Kuantum sayıları

Çağla TYT'ye çalışırken atomu defterine hep aynı biçimde çizdi: ortada bir nokta, çevresinde iç içe üç çember, çemberlerin üstünde güneşin çevresindeki gezegenler gibi duran küçük elektronlar. AYT kitabının ilk sayfasında «Bir elektronun adresini dört kuantum sayısı verir» cümlesini okuyunca rahatlıyor; adresi olanın bir evi de olmalı. Üçüncü çemberin üstüne bir çarpı koyuyor ve yanına yazıyor: «3p'deki elektron tam burada.» Ertesi gün öğretmeni çarpıyı siliyor, ardından çemberi de. Çağla itiraz ediyor: «Adresini biliyorsak yerini neden işaretleyemiyoruz?» Öğretmenin cevabı kısa: o dört sayı bir noktayı değil, bir bölgeyi ve bir durumu tarif eder. Bu derste o sayıları tek tek kuracağız ve Çağla'nın çemberinin neden geri gelmediğini göreceğiz.

• Bohr modelinden modern atom modeline geçişin nedenini ve orbitalin yörüngeden farkını açıklarsın.
• Dört kuantum sayısının alabileceği değerleri ve her birinin elektron hakkında neyi belirlediğini sıralarsın.
• Bir katmandaki ya da alt katmandaki orbital ve en çok elektron sayısını n², 2n² ve 2ℓ + 1 bağıntılarıyla hesaplarsın.
• Verilen bir kuantum sayısı takımının geçerli olup olmadığına karar verir, Pauli dışlama ilkesini bu takımlara uygularsın.

Bohr'un bıraktığı yer

TYT kimyasının «Atom modelleri» dersi, Bohr'un elektronu belirli enerji düzeylerine yerleştirdiğini, hidrojenin çizgili spektrumunu bu düzeyler arasındaki geçişlerle açıkladığını göstermişti. Fizik akademisindeki Bohr dersi aynı resmi enerji seviyelerinin sayılarıyla kurmuştu. Model, çekirdeğin çevresinde tek elektron bulunan taneciklerde iyi işler. İki elektronu olan helyumun spektrumunda bile hesap tutmaz, çünkü elektronlar çekirdeğe çekilirken birbirlerini de iter ve Bohr'un hesabında bu itmeye yer yoktur. Bir zayıflığı daha vardır: elektronu kesin yarıçaplı bir çember üzerinde dolaştırır. Kimyanın asıl ilgilendiği çok elektronlu atomlar için başka bir resim gerekiyordu.

Elektron dalga gibi davranınca

Fizikte Compton olayını işleyen derste Louis de Broglie'nin her taneciğe bir dalga boyu eşlediğini ve elektronların kristallerde kırınım yaptığını gördük. Elektron yalnız küçük bir bilye değil, dalga özelliği de gösteren bir taneciktir. Werner Heisenberg'in belirsizlik ilkesi bu tablonun ikinci parçasıdır: bir elektronun konumu ile momentumu, yani hızı ve yönü, aynı anda kesin olarak bilinemez. Konumu ve hızı aynı anda bilinmeyen bir cismin izleyeceği yol da çizilemez. Erwin Schrödinger elektronun atomdaki dalga davranışını bir dalga denklemiyle anlattı. Bu derste denklemin kendisiyle değil, çözümlerinin bize verdiği sonuçlarla çalışacağız.

Yörünge yerine orbital

Modern atom modelinde elektronun yeri bir çizgiyle değil, olasılıkla anlatılır. Orbital, çekirdeğin çevresinde elektronun bulunma olasılığı yüksek olan bölgedir. Yörünge bir yoldur ve elektronun her an nerede olduğunu söyler; orbital ise bir bölgedir ve elektronun çoğunlukla nerede bulunacağını söyler. Bir orbitali, çok sayıda fotoğraf üst üste konunca elektronun en sık göründüğü yerlerin oluşturduğu bulut gibi düşünebiliriz. Çağla'nın çarpısı bu yüzden silindi: kuantum sayıları elektronun hangi orbitalde bulunduğunu söyler, orbitalin içinde hangi noktada durduğunu söylemez.

Baş kuantum sayısı n

Schrödinger denkleminin çözümünden üç kuantum sayısı çıkar, dördüncüsü elektronun kendi özelliğini anlatır. İlki baş kuantum sayısı n'dir. n yalnız pozitif tam sayı olabilir: 1, 2, 3, 4… Elektronun bulunduğu ana enerji düzeyini, yani katmanı gösterir. n büyüdükçe katmanın enerjisi artar ve elektron çekirdekten ortalamada daha uzakta bulunur. Bohr'un enerji düzeyi numarası modern modelde bu sayının içinde yaşamaya devam eder; bazı kaynaklar birinci, ikinci, üçüncü ve dördüncü katmanı K, L, M, N harfleriyle de adlandırır.

Açısal momentum kuantum sayısı ℓ

Bir katmanın içinde birden fazla alt katman (alt enerji düzeyi) bulunabilir. Alt katmanı açısal momentum kuantum sayısı ℓ belirler. ℓ sıfırdan başlar ve n − 1'e kadar tam sayı değerleri alır; dolayısıyla n numaralı katman n alt katman içerir. Her ℓ değerinin bir harfi vardır:

Gösterimde önce n, sonra harf yazılır: 2p, n = 2 ve ℓ = 1 demektir; 4f ise n = 4 ve ℓ = 3. n = 1 katmanında ℓ yalnız 0 olabildiği için orada yalnız 1s bulunur. 1p, 2d, 3f gibi gösterimler bu yüzden yoktur; ℓ hiçbir zaman n'ye eşit ya da ondan büyük olamaz. ℓ orbitalin türünü, dolayısıyla biçimini belirler; biçimlerin kendisi bir sonraki dersin konusu.

Manyetik kuantum sayısı m_ℓ

Aynı alt katmandaki orbitaller uzayda farklı doğrultulara yönelir. Bu yönelimi manyetik kuantum sayısı m_ℓ gösterir. m_ℓ, −ℓ ile +ℓ arasındaki bütün tam sayıları, sıfır dahil, alabilir. Her m_ℓ değeri ayrı bir orbitaldir; bu yüzden alt katman başına orbital sayısı 2ℓ + 1'dir. s için ℓ = 0'dır ve m_ℓ yalnız 0 olur: tek orbital. p için m_ℓ −1, 0, +1 değerlerini alır: üç orbital. d beş, f yedi orbital içerir. m_ℓ'yi 0'dan saymaya başlayıp eksi değerleri atlayan öğrenci, d alt katmanına beş yerine üç orbital verir.

Spin kuantum sayısı m_s

İlk üç sayı orbitali belirler. Dördüncüsü, spin kuantum sayısı m_s, elektronun kendisine ait bir özelliği anlatır. Elektron, kendi ekseni çevresinde dönüyormuş gibi küçük bir mıknatıs davranışı gösterir; bu benzetmedir, elektron gerçekten bir topaç gibi dönmez. Spinin yalnız iki durumu vardır ve m_s bu yüzden yalnız +½ ya da −½ olabilir. m_s öteki üç sayıya bağlı değildir: hangi orbitalde olursa olsun her elektron bu iki değerden birini taşır.

Bir katmanı saymak

Üç kuralı üst üste koyunca bir katmanın bütün içeriği sayılabilir. n = 3 katmanında ℓ = 0, 1, 2 değerleri 3s, 3p ve 3d alt katmanlarını verir. Bunlar sırasıyla 1, 3 ve 5 orbital içerir; toplam 9 orbitaldir. Bir orbitalde en çok iki elektron bulunabildiği için katman en çok 18 elektron alır. Aynı hesap her katman için n² orbital ve en çok 2n² elektron verir:

Tablonun son sütunu bir üst sınırdır. Bir katmanın gerçek bir atomda kaç elektron taşıdığı, elektronların alt katmanlara hangi sırayla girdiğine bağlıdır ve bu sıra kuantum sayılarının sayımından değil, alt katmanların enerjisinden çıkar. Sayım ile sıra arasındaki bu ayrım, sonraki derslerin çıkış noktası olacak. Alt katman düzeyinde de aynı ikiye katlama işler: s en çok 2, p 6, d 10, f 14 elektron alır.

Bir takımın geçerliliğini sınamak

Sınavlarda dört sayı (n, ℓ, m_ℓ, m_s) sırasıyla verilir ve takımın bir elektrona ait olup olamayacağı sorulur. Denetim soldan sağa dört soruyla yapılır. n sıfırdan büyük bir tam sayı mı? ℓ, 0 ile n − 1 arasında mı? m_ℓ, −ℓ ile +ℓ arasında mı? m_s, +½ ya da −½ mi? (3, 2, −2, +½) dört denetimi de geçer: 3d alt katmanındaki bir elektrondur. (2, 2, 0, +½) ikinci soruda takılır, çünkü n = 2 için ℓ en çok 1'dir. (3, 1, −2, −½) üçüncü soruda düşer: ℓ = 1 iken m_ℓ yalnız −1, 0 ya da +1 olabilir. (1, 0, 0, 0) ise son soruda kalır; spin sıfır olamaz.

Pauli dışlama ilkesi

Dört sayının bir elektronu tanımlaması, bir sınır da getirir. Pauli dışlama ilkesine göre aynı atomda dört kuantum sayısı da aynı olan iki elektron bulunamaz. İki elektronun n, ℓ ve m_ℓ değerleri ortaksa bu elektronlar aynı orbitaldedir ve m_s değerleri farklı olmak zorundadır: biri +½, öteki −½. Spin iki değerle sınırlı olduğundan bir orbitale üçüncü bir elektron sığmaz. Bir orbitalin en çok iki elektron alması ve 2n² bağıntısındaki 2 çarpanı bu ilkeden gelir.

Sırada ne var

Kuantum sayıları bir orbitalin kimliğini verdi, ama orbitalin uzayda nasıl bir bulut çizdiğini söylemedi. s orbitalinin çekirdeği her yönden eşit saran yapısıyla p orbitalinin bir eksen boyunca uzanan iki lobu arasındaki fark, ℓ değerinin görünür hâlidir. Çok elektronlu atomlarda aynı katmandaki s, p ve d alt katmanlarının enerjilerinin neden ayrıştığı da sorulmayı bekliyor. «Orbitaller» dersinde bu biçimleri ve alt katmanların enerji sırasını inceleyeceğiz.

Örnek 1 — Gösterimden sayılara

Soru: 3d alt katmanındaki bir elektron için verilenlerden hangisi doğrudur?

• A) n = 3, ℓ = 3; m_ℓ yedi değerden birini alır.
• B) n = 2, ℓ = 3; m_ℓ beş değerden birini alır.
• C) n = 3, ℓ = 2; m_ℓ beş değerden birini alır.
• D) n = 3, ℓ = 1; m_ℓ üç değerden birini alır.
• E) n = 4, ℓ = 2; m_ℓ beş değerden birini alır.

Çözüm: Gösterimdeki 3 katmanı, yani n = 3'ü verir. d harfi ℓ = 2 demektir ve 2 değeri n − 1 = 2 sınırını aşmaz. m_ℓ −2, −1, 0, +1, +2 değerlerini alabilir; beş seçenek vardır. A şıkkı ℓ'yi katman numarasına eşitler, D şıkkı d'yi p ile karıştırır. Cevap: C.

Örnek 2 — Geçerli takımı seçmek

Soru: (n, ℓ, m_ℓ, m_s) sırasıyla yazılan takımlardan hangisi bir elektrona ait olabilir?

• A) (1, 1, 0, +½)
• B) (2, 0, +1, −½)
• C) (3, 2, 0, +1)
• D) (2, 1, −1, +½)
• E) (3, −1, 0, −½)

Çözüm: Her takım dört soruyla sınanır. A'da ℓ = n'dir; birinci katmanda ℓ yalnız 0 olur. B'de ℓ = 0 iken m_ℓ yalnız 0 olabilir, +1 olamaz. C'de spin +1 yazılmış; m_s yalnız ±½ olur. E'de ℓ negatiftir, oysa ℓ sıfırdan başlar. D'de n = 2, ℓ = 1 bir 2p elektronudur ve m_ℓ = −1 izinli üç değerden biridir. Cevap: D.

Örnek 3 — Bir katmanı saymak

Soru: n = 3 katmanındaki alt katman sayısı, orbital sayısı ve en çok elektron sayısı sırasıyla hangisidir?

• A) alt katman 3, orbital 9, elektron 18
• B) alt katman 3, orbital 6, elektron 18
• C) alt katman 2, orbital 4, elektron 8
• D) alt katman 3, orbital 9, elektron 8
• E) alt katman 4, orbital 16, elektron 32

Çözüm: ℓ = 0, 1, 2 değerleri üç alt katman verir: 3s, 3p, 3d. Orbitaller 1 + 3 + 5 = 9, yani n² eder. Orbital başına iki elektronla sınır 2 × 9 = 18'dir. D şıkkı orbitalleri doğru sayıp elektron sınırını ikinci katmanınkiyle karıştıran öğrencinin seçeneğidir. Cevap: A.

Örnek 4 — Ortak sayıları olan elektronlar

Soru: Bir atomda n = 3 ve m_ℓ = +1 değerlerini birlikte taşıyan en çok kaç elektron bulunabilir?

• A) 2 elektron
• B) 4 elektron
• C) 6 elektron
• D) 1 elektron
• E) 18 elektron

Çözüm: m_ℓ = +1 için ℓ en az 1 olmalıdır. n = 3 katmanında bu koşulu 3p (ℓ = 1) ve 3d (ℓ = 2) sağlar; 3s'de m_ℓ yalnız 0'dır. Her birinde m_ℓ = +1 olan bir orbital vardır, toplam iki orbital. Pauli ilkesine göre her orbitalde zıt spinli iki elektron bulunabilir: 2 × 2 = 4. Yalnız 3p'yi düşünen 2 bulur. Cevap: B.

• ℓ'nin n'ye eşit olabileceğini sanmak. ℓ'nin üst sınırı n − 1'dir; 1p, 2d, 3f gösterimleri ve (2, 2, …) gibi takımlar bu yüzden geçersizdir.
• m_ℓ'yi 0'dan saymaya başlamak. Eksi değerler de sayılır; d alt katmanında −2'den +2'ye beş orbital vardır, üç değil.
• Orbital sayısıyla elektron sayısını karıştırmak. Katmanda n² orbital, 2n² elektron; alt katmanda 2ℓ + 1 orbital, bunun iki katı elektron bulunur. n = 4 için 16 orbitaldir, 32 elektrondur.
• Spin sayısına 0 ya da +1 yazmak. m_s yalnız +½ ya da −½ olur ve öteki üç sayıdan bağımsızdır.
• Orbitali küçük bir yörünge sanmak. Orbital elektronun büyük olasılıkla bulunduğu bölgedir; içinde izlenen bir yol yoktur.