Aralıklar, en büyük ve en küçük değer

x sayısı 2 ile 5 arasında, y sayısı 1 ile 3 arasında değerler alıyor. x − y en az kaç olabilir? Pek çok öğrenci sınırları sırayla çıkarır: alt sınırdan alt sınırı, 2 − 1 = 1. Oysa x − y'yi küçültmek için x'i olabildiğince küçük, y'yi ise olabildiğince büyük seçmek gerekir: x 2'ye, y 3'e yaklaşınca x − y, −1'e yaklaşır. Doğru aralık −1 ile 4 arasıdır. Bir önceki derste bir bilinmeyenli eşitsizlikleri çözdük. Bu derste iki bilinmeyenin aralıkları verildiğinde toplamın, farkın, çarpımın ve karenin hangi aralıkta kalacağını, aralık gösterimini ve tam sayı değerlerinin uçlarını bulmayı işliyoruz.

• Kapalı, açık ve yarı açık aralıkları sembolle ve sayı doğrusunda gösterirsin.
• İki aralıktan toplamın ve farkın aralığını doğru uçları eşleştirerek bulursun.
• Çarpımın ve karenin aralığını, aralık sıfırı içerdiğinde de doğru kurarsın.
• Bilinmeyenler tam sayıyken bir ifadenin uç değerlerini bulursun.

Aralık gösterimi

Sayı doğrusunun bir parçası aralık olarak yazılır. Uç değer dahilse köşeli parantez, dahil değilse normal parantez kullanılır.

• [a, b]: a ≤ x ≤ b, iki uç da dahil (kapalı aralık).
• (a, b): a < x < b, iki uç da dahil değil (açık aralık).
• [a, b): a ≤ x < b; (a, b]: a < x ≤ b (yarı açık aralıklar).
• (a, ∞): x > a. Sonsuz bir sayı olmadığı için onun yanında her zaman normal parantez kullanılır.

Sayı doğrusunda dahil olan uç dolu, dahil olmayan uç boş bir daireyle gösterilir. Bu gösterim, tam sayı sayarken hangi ucun alınıp hangisinin atlanacağını hemen gösterir.

Toplamın aralığı

a < x < b ve c < y < d ise x + y için alt sınırlar toplanır, üst sınırlar toplanır: a + c < x + y < b + d. Toplam en küçük, iki sayı en küçük olduğunda; en büyük, iki sayı en büyük olduğunda olur. 2 < x < 5 ve 1 < y < 3 için 3 < x + y < 8'dir.

Katsayı varsa önce her aralık kendi katsayısıyla çarpılır. 1 < x < 3 ve 2 < y < 5 için x + 2y'yi bulurken önce 4 < 2y < 10 yazılır, sonra toplanır: 5 < x + 2y < 13.

Farkın aralığı

Farkı bulurken alt sınırları birbirinden çıkarmak kancadaki hatayı doğurur. Doğru yol, farkı bir toplama çevirmektir: x − y = x + (−y). y'nin aralığı −1 ile çarpılınca yön değişir: 1 < y < 3 ise −3 < −y < −1. Şimdi toplanır: 2 + (−3) < x − y < 5 + (−1), yani −1 < x − y < 4. Kısaca, farkın en küçüğü "x'in en küçüğü eksi y'nin en büyüğü", en büyüğü ise "x'in en büyüğü eksi y'nin en küçüğü"dür.

Çarpımın aralığı

Çarpımda kural sınırların işaretine bağlıdır. İki aralığın da bütün değerleri pozitifse alt sınırlar çarpılır, üst sınırlar çarpılır. Aralıklardan biri negatif değerler içeriyorsa en güvenli yol dört köşe çarpımını hesaplamaktır: x'in iki ucunu y'nin iki ucuyla çarp. Dört sonucun en küçüğü alt sınır, en büyüğü üst sınırdır.

−1 < x < 2 ve −3 < y < 1 için köşe çarpımları (−1)(−3) = 3, (−1)(1) = −1, 2 · (−3) = −6 ve 2 · 1 = 2'dir. Çarpımın aralığı −6 < x · y < 3'tür. Burada en büyük değerin iki negatif sınırın çarpımından geldiğine dikkat et; yalnızca üst sınırları çarpsaydın 2 bulurdun ve yanılırdın.

Bölümde de aynı fikir işler: x/y = x · (1/y). y'nin aralığı sıfırı içermiyorsa önce 1/y'nin aralığı bulunur, sonra çarpım kuralı uygulanır. 2 < x < 6 ve 3 < y < 4 için önce 1/4 < 1/y < 1/3 yazılır; iki aralık da pozitif olduğu için alt sınırlar ve üst sınırlar çarpılır ve 1/2 < x/y < 2 bulunur.

Karenin aralığı

Aralık sıfırı içermiyorsa kare almak kolaydır: 2 < x < 4 ise 4 < x² < 16; −4 < x < −2 ise yine 4 < x² < 16'dır, çünkü negatif bir aralığın karesi ters sırayla gelir. Aralık sıfırı içeriyorsa karenin en küçük değeri 0'dır ve bu değer x = 0'da gerçekten alınır. En büyük değer ise mutlak değeri büyük olan uçtan gelir. −2 < x < 3 için 0 ≤ x² < 9 bulunur. Alt sınırın "≤" olduğuna dikkat: 0 değeri aralığın içindedir.

Sıfırı içeren aralıkta ters alma

Önceki derste ters almanın yalnızca iki ucu aynı işaretli aralıklarda yönü çevirdiğini gördük. Aralık sıfırı içeriyorsa, örneğin −2 < x < 3, 1/x tek bir aralıkta kalmaz. Negatif kısım −2 < x < 0, 1/x < −1/2 verir; pozitif kısım 0 < x < 3, 1/x > 1/3 verir. Sonuç iki parçalı bir kümedir: 1/x < −1/2 ya da 1/x > 1/3. x sıfıra yaklaştıkça 1/x'in mutlak değeri sınırsız büyür; bu yüzden böyle bir aralıkta 1/x için bir üst ya da alt sınır yoktur.

Tam sayılarla uç değerler

Bilinmeyenler tam sayıysa önce her birinin alabileceği tam sayı değerleri belirlenir. −2 < x < 5 aralığındaki tam sayılar −1'den 4'e kadardır; −2 < y ≤ 4 aralığındakiler −1'den 4'e kadardır. 2x − y en büyük olsun istiyorsan x'in en büyüğünü, y'nin en küçüğünü seçersin: 2 · 4 − (−1) = 9. En küçük için tersini yaparsın: 2 · (−1) − 4 = −6. Çarpımlı ifadelerde yine köşe değerlerini denemek gerekir, çünkü iki negatif sayının çarpımı büyük bir pozitif sayı verebilir.

Gerçek sayılar için açık aralıklarda ise uç değerler alınamaz. "x + y en çok kaçtır" sorusunun bir cevabı yoktur, ama "x + y'nin alabileceği en büyük tam sayı değeri" sorusunun vardır: 3 < x + y < 8 olduğunda bu değer 7'dir. Bu ayrım, sınavda seçeneklerden birinin tam olarak aralığın ucu olduğu durumlarda belirleyicidir.

Soru kökleri

Bu dersin problemleri aralık gösterimini, iki bilinmeyenden kurulan bir ifadenin aralığını, bu aralığa düşen tam sayıları ve tam sayı bilinmeyenlerle kurulan bir ifadenin uç değerlerini ister. Her soruda, ifadeyi büyütmek ya da küçültmek için her bilinmeyenin hangi ucuna gitmen gerektiğini önce yaz.

Örnek 1 — Fark

Soru: 3 < x < 7 ve 1 < y < 2 olduğuna göre x − y hangi aralıktadır?

• A) (2, 5)
• B) (1, 5)
• C) (1, 6)
• D) (4, 9)
• E) (2, 6)

Çözüm: En küçük fark 3 − 2 = 1, en büyük fark 7 − 1 = 6'dır. Cevap: C.

Örnek 2 — Çarpım

Soru: 2 < x < 6 ve −3 < y < 1 olduğuna göre x · y hangi aralıktadır?

• A) (−6, 6)
• B) (2, 6)
• C) (−6, 2)
• D) (−18, 2)
• E) (−18, 6)

Çözüm: Köşe çarpımları −6, 2, −18 ve 6'dır; en küçüğü −18, en büyüğü 6'dır. Cevap: E.

Örnek 3 — Kare

Soru: −4 < x < 3 olduğuna göre x² hangi aralıktadır?

• A) [0, 16)
• B) (9, 16)
• C) (0, 9)
• D) (−16, 9)
• E) (−4, 9)

Çözüm: Aralık sıfırı içerdiği için karenin en küçüğü 0'dır ve alınır; en büyüğü mutlak değeri büyük uçtan, 16'ya yaklaşır. Cevap: A.

Örnek 4 — Tam sayılarla

Soru: x ve y tam sayılardır; −3 ≤ x < 2 ve −1 < y ≤ 4'tür. x · y çarpımı en az kaç olabilir?

• A) −15
• B) −12
• C) −4
• D) 0
• E) −16

Çözüm: x −3'ten 1'e, y 0'dan 4'e kadar tam sayıdır. En küçük çarpım, en negatif x ile en büyük y'den gelir: (−3) · 4 = −12. Cevap: B.

• Farkta alt sınırları çıkarmak. En küçük fark: x'in en küçüğü eksi y'nin en büyüğü.
• Çarpımda yalnız uçları sırayla çarpmak. Negatif değer varsa dört köşeyi de hesapla.
• Sıfırı içeren aralıkta karenin alt sınırını uçtan almak. −2 < x < 3 ise x² ≥ 0'dır.
• Sıfırı içeren aralıkta tersi tek aralık sanmak. 1/x iki parçalı bir küme oluşturur.
• Açık aralığın ucunu değer saymak. 3 < x + y < 8 olduğunda 8 alınamaz; aralıktaki son tam sayı 7'dir.