Radyoaktivite ve yarılanma

Ceylin yaz tatilinde amcası Celal'in çalıştığı kazı alanında gönüllü. Bir sabah açmanın dibinde kararmış bir ocak kalıntısı çıkıyor; Celal bir kömür parçasını cımbızla alıp etiketli bir torbaya koyuyor ve torbanın laboratuvara gideceğini, yaşın karbon-14 ölçümüyle bulunacağını söylüyor. Ceylin AYT kitabından karbon-14'ün yarılanma süresini hatırlıyor: yaklaşık 5730 yıl. Hesabı da hazır: «İlk yarılanmada yarısı gider, ikincisinde kalan yarısı. Demek ki 11 500 yıl sonra kömürde hiç karbon-14 kalmaz. Bu ocak daha eskiyse laboratuvar boş bir torba ölçecek.» Celal gülümsüyor; yöntemin bundan çok daha eski örneklerde, birkaç on bin yıla kadar kullanıldığını söylüyor. Ceylin'in iki adımlık hesabı nerede kırılıyor?

• Bir çekirdeğin proton, nötron ve kütle numarasını gösterimden okur, izotopları ayırt edersin.
• Kütle eksiğinden bağlanma enerjisini ve bozunmada açığa çıkan enerjiyi Δm · c² ile, atomik kütle birimini MeV'e çevirerek hesaplarsın.
• Alfa, beta eksi, beta artı ve gama bozunmalarında kütle numarası ile atom numarasının nasıl değiştiğini kullanarak bozunma denklemlerini ve bozunma zincirlerini denkleştirirsin.
• Yarılanma süresinin tam katlarında kalan ve bozunan miktarı bulur, ışımaları nüfuz, iyonlaştırma ve alanlardaki sapmalarına göre karşılaştırırsın.

Çekirdeğin kimliği

Rutherford'un altın levha sonuçları, «Atom modelleri» dersinde bizi atomun merkezindeki küçük ve yoğun, artı yüklü bir çekirdeğe götürmüştü. Bugün o çekirdeğin iki tür tanecikten yapıldığını biliyoruz: artı yüklü protonlar ve yüksüz nötronlar. Bu ikisine birlikte nükleon (nucleon) denir. Proton sayısı atom numarasıdır (Z) ve elementin kimliğini belirler; nükleonların toplamı kütle numarasıdır (A). Nötron sayısı ise N = A − Z ile bulunur.

Gösterimde kütle numarası sol üste, atom numarası sol alta yazılır: ²³⁸₉₂U, 92 proton ve 238 − 92 = 146 nötron taşıyan uranyum çekirdeğidir. Metin içinde kısaca uranyum-238 ya da U-238 de denir. Proton sayısı aynı, nötron sayısı farklı çekirdekler aynı elementin izotoplarıdır: ¹²₆C, ¹³₆C ve ¹⁴₆C'nin üçü de karbondur, kimyasal davranışları neredeyse aynıdır, ama çekirdekleri farklıdır ve yalnız karbon-14 kararsızdır.

Çekirdeği bir arada tutan kuvvet

Çekirdekteki protonlar birbirini Coulomb kuvvetiyle iter; aradaki uzaklık 10⁻¹⁵ m mertebesinde olduğundan bu itme çok büyüktür. Çekirdeğin dağılmaması, nükleonlar arasında daha güçlü bir çekimin varlığını gösterir: güçlü çekirdek kuvveti. Üç özelliği soruların çoğuna yeter. Proton-proton, proton-nötron ve nötron-nötron çiftlerinde aynı biçimde çeker, yüke bakmaz. Kısa menzillidir; yalnız komşu nükleonlar arasında etkilidir ve çekirdek boyutunun birkaç katı uzaklıkta neredeyse sıfıra iner. Kısa mesafede elektriksel itmeyi yener.

Bu menzil farkı kararlılığı açıklar. Elektriksel itme çekirdeğin bir ucundaki protonu öbür ucundakine de bağlar, çekirdek kuvveti ise yalnız yanındakine. Ağır çekirdeklerde itme birikir; dengeyi korumak için protonlardan fazla nötron gerekir, kurşun-208'de 82 protona 126 nötron düşer. Nötron-proton dengesi bozulan ya da çok ağır olan çekirdek kararsızdır ve kendiliğinden ışıma yaparak daha kararlı bir yapıya geçer. Bu kendiliğinden dönüşüme radyoaktivite denir. Henri Becquerel 1896'da uranyum tuzlarının, ışık görmeden bile, kâğıda sarılı fotoğraf plakasını kararttığını fark etti; Marie ve Pierre Curie bu ışımayı yapan yeni elementler olarak polonyum ile radyumu ayırdı.

Kütle eksiği ve bağlanma enerjisi

Helyum-4 çekirdeğinde ikişer proton ve nötron bulunur. Ayrı ayrı nükleonların kütlelerini toplayıp çekirdeğin ölçülen kütlesiyle karşılaştıralım; atomik kütle birimi u ile proton yaklaşık 1,00728 u, nötron 1,00866 u, helyum-4 çekirdeği 4,00151 u'dur. Dört nükleonun toplamı 4,03188 u eder, çekirdek ise 0,03037 u daha hafiftir. Bu farka kütle eksiği (mass defect) denir.

«Özel görelilik» dersindeki E₀ = m · c² eksik kütlenin nereye gittiğini söyler: nükleonlar bir araya gelirken bu kütle enerji olarak dışarı verilmiştir. Çekirdeği yeniden nükleonlarına ayırmak için aynı enerjiyi geri vermek gerekir; buna bağlanma enerjisi denir:

E_b = Δm · c²

Joule ile çalışmak yerine kısa bir çevirme kullanılır: 1 u kütlenin enerji karşılığı yaklaşık 931,5 MeV'dir. Sorularda çoğu kez «1 u için 931 MeV alınız» denir. Helyum-4 için 0,03037 · 931,5 ≈ 28,3 MeV bulunur, nükleon başına yaklaşık 7,1 MeV. Bağlanma enerjisinin nükleon sayısına bölümü çekirdeğin ne kadar sıkı bağlandığını gösterir; bu değer demir civarındaki orta kütleli çekirdeklerde en büyüktür.

Aynı hesap bozunmalara da uygulanır. Ana çekirdeğin kütlesi ürünlerin toplam kütlesinden büyükse dönüşüm kendiliğinden olabilir ve aradaki fark kadar enerji, çoğunlukla ürünlerin hareket enerjisi olarak açığa çıkar. Kütle farkı 0,005 u olan bir alfa bozunmasında 0,005 · 931 = 4,655 MeV serbest kalır.

Dört bozunma türü

Her bozunmada iki sayım korunur: kütle numaralarının toplamı ve yüklerin (alt indislerin) toplamı. Bozunma türleri bu iki sayıyı farklı biçimde kaydırır.

Alfa bozunması. Çekirdek ikişer proton ve nötronlu bir helyum-4 çekirdeği, yani ⁴₂He fırlatır. Ürün çekirdekte A dört, Z iki azalır: ²²⁶₈₈Ra → ²²²₈₆Rn + ⁴₂He. Radyum radona dönüşmüştür. Alfa bozunması daha çok çok ağır çekirdeklerde görülür.

Beta eksi bozunması. Nötronu fazla olan bir çekirdekte bir nötron protona dönüşür: n → p + e⁻ + antinötrino. Elektron ve yüksüz, kütlesi çok küçük antinötrino çekirdekten çıkar; elektron çekirdekte önceden bulunan bir tanecik değildir, dönüşüm anında oluşur. A değişmez, Z bir artar: ¹⁴₆C → ¹⁴₇N + ⁰₋₁e + antinötrino.

Beta artı bozunması. Protonu fazla olan bir çekirdekte bir proton nötrona dönüşür ve bir pozitron (elektronun artı yüklü karşıt parçacığı) ile bir nötrino salınır: p → n + e⁺ + nötrino. Bu dönüşüm yalnız çekirdek içinde, gereken enerji karşılandığında olur. A değişmez, Z bir azalır: ²²₁₁Na → ²²₁₀Ne + ⁰₊₁e + nötrino.

Gama ışıması. Alfa ya da beta bozunmasından sonra ürün çekirdek çoğu kez uyarılmış durumda kalır. Bohr modelini işlerken uyarılmış bir atomun foton salıp alt seviyeye indiğini görmüştük; çekirdek de aynısını, çok daha yüksek enerjili bir fotonla yapar. Gama ışıması yüksüz ve kütlesiz bir foton olduğundan A da Z de değişmez; yalnız çekirdeğin enerjisi azalır.

Zinciri denkleştirmek

Uranyum-238 tek adımda kararlı olmaz; ardışık bozunmalarla sonunda kurşun-206'ya varır. Kaç alfa ve kaç beta eksi bozunması yaptığını bulmak için önce kütle numarasına bakılır, çünkü yalnız alfa onu değiştirir: 238 − 206 = 32, bu da 32 / 4 = 8 alfa demektir. Sekiz alfa atom numarasını 92'den 92 − 16 = 76'ya indirir. Kurşunun atom numarası 82 olduğundan aradaki 6 birimlik artışı 6 beta eksi bozunması sağlamıştır. Sıralama önemli değildir; iki korunum sayımı sonucu tek başına belirler. Gama ışımaları bu hesaba girmez.

Nüfuz, iyonlaştırma ve alanlardaki sapma

Üç ışıma maddeyle farklı ilişki kurar. Alfa tanecikleri ağır ve +2e yüklü olduğundan yol boyunca atomlardan bol elektron koparır; iyonlaştırma güçleri en yüksektir, bu yüzden enerjilerini çabuk harcar ve ince bir kâğıt yaprağında, havada da birkaç santimetrede dururlar. Beta tanecikleri daha hafiftir, daha az iyonlaştırır ve daha derine girer; birkaç milimetrelik alüminyum levha onları durdurur. Gama fotonları en az iyonlaştıran ve en derine işleyen ışımadır; kalın kurşun ya da beton onları büyük ölçüde zayıflatır ama tam bir sınırla kesmez. Kısacası iyonlaştırma gücü alfadan gamaya azalırken nüfuz gücü aynı sırada artar.

Yüklü ışımalar alanlarda sapar. Paralel levhalar arasında alfa eksi levhaya, beta eksi artı levhaya doğru eğilir; kütlesi binlerce kat küçük olan beta tanecikleri genellikle çok daha belirgin sapar. Gama yüksüz olduğundan düz gider. Manyetik alana dik giren alfa ve beta eksi, «Manyetik kuvvet» dersindeki sağ el kuralının söylediği gibi zıt yönlere kıvrılır, gama ise yine doğrultusunu korur.

Yarılanma süresi

Tek bir kararsız çekirdeğin ne zaman bozunacağı önceden söylenemez; yalnız belirli bir sürede bozunma olasılığı bellidir. Çok sayıda çekirdekten oluşan bir örnekte bu olasılık düzenli bir sonuç verir: örnekteki çekirdeklerin yarısı bozunana dek geçen süre, geriye kaç çekirdek kalmış olursa olsun aynıdır. Bu süreye yarılanma süresi (T, half-life) denir.

Ceylin'in yanılgısı tam burada. İkinci yarılanma süresi başlangıçtaki çekirdeklerin öbür yarısını değil, o anda kalanların yarısını bozar. 160 çekirdekle başlayan bir örnek bir T sonra 80'e, iki T sonra 40'a, üç T sonra 20'ye iner. Miktar her adımda yarıya bölünür ve sonlu sayıda adımda sıfıra varmaz:

N = N₀ · (1/2)^(t/T)

t / T = n tam sayı olduğunda kalan kesir 1 / 2ⁿ'dir: 2 yarılanmada dörtte bir, 3'te sekizde bir, 4'te on altıda bir. Bozunan miktar ise başlangıçtan kalanın çıkarılmasıyla bulunur; dört yarılanmada çekirdeklerin 15/16'sı bozunmuştur. Yarılanma süresi çekirdeğe özgüdür; sıcaklık, basınç ya da çekirdeğin bulunduğu kimyasal bileşik onu değiştirmez. «Gerçek hayat modelleri» dersindeki üstel azalma, tam katlara düşmeyen süreler için aynı bağıntıyı logaritmayla çözer; bu derste tam katlarda kalacağız.

Aktivite ve karbon-14 ile tarihleme

Bir örnekte saniyede gerçekleşen bozunma sayısına aktivite denir; birimi becquerel'dir (Bq), 1 Bq saniyede bir bozunmadır. Aktivite örnekteki kararsız çekirdek sayısıyla orantılıdır, bu yüzden o da her yarılanma süresinde yarıya iner.

Karbon-14, atmosferde kozmik ışınların oluşturduğu nötronların azota çarpmasıyla sürekli üretilir ve karbondioksite karışır. Yaşayan bir bitki ya da hayvan çevresiyle karbon alışverişi yaptığından dokusundaki karbon-14 oranı atmosferdekine yakın kalır. Canlı ölünce alışveriş durur; karbon-14 yenilenmez ve yaklaşık 5730 yıllık yarılanmayla azalır. Örnekteki oran ölçülüp canlılardaki oranla karşılaştırılır. Oran dörtte bire inmişse iki yarılanma, yani yaklaşık 11 460 yıl geçmiştir. Kömür parçası daha eskiyse içinde karbon-14 yine bulunur, yalnız daha azdır; ölçüm, kalan miktar ölçülemeyecek kadar azalana dek, kabaca birkaç on bin yıla kadar anlamlıdır.

Bu derste çekirdekler kendiliğinden ve küçük adımlarla dönüştü: bir alfa ya da bir beta salıp komşu elemente geçtiler. Sonraki ders «Fisyon ve füzyon», dönüşümü dışarıdan tetiklenen ve çok daha büyük ölçekte bir değişime taşıyor: ağır bir çekirdeğin bir nötron yutup iki orta kütleli parçaya bölünmesini, hafif çekirdeklerin birleşmesini ve iki yönde de nükleon başına bağlanma enerjisinin artmasıyla açığa çıkan enerjiyi işleyecek.

Örnek 1 — Radyumdan çıkan çekirdek

Soru: ²²⁶₈₈Ra çekirdeği bir alfa taneciği salarak X çekirdeğine dönüşüyor. X'in kütle numarası ve atom numarası nedir?

• A) A = 226, Z = 86
• B) A = 222, Z = 86
• C) A = 222, Z = 88
• D) A = 224, Z = 87
• E) A = 222, Z = 90

Çözüm: Denklem ²²⁶₈₈Ra → X + ⁴₂He biçimindedir; X'in kütle numarası A, atom numarası Z olsun. Üst sayılar: 226 = A + 4, A = 222. Alt sayılar: 88 = Z + 2, Z = 86; atom numarası 86 olan element radondur. A yalnız atom numarasını, C yalnız kütle numarasını değiştiren öğrencinin sonucudur; D alfayı iki nükleonlu sanmaktan, E yükü eklemekten gelir. Cevap: B.

Örnek 2 — Helyumun bağlanma enerjisi

Soru: Proton kütlesi 1,0073 u, nötron kütlesi 1,0087 u, ⁴₂He çekirdeğinin kütlesi 4,0015 u olarak veriliyor; 1 u için 931 MeV alınız. Helyum-4 çekirdeğinin bağlanma enerjisi yaklaşık kaç MeV'dir?

• A) E_b ≈ 7,1 MeV
• B) E_b ≈ 284 MeV
• C) E_b ≈ 14,2 MeV
• D) E_b ≈ 28,4 MeV
• E) E_b ≈ 3725 MeV

Çözüm: Nükleonların toplam kütlesi 2 · 1,0073 + 2 · 1,0087 = 4,0320 u. Kütle eksiği 4,0320 − 4,0015 = 0,0305 u. Bağlanma enerjisi 0,0305 · 931 ≈ 28,4 MeV. A nükleon başına düşen değerdir; B virgülü bir basamak kaydırır; C eksiği yalnız iki nükleon için hesaplar; E çekirdeğin bütün kütlesini enerjiye çevirir. Cevap: D.

Örnek 3 — Bozunan çekirdekler

Soru: Yarılanma süresi 6 saat olan varsayımsal bir örnekte başlangıçta 3,2 · 10⁸ kararsız çekirdek var. 24 saatin sonunda bu çekirdeklerden kaçı bozunmuş olur?

• A) 3 · 10⁸
• B) 2 · 10⁷
• C) 8 · 10⁷
• D) 2,4 · 10⁸
• E) 1,6 · 10⁸

Çözüm: 24 / 6 = 4 yarılanma geçer, kalan kesir 1/16'dır: 3,2 · 10⁸ / 16 = 2 · 10⁷ çekirdek kalır. Bozunan 3,2 · 10⁸ − 2 · 10⁷ = 3 · 10⁸ çekirdektir. B soruyu kalan sayı sanan, C ile D yalnız iki yarılanma sayan, E bir yarılanmada duran öğrencinin sonucudur. Cevap: A.

Örnek 4 — Uranyumdan kurşuna

Soru: ²³⁸₉₂U çekirdeği ardışık alfa ve beta eksi bozunmalarıyla kararlı ²⁰⁶₈₂Pb çekirdeğine dönüşüyor. Bu zincirde kaç alfa ve kaç beta eksi bozunması vardır?

• A) 8 alfa, 10 beta eksi
• B) 6 alfa, 8 beta eksi
• C) 32 alfa, 10 beta eksi
• D) 8 alfa, 16 beta eksi
• E) 8 alfa, 6 beta eksi

Çözüm: Kütle numarasını yalnız alfa değiştirir: (238 − 206) / 4 = 8 alfa. Bunlar atom numarasını 92 − 16 = 76'ya indirir; 82'ye çıkmak için 6 beta eksi gerekir. A, alfaların atom numarasını düşürdüğünü hesaba katmadan 92 ile 82 arasındaki farkı beta sayısı sanır; D, alfaların indirdiği 16 birimi geri ekleyip kurşunun atom numarasını gözden kaçırır; C kütle farkını dörde bölmeyi unutur. Cevap: E.

• İki yarılanmada maddenin tükendiğini sanmak. Her yarılanma o an kalanın yarısını bozar; iki T sonunda dörtte biri, üç T sonunda sekizde biri hâlâ duruyordur.
• Kalan ile bozunanı karıştırmak. «Kaç çekirdek bozundu?» sorusunda N₀ − N istenir; 1/2ⁿ ile bulunan sayı kalan miktardır.
• Beta eksi bozunmasında Z'yi azaltmak. Nötron protona dönüştüğü için atom numarası bir artar; azalma beta artıya aittir. Yük sayımı (alt indisler) her iki yanda eşit mi diye denetle.
• Bozunma zincirine betadan başlamak. Kütle numarasını yalnız alfa değiştirir; önce alfa sayısını kütle farkından bul, sonra atom numarasındaki açığı betalarla kapat.
• Nüfuz ile iyonlaştırmayı aynı sıraya koymak. En çok iyonlaştıran alfa en kısa yolda durur; gama en az iyonlaştırır ve en derine gider.
• Bağlanma enerjisini çekirdeğin tüm kütlesinden hesaplamak. Enerjiye karşılık gelen yalnız kütle eksiğidir; nükleon başına değer sorulduysa A'ya bölmeyi unutma.