Mutlak değerli denklemler

Sayı doğrusunda 3'e tam 5 birim uzaklıkta olan sayılar hangileridir? 3'ten sağa 5 adım atarsan 8'e, sola 5 adım atarsan −2'ye varırsın. İki cevap vardır, çünkü uzaklık yön bilmez. Bu soru, |x − 3| = 5 denkleminin sözle söylenmiş hâlidir ve çözümü de tam olarak budur: x = 8 ya da x = −2. Bir önceki derste mutlak değeri sayı doğrusunda uzaklık olarak okumayı öğrendik. Bu derste bu okumayı denklem çözmeye taşıyoruz: tek mutlak değerli denklemler, iki mutlak değerin eşit olduğu denklemler, sağ tarafında bilinmeyen bulunan denklemler ve iki mutlak değerin toplandığı denklemler. Her türde çözüm sayısının neden iki, bir ya da sıfır çıkabildiğini göreceğiz.

• |ax + b| = c biçimindeki denklemleri iki duruma ayırarak çözer, c'nin işaretine göre çözüm sayısını belirlersin.
• |A| = |B| biçimindeki denklemleri A = B ve A = −B olarak çözersin.
• Sağ tarafı bilinmeyen içeren denklemlerde bulunan kökleri denetleyerek gereksiz kökleri elersin.
• İki mutlak değerin toplamını içeren denklemleri sayı doğrusundaki uzaklık yorumuyla çözersin.

Temel biçim: |x − a| = b

Bu denklem "x'in a'ya uzaklığı b'dir" demektir. Üç durum vardır.

• b > 0 ise iki çözüm vardır: x = a + b ve x = a − b.
• b = 0 ise tek çözüm vardır: x = a.
• b < 0 ise çözüm yoktur, çünkü bir uzaklık negatif olamaz.

Bu üç durumu her soruda önce kontrol etmek, gereksiz hesabı ve en sık yapılan hatayı önler. |x + 2| = −3 gibi bir denklemi görünce cebire hiç girmeden çözüm kümesinin boş olduğunu yazabilirsin.

|ax + b| = c

Mutlak değerin içi bir sayıya ya da onun negatifine eşit olmalıdır: ax + b = c veya ax + b = −c. |2x + 1| = 7 için 2x + 1 = 7 ve 2x + 1 = −7 yazılır; x = 3 ve x = −4 bulunur. İçeride katsayı varsa uzaklık yorumu doğrudan çalışmaz, ama iki durumlu çözüm her zaman çalışır.

Denklem bir düzenleme gerektiriyorsa önce mutlak değeri tek başına bırak. 5|x| − 4 = 2|x| + 8 gibi bir denklemde |x|'i bir bilinmeyen gibi düşün: 3|x| = 12, yani |x| = 4 ve x = 4 ya da x = −4'tür.

İki mutlak değerin eşitliği: |A| = |B|

İki sayının mutlak değerleri eşitse sayılar ya birbirine eşittir ya da birbirinin negatifidir. Bu yüzden |A| = |B| denklemi iki denkleme ayrılır: A = B veya A = −B. |x − 2| = |2x + 1| için önce x − 2 = 2x + 1 yazılır ve x = −3 bulunur. Sonra x − 2 = −(2x + 1) yazılır; x − 2 = −2x − 1, 3x = 1 ve x = 1/3 elde edilir.

Bazen iki denklemden biri çözümsüz çıkar. |x + 7| = |x − 1| için x + 7 = x − 1 yazılınca 7 = −1 gibi yanlış bir eşitlik ortaya çıkar; bu durumdan çözüm gelmez. Öteki durum x + 7 = −x + 1 verir ve x = −3 tek çözümdür. Uzaklık yorumu da aynı sonucu verir: x'in −7'ye ve 1'e uzaklıkları eşitse x bu iki noktanın tam ortasındadır.

Sağ tarafta bilinmeyen varsa

|x − 4| = 2x − 1 gibi bir denklemde sağ taraf x'e bağlıdır ve negatif olabilir. Bir mutlak değer negatif bir sayıya eşit olamayacağı için bulunan her kökün sağ tarafı negatif yapmaması gerekir. Yine iki durum yazılır, ama sonunda her kök denenir.

x − 4 = 2x − 1 durumu x = −3 verir. Bu kökte sağ taraf 2 · (−3) − 1 = −7'dir ve negatiftir; kök elenir. x − 4 = −(2x − 1) durumu 3x = 5 ve x = 5/3 verir. Bu kökte sağ taraf 7/3'tür, pozitiftir ve kök kabul edilir. Çözüm kümesi yalnızca {5/3}'tür.

Bu denetim isteğe bağlı değildir. Sınavın çeldiricileri çoğu zaman elenmesi gereken bu kökü de içeren kümeyi seçenek olarak verir.

İki mutlak değerin toplamı

|x − 1| + |x − 5| = c denklemi, x'in 1'e ve 5'e uzaklıklarının toplamının c olduğunu söyler. 1 ile 5 arasındaki mesafe 4'tür. x bu iki nokta arasında kaldıkça uzaklıkların toplamı tam olarak 4'tür; dışarı çıktıkça toplam büyür.

• c > 4 ise iki çözüm vardır; biri 1'in solunda, öteki 5'in sağındadır. c = 6 için fazladan 2 birim iki uca eşit paylaşılır: x = 1 − 1 = 0 ve x = 5 + 1 = 6.
• c = 4 ise 1 ile 5 arasındaki her sayı çözümdür; çözüm sayısı sonsuzdur.
• c < 4 ise çözüm yoktur.

Bu yorum yerine aralıklara bölerek cebirle çözmek de mümkündür: x < 1, 1 ≤ x ≤ 5 ve x > 5 durumlarında mutlak değer çizgileri ayrı ayrı kaldırılır ve her durumda bulunan kökün kendi aralığında olup olmadığına bakılır. Uzaklık yorumu ise sınavda çok daha hızlıdır.

İç içe mutlak değer

||x − 1| − 2| = 1 gibi bir denklemde dıştan içe doğru açılır. Önce |x − 1| − 2 = 1 ya da −1 yazılır; buradan |x − 1| = 3 ya da |x − 1| = 1 bulunur. Her biri iki çözüm verir ve toplam dört kök elde edilir: 4, −2, 2 ve 0. İç denklemlerden biri negatif bir sayıya eşit çıkarsa o daldan kök gelmez.

Çözüm sayısını önceden görmek

Bir mutlak değerli denklemi çözmeye başlamadan önce kaç kök beklediğini tahmin etmek, hem hesap hatalarını yakalamayı hem de çeldiricileri elemeyi kolaylaştırır. Tek mutlak değerli temel biçimde sağ taraf pozitifse iki, sıfırsa bir kök beklenir. İki mutlak değerin eşitliğinde en çok iki kök vardır; içlerdeki x katsayıları eşitse biri kaybolur. İki uzaklığın toplamında ise toplam, iki nokta arasındaki mesafeyle karşılaştırılır. Çözümün sonunda bulduğun kök sayısı bu tahminle uyuşmuyorsa bir dalı atlamışsın ya da elenmesi gereken bir kökü tutmuşsundur.

Soru kökleri

Bu dersin problemleri mutlak değerli bir denklemin çözüm kümesini, köklerin toplamını ya da çarpımını, kök sayısını ve tam sayı çözümlerin sayısını ister. Her soruda önce sağ tarafın işaretine bak; negatif bir sayıysa çözüm yoktur, bilinmeyen içeriyorsa bulduğun kökleri mutlaka dene.

Örnek 1 — Temel biçim

Soru: |3x − 6| = 9 denkleminin köklerinin çarpımı kaçtır?

• A) 15
• B) −5
• C) 30
• D) 9
• E) −8

Çözüm: 3x − 6 = 9 ise x = 5; 3x − 6 = −9 ise x = −1. Çarpım −5'tir. Cevap: B.

Örnek 2 — İki mutlak değerin eşitliği

Soru: |2x − 1| = |x + 4| denkleminin köklerinin toplamı kaçtır?

• A) 11
• B) 6
• C) −9
• D) 4
• E) −14

Çözüm: 2x − 1 = x + 4 ise x = 5; 2x − 1 = −x − 4 ise x = −1. Toplam 4'tür. Cevap: D.

Örnek 3 — Sağ tarafta bilinmeyen

Soru: |x − 3| = 2x − 9 denkleminin çözüm kümesi hangisidir?

• A) {4, 6}
• B) ∅
• C) {6}
• D) {3, 6}
• E) {4}

Çözüm: x − 3 = 2x − 9 ise x = 6 ve sağ taraf 3'tür; kabul. x − 3 = −2x + 9 ise x = 4 ve sağ taraf −1'dir; elenir. Cevap: C.

Örnek 4 — Uzaklıklar toplamı

Soru: |x + 1| + |x − 3| = 4 eşitliğine uyan tam sayıların sayısı nedir?

• A) 9
• B) 11
• C) Sonsuz
• D) 7
• E) 5

Çözüm: −1 ile 3 arasındaki mesafe 4'tür; bu aralıktaki her sayı çözümdür. Bu aralıkta −1'den 3'e kadar beş tam sayı vardır. Cevap: E.

• Negatif sağ tarafa çözüm aramak. |ifade| = negatif sayı denkleminin çözümü yoktur.
• Sağ tarafta bilinmeyen varken kökleri denememek. Sağ tarafı negatif yapan kök elenir.
• |A| = |B| denkleminde yalnız A = B'yi yazmak. A = −B durumu da çözülür.
• Uzaklıklar toplamında aralık içindeki sonsuz çözümü atlamak. Toplam aradaki mesafeye eşitse aradaki her sayı çözümdür.
• İç içe mutlak değerde bir dalı unutmak. Dış çizgi iki dal, her iç çizgi yine iki dal verir.