Mutlak değerli eşitsizlikler

Bir fabrikada üretilen vidaların boyu 50 milimetre olmalı, ama 0,3 milimetrelik bir sapmaya izin veriliyor. Hangi vidalar kalite kontrolden geçer? Vidanın boyu x ise x ile 50 arasındaki fark, hangi yönde olursa olsun, 0,3'ü aşmamalıdır: |x − 50| ≤ 0,3. Bu eşitsizlik "x, 50'ye en fazla 0,3 uzaklıktadır" demektir ve çözümü 49,7 ≤ x ≤ 50,3 aralığıdır. Mühendislikte "tolerans", istatistikte "hata payı" denen her şey aslında bir mutlak değerli eşitsizliktir. Önceki derste mutlak değerin bir sayıya eşit olduğu durumları çözdük. Bu derste uzaklığın bir sayıdan küçük ya da büyük olduğu durumları çözüyor, çözüm aralıklarını sayı doğrusunda okuyor ve bir aralığı mutlak değerli bir eşitsizlik olarak yazmayı öğreniyoruz.

• |x − m| < r ve |x − m| > r eşitsizliklerini uzaklık yorumuyla çözersin.
• Sağ taraf sıfır ya da negatif olduğunda çözüm kümesini doğrudan yazarsın.
• |ax + b| içeren ve iki taraflı mutlak değerli eşitsizliklerin tam sayı çözümlerini sayarsın.
• Verilen bir aralığı orta nokta ve yarı genişlikle |x − m| < n biçiminde yazarsın.

Küçüktür: içeride kalmak

|x − m| < r eşitsizliği "x ile m arasındaki mesafe r'den kısadır" demektir. r pozitifse x, m'nin r birim sağı ile r birim solu arasında kalmalıdır: m − r < x < m + r. |x − 4| < 3 için 1 < x < 7 bulunur. Çözüm, ortası m olan ve iki ucu m'den r birim uzakta duran tek bir aralıktır.

Cebirle de aynı sonuca varılır: |U| < r ise −r < U < r yazılır. Bu bir çift taraflı eşitsizliktir ve önceki derslerdeki gibi üç parçaya birden aynı işlem uygulanarak çözülür. |2x − 1| ≤ 7 için −7 ≤ 2x − 1 ≤ 7, yani −6 ≤ 2x ≤ 8 ve −3 ≤ x ≤ 4 bulunur.

Büyüktür: dışarıda kalmak

|x − m| > r ise x, m'den r birimden daha uzaktır; ya soldaki ucun ötesinde ya da sağdaki ucun ötesindedir. Çözüm iki parçalıdır: x, m − r'nin solunda ya da m + r'nin sağındadır. |x + 2| ≥ 5 için x, −2'den en az 5 birim uzakta olmalıdır: x ≤ −7 ya da x ≥ 3.

Cebirle: |U| > r ise U, r'den büyük ya da −r'den küçüktür. Bu iki parça tek bir çift taraflı eşitsizlik olarak birleştirilemez; "−r > U > r" gibi bir yazım anlamsızdır, çünkü bir sayı aynı anda −r'den küçük ve r'den büyük olamaz. Sınavda bu iki durumu karıştırmak en sık yapılan hatadır: küçüktür bir aralık verir, büyüktür iki parça verir.

Sağ taraf sıfır ya da negatifse

Mutlak değer hiçbir zaman negatif olmadığı için şu durumlar hesap yapmadan yazılır:

• |A| < negatif sayı: çözüm yoktur.
• |A| > negatif sayı: her gerçek sayı çözümdür.
• |A| ≥ 0: her gerçek sayı çözümdür.
• |A| ≤ 0: yalnızca A = 0 olan değerler çözümdür.
• |A| > 0: A = 0 olan değerler dışındaki her sayı çözümdür.

İki taraflı mutlak değer

2 ≤ |x − 1| < 5 gibi bir eşitsizlik, iki koşulun birlikte sağlanmasını ister. x'in 1'e uzaklığı en az 2, en fazla 5'ten azdır. Sayı doğrusunda 1'in iki yanında birer şerit oluşur: sağda 3 ≤ x < 6, solda −4 < x ≤ −1. Tam sayı çözümler −3, −2, −1, 3, 4 ve 5'tir. Bu tür sorularda iki şeridi ayrı ayrı yazıp sonra birleştirmek, bir tarafı unutma riskini ortadan kaldırır. Şeritlerin arasında, 1'e çok yakın olan noktalar ise çözüme girmez, çünkü onların uzaklığı 2'den kısadır.

Aralıktan mutlak değere

Ters yönde de çalışılabilir. −3 < x < 7 aralığının orta noktası (−3 + 7) ÷ 2 = 2, yarı genişliği (7 − (−3)) ÷ 2 = 5'tir. Aralık, "x'in 2'ye uzaklığı 5'ten azdır" diye yazılabilir: |x − 2| < 5. Uç noktalar aralığa dahilse ≤ kullanılır. Bu dönüşüm, bir aralığın mutlak değerli karşılığını soran sorularda doğrudan cevap verir.

Uzaklıklar toplamı

|x − 1| + |x − 5| < 6 gibi bir eşitsizlikte önceki dersteki yorum kullanılır. x, 1 ile 5 arasındaysa toplam tam 4'tür ve 6'dan küçüktür. Noktaların dışına taşındıkça toplam artar; toplamın tam 6 olduğu noktalar 0 ve 6'dır. Bu yüzden çözüm 0 < x < 6'dır. Toplam iki nokta arasındaki mesafeden küçük bir sayıyla sınırlanırsa çözüm yoktur.

Tam sayı çözümlerini saymak

Bir mutlak değerli eşitsizliğin aralığı belirlendiğinde, sınav genellikle o aralığa düşen tam sayıları ister. Uç nokta eşitsizliğe dahilse ve bir tam sayıysa listeye girer; dahil değilse dışarıda kalır. İki parçalı çözümlerde her parça ayrı sayılır. Ek bir sınır verilmişse (örneğin "0 ile 10 arasındaki tam sayılardan"), önce mutlak değerli eşitsizliğin çözümü yazılır, sonra bu sınırla kesişimi alınır.

Tolerans problemleri

Kancadaki vida örneği, sınavın sevdiği bir problem türüdür. Bir ölçümün hedef değeri ve izin verilen sapması verilir; kabul edilen değerler sorulur. Hedef değer m, izin verilen sapma r ise kabul aralığı |x − m| ≤ r eşitsizliğinin çözümüdür; m aralığın tam ortasında, uçlar ise m'den r birim uzaktadır. Ters soru da sorulabilir: bir makinenin ürettiği parçaların 18 ile 22 milimetre arasında olması isteniyorsa hedef değer 20, izin verilen sapma 2 milimetredir ve koşul |x − 20| ≤ 2 olarak yazılır. Termometre, terazi ya da hız göstergesi gibi bir aletin hata payı da aynı biçimde okunur: alet 36 derece gösteriyor ve hata payı 0,5 dereceyse gerçek değer 35,5 ile 36,5 arasındadır.

Bu tür sorularda dikkat edilecek nokta, sınırların dahil olup olmadığıdır. "En fazla", "aşmayacak biçimde" ifadeleri eşitliği içerir ve ≤ yazılır; "daha az", "altında" ifadeleri eşitliği dışarıda bırakır ve < yazılır. Sözel ifadeyi doğru sembole çevirmek, tam sayı sayılan sorularda sonucu bir birim değiştirebilir.

Soru kökleri

Bu derste karşılaşacağın sorular mutlak değerli bir eşitsizliğin çözüm aralığını ya da kümesini, çözümdeki tam sayıların sayısını, toplamını ya da sınırdakini ve bir aralığın mutlak değerli karşılığını ister. Her soruda önce eşitsizliğin "küçüktür" mü "büyüktür" mü olduğuna bak; birincisi tek aralık, ikincisi iki parça verir.

Örnek 1 — Küçüktür

Soru: |x − 3| < 2 eşitsizliğinin çözüm aralığı hangisidir?

• A) (−5, −1)
• B) (−2, 2)
• C) (1, 5)
• D) (3, 5)
• E) [1, 5]

Çözüm: x, 3'ten 2 birimden az uzaktadır: 1 < x < 5. Cevap: C.

Örnek 2 — Büyüktür

Soru: |x + 1| > 4 eşitsizliğinin çözüm kümesi hangisidir?

• A) −5 < x < 3
• B) Yalnız x < −5
• C) Yalnız x > 3
• D) x < −5 ya da x > 3
• E) x < −3 ya da x > 5

Çözüm: x, −1'den 4 birimden fazla uzaktadır; sola −5'in, sağa 3'ün ötesi. Cevap: D.

Örnek 3 — Tam sayı sayma

Soru: |2x − 3| ≤ 9 koşuluna uyan kaç tam sayı bulunur?

• A) 8
• B) 9
• C) 11
• D) 6
• E) 10

Çözüm: −9 ≤ 2x − 3 ≤ 9 ise −6 ≤ 2x ≤ 12 ve −3 ≤ x ≤ 6'dır; on tam sayı vardır. Cevap: E.

Örnek 4 — Aralıktan mutlak değere

Soru: 1 < x < 9 aralığı aşağıdaki eşitsizliklerden hangisiyle gösterilir?

• A) |x − 1| < 9
• B) |x − 5| < 4
• C) |x − 4| < 5
• D) |x + 5| < 4
• E) |x − 5| > 4

Çözüm: Orta nokta 5, yarı genişlik 4'tür: |x − 5| < 4. Cevap: B.

• Büyüktür eşitsizliğini tek aralık yazmak. |U| > r iki parça verir.
• Negatif sağ tarafta hesaba girmek. |U| < negatif ise çözüm yok, |U| > negatif ise her sayı çözüm.
• Çift taraflıda bir şeridi unutmak. 2 ≤ |x − 1| < 5 iki şerit verir.
• Uçları yanlış saymak. < ile ≤ arasındaki fark tam sayı sayısını değiştirir.
• Aralığı mutlak değere çevirirken orta noktayı yanlış almak. Orta nokta uçların ortalamasıdır.