Basit eşitsizlikler

Bir taksinin açılış ücreti 30 lira, kilometre başına ücreti 12 liradır. Cebinde 150 lira olan biri en çok kaç kilometre gidebilir? Gidilen yol x kilometre ise ödenecek tutar 30 + 12x'tir ve bu tutar 150'yi aşmamalıdır: 30 + 12x ≤ 150. Her iki taraftan 30 çıkarınca 12x ≤ 120, 12'ye bölünce x ≤ 10 bulunur. Yanıt tek bir sayı değil, bir sınırdır: 10 kilometre ya da daha az. Denklemler "eşittir" der ve genellikle tek bir çözüm verir; eşitsizlikler ise "en çok", "en az", "aşmamak" der ve bir çözüm kümesi verir. Bu derste eşitsizliklerin hangi işlemlerde korunduğunu, hangisinde yön değiştirdiğini, birinci dereceden eşitsizlikleri çözmeyi ve çözüm kümesindeki tam sayıları saymayı işliyoruz.

• Eşitsizliğe dört işlemden hangisi uygulanınca yönün değiştiğini bilirsin.
• Birinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizlikleri ve çift taraflı eşitsizlikleri çözersin.
• Çözüm kümesindeki tam sayıları sayar, sınırdaki tam sayıyı bulursun.
• İşaretleri verilen sayılar hakkındaki yargıların doğruluğunu sınarsın.

Semboller

a < b ifadesi "a, b'den küçüktür", a ≤ b ise "a, b'den küçük ya da b'ye eşittir" diye okunur. Sayı doğrusunda küçük olan sayı soldadır. Problem metinlerinde "en çok", "aşmamak", "fazla olmamak" gibi ifadeler ≤ işaretine; "en az", "geride kalmamak" ise ≥ işaretine karşılık gelir. "Az" ve "fazla" kelimeleri tek başına kullanılınca eşitlik dahil değildir ve < ya da > yazılır.

Yönü koruyan işlemler

Bir eşitsizliğin her iki tarafına aynı sayı eklenir ya da çıkarılırsa yön değişmez. a < b ise a + 5 < b + 5 ve a − 3 < b − 3'tür. Sayı doğrusunda iki sayıyı aynı miktarda kaydırmak aralarındaki sırayı bozmaz.

Her iki taraf aynı pozitif sayıyla çarpılır ya da bölünürse de yön değişmez. a < b ise 2a < 2b ve a/3 < b/3'tür.

Yönü çeviren işlem

Her iki taraf aynı negatif sayıyla çarpılır ya da bölünürse eşitsizliğin yönü ters döner. 2 < 5'i −1 ile çarparsan −2 ve −5 elde edersin ve artık −2 > −5'tir. Sayı doğrusunda negatif bir sayıyla çarpmak, sayıları sıfırın öteki tarafına aynalar; sağdaki sola, soldaki sağa geçer. Eşitsizlik çözerken yapılan hataların büyük çoğunluğu bu kuraldan kaynaklanır.

Bu yüzden −3x + 4 ≥ 13 eşitsizliğini çözerken önce 4 çıkarılır: −3x ≥ 9. Sonra −3'e bölünür ve yön çevrilir: x ≤ −3. Yönü çevirmeyi unutmamak için, bilinmeyenin katsayısı negatif olduğunda onu eşitsizliğin öteki tarafına toplayarak geçirmek de bir yoldur: 4 − 13 ≥ 3x, yani −9 ≥ 3x ve x ≤ −3.

Ters alma

İki tarafı da pozitif (ya da ikisi de negatif) olan bir eşitsizlikte terslerin alınması yönü çevirir. 4 < x < 7 ise 1/7 < 1/x < 1/4 olur. Büyük bir sayının tersi küçüktür. Taraflardan biri negatif, öteki pozitifse bu kural uygulanamaz; böyle aralıklar bir sonraki dersin konusudur.

Birinci dereceden eşitsizlik çözmek

Eşitsizlik, denklem gibi çözülür: bilinmeyenli terimler bir tarafa, sabitler öbür tarafa toplanır, sonra katsayıya bölünür. Tek fark, negatif bir sayıyla çarpılan ya da bölünen her adımda yönün çevrilmesidir. 2x − 5 < 7 için 2x < 12 ve x < 6 bulunur.

Kesirli eşitsizliklerde önce paydaların EKOK'uyla çarpılır; EKOK pozitif olduğu için yön değişmez. (x − 1)/3 − (x + 2)/4 > 1 eşitsizliği 12 ile çarpılınca 4(x − 1) − 3(x + 2) > 12, yani 4x − 4 − 3x − 6 > 12 ve x > 22 olur. Parantez açarken ikinci kesrin önündeki eksi işaretinin parantezin içindeki her terime dağıldığına dikkat et.

Çift taraflı eşitsizlik

−1 < 2x + 3 ≤ 9 gibi bir ifade, aslında iki eşitsizliğin birlikte yazılmış hâlidir. Üç parçanın hepsine aynı işlem uygulanır: önce 3 çıkarılır, −4 < 2x ≤ 6; sonra 2'ye bölünür, −2 < x ≤ 3. Çözüm kümesi −2 ile 3 arasındaki sayılardır; −2 dahil değil, 3 dahildir. Negatif bir sayıyla bölme gerekirse iki işaret birden çevrilir ve sıralamayı yeniden soldan sağa küçükten büyüğe yazmak okumayı kolaylaştırır.

Tam sayı çözümleri saymak

Çözüm kümesi bulunduktan sonra sorular çoğu zaman bu kümedeki tam sayıları sorar. −2 < x ≤ 3 aralığındaki tam sayılar −1, 0, 1, 2 ve 3'tür; beş tanedir. Sayarken iki uca ayrı ayrı bak: uç dahilse ve tam sayıysa sayılır, dahil değilse sayılmaz. Uç değer tam sayı değilse, örneğin x > 2,5 ise, en küçük tam sayı 3'tür.

"En büyük tam sayı" ya da "en küçük tam sayı" sorularında aynı dikkat gerekir. x < 6 eşitsizliğini sağlayan en büyük tam sayı 5'tir, 6 değil. x ≤ −3 eşitsizliğini sağlayan en büyük tam sayı ise −3'tür.

İşaret yargıları

Bazı sorularda sayılar verilmez, yalnızca işaretleri ya da sıraları verilir: a < 0 < b, ya da a < b < 0. Böyle sorularda her seçenek için küçük sayılar seçip denemek hızlı bir yoldur. a < b < 0 için a = −2, b = −1 alınabilir. Bir seçeneği çürütmek için tek bir karşı örnek yeter; ama bir seçeneğin "kesinlikle doğru" olduğunu söylemek için kuralı düşünmek gerekir. Çarpımın işareti kuralı, ters alma kuralı ve kare almanın mutlak değeri büyütüp küçültmesi bu tür soruların çekirdeğidir.

Çözümü denetlemek

Bir eşitsizliği çözdükten sonra bulduğun kümeden bir sayı seçip ilk eşitsizlikte yerine koymak, yön hatasını hemen ortaya çıkarır. −3x + 4 ≥ 13 için x ≤ −3 bulduysan x = −4'ü dene: 12 + 4 = 16 ve 16 ≥ 13 doğrudur. Kümenin dışından bir sayı, örneğin x = 0, eşitsizliği sağlamamalıdır: 4 ≥ 13 yanlıştır. İki deneme de beklendiği gibi sonuçlanıyorsa çözümün yönü doğrudur. Bu sağlama yarım dakika sürer ve sınavda en sık kaybedilen puanı korur.

Soru kökleri

Bu dersin problemleri birinci dereceden ya da çift taraflı bir eşitsizliğin çözüm kümesini, bu kümedeki tam sayıların sayısını, toplamını ve sınırdaki tam sayıyı, bir sözel durumun eşitsizliğe çevrilmesini ve işaret yargılarını ister. Her soruda negatif sayıyla çarptığın ya da böldüğün anı işaretle.

Örnek 1 — Yön çevirme

Soru: −2x + 7 ≥ 1 eşitsizliğinin çözüm kümesi hangisidir?

• A) x ≥ 3
• B) x ≤ 3
• C) x ≥ −3
• D) x ≤ −3
• E) x ≤ 4

Çözüm: 7 çıkarılır: −2x ≥ −6. −2'ye bölünür ve yön çevrilir: x ≤ 3. Cevap: B.

Örnek 2 — Çift taraflı

Soru: −4 ≤ 3x + 2 < 11 eşitsizliğini sağlayan kaç tam sayı vardır?

• A) 4
• B) 9
• C) 7
• D) 3
• E) 5

Çözüm: 2 çıkarılır: −6 ≤ 3x < 9. 3'e bölünür: −2 ≤ x < 3. Tam sayılar −2, −1, 0, 1, 2'dir. Cevap: E.

Örnek 3 — Ters alma

Soru: 3 < x < 6 olduğuna göre 1/x hangi aralıktadır?

• A) 3 < 1/x < 6
• B) 1/3 < 1/x < 1/6
• C) 1/6 < 1/x < 1/3
• D) −6 < 1/x < −3
• E) 1/6 < 1/x < 1/2

Çözüm: Taraflar pozitif olduğu için ters alınca yön çevrilir: 1/6 < 1/x < 1/3. Cevap: C.

Örnek 4 — Sözel problem

Soru: Bir taksinin açılış ücreti 25 lira, kilometre başına ücreti 8 liradır. Ödenecek tutar 185 lirayı aşmayacaksa en çok kaç kilometre gidilebilir?

• A) 23
• B) 25
• C) 16
• D) 20
• E) 18

Çözüm: 25 + 8x ≤ 185 ise 8x ≤ 160 ve x ≤ 20'dir. Cevap: D.

• Negatifle çarpınca yönü çevirmemek. −3x ≥ 9 ise x ≤ −3'tür.
• "En büyük tam sayı"da sınırı almak. x < 6 ise en büyük tam sayı 5'tir.
• Kesirli eşitsizlikte eksiyi dağıtmamak. −3(x + 2) = −3x − 6.
• Çift taraflıda bir tarafı unutmak. Üç parçaya da aynı işlem yapılır.
• İşareti farklı taraflarda ters almak. Ters alma kuralı yalnızca iki taraf aynı işaretliyse geçerlidir.