları farklı kaç tane üç basamaklı çift sayı yazılabileceğini bulunuz.

    1. A)60
    2. B)48
    3. C)40
    4. D)52
    5. E)72
    Önce çöz, sonra cevabı aç

    Cevap: D. Son basamak 0 ise 5 · 4 = 20; 4 ya da 6 ise 2 · 4 · 4 = 32; toplam 52.

  13. Soru 13 · Zor

    Rakamları birbirinden farklı üç basamaklı doğal sayıların sayısını bulunuz.

    1. A)648
    2. B)720
    3. C)900
    4. D)504
    5. E)729
    Önce çöz, sonra cevabı aç

    Cevap: A. İlk basamak 9, ikinci 9, üçüncü 8 seçenekle dolar: 648.

  14. Soru 14 · Zor

    5 farklı mektup 3 posta kutusuna istenildiği gibi kaç farklı biçimde atılabileceğini bulunuz.

    1. A)125
    2. B)15
    3. C)60
    4. D)8
    5. E)243
    Önce çöz, sonra cevabı aç

    Cevap: E. Her mektubun 3 seçeneği vardır: 3⁵ = 243.

  15. Soru 15 · Zor

    1000'den küçük pozitif tam sayılardan kaç tanesinin rakamları arasında en az bir 7 bulunduğunu bulunuz.

    1. A)271
    2. B)300
    3. C)729
    4. D)243
    5. E)280
    Önce çöz, sonra cevabı aç

    Cevap: A. 1–999 arasında 7 içermeyen sayılar 9³ − 1 = 728'dir; 999 − 728 = 271.

8Ustalık kapısı

5 soru, 5 dakika. 4 ya da 5 doğru yaptıysan sıradaki derse, «Permütasyon» dersine geç. 3 ve altındaysan 3. ve 4. bölümü yeniden oku, sonra kapıyı bir kez daha çöz.

  1. Soru 1 · Orta

    Bir menüde 3 çorba, 5 ana yemek ve 2 tatlı vardır. Her gruptan birer tane seçilerek kaç farklı menü oluşturulabileceğini bulunuz.

    1. A)10
    2. B)60
    3. C)15
    4. D)25
    5. E)30
    Önce çöz, sonra cevabı aç

    Cevap: E. Üç adımın seçenekleri çarpılır: 3 · 5 · 2 = 30.

  2. Soru 2 · Orta

    {2, 3, 4, 6, 7, 8, 9} rakamlarıyla rakamları farklı kaç tane iki basamaklı sayı yazılabileceğini bulunuz.

    1. A)49
    2. B)42
    3. C)21
    4. D)14
    5. E)36
    Önce çöz, sonra cevabı aç

    Cevap: B. İlk basamak 7, ikinci 6 seçenekle dolar: 42.

  3. Soru 3 · Zor

    {0, 1, 3, 5, 6, 8, 9} rakamlarıyla rakamları farklı kaç tane üç basamaklı ve 5 ile bölünebilen sayı yazılabileceğini bulunuz.

    1. A)60
    2. B)50
    3. C)55
    4. D)30
    5. E)25
    Önce çöz, sonra cevabı aç

    Cevap: C. Son basamak 0 ise 6 · 5 = 30; 5 ise 5 · 5 = 25; toplam 55.

  4. Soru 4 · Zor

    {1, 2, 4, 5, 7, 9} rakamlarıyla rakamları farklı ve 4000'den büyük kaç tane dört basamaklı sayı yazılabileceğini bulunuz.

    1. A)360
    2. B)240
    3. C)120
    4. D)300
    5. E)180
    Önce çöz, sonra cevabı aç

    Cevap: B. İlk basamak için uygun dört rakam vardır, kalan basamaklar 5, 4 ve 3 seçenekle dolar: 240.

  5. Soru 5 · Zor

    6 farklı oyuncak, her çocuk en az bir oyuncak almak şartıyla 2 çocuğa kaç farklı biçimde dağıtılabileceğini bulunuz.

    1. A)62
    2. B)64
    3. C)36
    4. D)12
    5. E)30
    Önce çöz, sonra cevabı aç

    Cevap: A. Tüm dağıtımlar 2⁶ = 64'tür; çocuklardan birinin hiç almadığı 2 durum çıkarılır.

M11 — Permütasyon, Kombinasyon, Olasılık, İstatistik

Modülün bütün dersleri bitince işaretle; modül 1, 3, 7 ve 21. günlerde YKS ana sayfasındaki tekrar listesine döner.