Alternatif akım

Pazar sabahı mutfakta kahvaltı hazırlanırken Ezgi fizik kitabını çay bardaklarının arasına açmış. Sayfadaki grafikte şebeke gerilimi bir sinüs eğrisi çiziyor: yarım periyot artı, yarım periyot eksi, bir periyot boyunca ortalaması tam sıfır. Aynı sayfada prizdeki gerilimin 220 V olduğu yazıyor. Ezgi ağabeyi Ferhat'a dönüyor: «Yükler bir ileri bir geri itiliyorsa itmeler birbirini götürür. Ortalama sıfırsa şu su ısıtıcısı hiç ısınmamalı.» Ferhat tartışmaya girmeden ısıtıcıyı doldurup prize takıyor; birkaç dakika sonra su kaynıyor. Ezgi bu kez grafiğe bakıp ikinci bir soru soruyor: eğrinin tepesinde 220 mi yazmalıydı, yoksa bu sayı eğrinin başka bir yerinden mi geliyor? Bu derste dönen bir bobinde sinüs biçimli gerilimin nasıl doğduğunu, etkin değeri ve bobin ile sığacın değişen akıma nasıl karşı koyduğunu kuracağız.

• Düzgün alanda dönen bobinin emk'sını ε = ε_max · sin(ωt) ile yazar, tepe değerini ε_max = N · B · A · ω ile hesaplarsın.
• Anlık, tepe ve etkin değerleri ayırır, etkin değerle ortalama gücü hesaplarsın.
• Bobinin ve sığacın reaktansını hesaplar, frekans değişince akımın nasıl değiştiğini ve akım ile gerilimin faz ilişkisini açıklarsın.
• Seri RLC devresinde empedansı, akımı ve rezonans koşulunu bulursun.

Dönen bobinden sinüs biçimli emk

Jeneratörün ilkesini «Manyetik akı ve indüksiyon» dersinden biliyoruz: düzgün bir alanda dönen bobinin içinden geçen akı sürekli değişir ve bu değişim bobinin uçlarında emk doğurur. Şimdi bu emk'nın zamanla nasıl değiştiğini çıkaralım. N sarımlı, yüzey alanı A olan dikdörtgen bir bobin, büyüklüğü B olan düzgün alanda sabit ω açısal hızıyla dönsün. t = 0 anında bobinin düzlemi alana dik olsun.

Bobinin dönme eksenine paralel iki kenarı çember çizer. Her kenarın sürati sabittir ama hızının alana dik bileşeni değişir: bobin düzlemi alana dikken kenarlar alan çizgileri boyunca kayar ve emk üretmez; düzlem alana paralel olduğunda kenarlar alan çizgilerini tam dik keser ve emk en büyük olur. Kenar hızının alana dik payı sin(ωt) ile orantılı olduğundan iki kenarın katkısı toplanınca:

ε = N · B · A · ω · sin(ωt) = ε_max · sin(ωt)

Tepe değeri ε_max = N · B · A · ω'dır. Düzgün dönen bir noktanın bir çap üzerine düşen izinin sinüs (ya da kosinüs) biçiminde gidip gelmesi, «Basit harmonik hareketin temelleri» dersinin çıkış noktasıydı; burada aynı matematik bir konuma değil, bir gerilime uygulanıyor. Örnek: 200 sarımlı, 0,02 m² alanlı bir bobin 0,1 T'lık alanda ω = 300 rad/s ile dönerse ε_max = 200 · 0,1 · 0,02 · 300 = 120 V olur. Alan, sarım sayısı ya da dönme hızı artırılırsa tepe değeri onlarla doğru orantılı büyür.

Frekans, periyot ve anlık değer

Bir tam dönüş T = 2π / ω kadar sürer; frekans f = 1 / T ve ω = 2π · f'dir. Gerilim her periyotta iki kez sıfırdan geçip işaret değiştirir; 50 Hz'lik bir kaynakta periyot 0,02 s'dir ve akımın yönü saniyede 100 kez döner. Herhangi bir t anındaki değere anlık değer denir. Tepe değeri 200 V olan, 50 Hz'lik bir gerilimi v = 200 · sin(100π · t) diye yazarız; t = 1/600 s anında açı π/6 radyana ulaşır ve anlık gerilim 200 · 0,5 = 100 V'tur. Sayaç t = 0'da gerilim sıfırken başlatılmışsa sinüs yazılır; kosinüs kullanan aynı anda 100√3 V bulur.

Ortalama sıfır, ısınma sıfır değil

Ezgi'nin itirazı yarı haklı: bir periyot boyunca gerilimin de akımın da ortalaması gerçekten sıfırdır. Ama ısıtıcının direncinde açığa çıkan güç akımın yönüne bakmaz. Anlık güç p = i² · R'dir; akım ister ileri ister geri aksın, karesi hep pozitiftir. Yükler bir yöne itilirken de öbür yöne itilirken de direnç ısınır.

Gücün ortalamasını bulmak için sin²(ωt)'nin bir periyottaki ortalamasına bakarız. sin² ile cos²'nin toplamı her an 1'dir ve ikisi bir periyotta aynı biçimi çeyrek periyot kaymayla çizer; ortalamaları eşit olduğundan her biri 1/2 eder. Buna göre direnç üzerinde ortalama güç:

P = V_max² / (2 · R)

Etkin değer

Aynı direnci aynı ortalama güçle ısıtan doğru gerilime alternatif gerilimin etkin değeri (rms değeri) denir. V_etkin² / R = V_max² / (2 · R) eşitliğinden:

V_etkin = V_max / √2 ve aynı gerekçeyle I_etkin = I_max / √2

Sinüs biçimli gerilimde ölçü aletlerinin alternatif kademesi etkin değeri gösterir; prizler için söylenen 220 V da etkin değerdir. Bu yüzden şebeke geriliminin tepe değeri 220 · √2 ≈ 311 V'tur. Ezgi'nin kitabındaki 220 eğrinin ne ortalaması ne tepesidir; ısıtma bakımından ona denk olan doğru gerilimdir.

Bir dirençte ortalama güç etkin değerlerle doğru akımdaki gibi hesaplanır: P = V_etkin · I_etkin = I_etkin² · R. 220 V'luk prize bağlı 44 Ω'luk bir ısıtıcıdan 5 A etkin akım geçer, ortalama güç 1100 W'tır; akımın tepe değeri 5√2 ≈ 7,1 A'dir. Tepe değerlerini çarpan öğrenci 2200 W bulur, yani gücü iki katına çıkarır.

Dirençte, bobinde, sığaçta akım ile gerilim

Saf dirençte akım her an gerilimle orantılıdır; ikisi aynı anda sıfırdan geçer, aynı anda tepe yapar. Bu duruma aynı fazda denir.

Bobinde durum farklıdır. Bobinin kendi akımındaki değişime karşı koyması «Öz indüksiyon» dersinin konusuydu; orada bu tepki yalnız anahtar açılıp kapanırken ortaya çıkıyordu. Alternatif akımda akım hiç durulmadığı için tepki de hiç susmaz: bobin akımın yükselmesini geciktirir ve akım tepesine gerilimden çeyrek periyot sonra ulaşır. Bobinde akım gerilimin gerisindedir. Bobinin akımı sınırlama ölçüsüne indüktif reaktans denir:

X_L = ω · L = 2π · f · L

Birimi ohm'dur. İndüktansı 0,2 H olan bobin ω = 500 rad/s'de 100 Ω'luk reaktans gösterir. Frekans arttıkça akım daha hızlı değişmek zorunda kalır, bobinin karşı koyması büyür ve reaktans frekansla doğru orantılı artar. Doğru akımda (f = 0) ideal bobin yalnızca bir tel parçasıdır.

Sığaçta ise «Sığaçlar» dersindeki q = C · V bağıntısı iş görür. Gerilim değiştikçe levhalara yük gelip gider; yük akışı en hızlı, gerilimin en hızlı değiştiği anda, yani gerilim sıfırdan geçerken olur. Akım tepesine gerilimden çeyrek periyot önce ulaşır: sığaçta akım gerilimin ilerisindedir. Kapasitif reaktans:

X_C = 1 / (ω · C) = 1 / (2π · f · C)

ω = 500 rad/s'de 40 μF'lık bir sığacın reaktansı 1 / (500 · 4 · 10⁻⁵) = 50 Ω'dur. Frekans arttıkça levhalar daha sık dolup boşalır, birim zamanda taşınan yük çoğalır ve reaktans küçülür. Doğru akımda sığaç bir kez dolduktan sonra akımı tamamen keser.

Her elemanda etkin değerler arasında Ohm benzeri bağıntı kurulur: I_etkin = V_etkin / X. İdeal bobin ve ideal sığaç enerjiyi yarım periyot depolayıp öbür yarıda kaynağa geri verdiği için ortalama güç tüketmez; güç yalnız dirençte harcanır.

Seri RLC devresi ve empedans

Direnç, bobin ve sığaç aynı akımı taşıyacak biçimde seri bağlansın. Akım her elemanda aynıdır, ama gerilimlerin tepeleri farklı anlara düşer: bobin gerilimi akımdan çeyrek periyot önde, sığaç gerilimi çeyrek periyot geride, direnç gerilimi akımla aynı fazdadır. Bobinle sığacın gerilimleri her an zıt işaretli olduğundan birbirinden çıkarılır; direncin gerilimi bu farka dik duran bir vektör gibi birleşir. Toplam karşı koymaya empedans denir:

Z = √(R² + (X_L − X_C)²) ve I_etkin = V_etkin / Z

R = 40 Ω, X_L = 100 Ω, X_C = 70 Ω olan devrede Z = √(1600 + 900) = 50 Ω'dur; 100 V etkin gerilimde 2 A etkin akım geçer ve ortalama güç I² · R = 160 W'tır. Elemanların etkin gerilimleri ayrı ayrı 80 V, 200 V ve 140 V'tur: bobinin uçlarındaki gerilim kaynağın iki katıdır. Bu bir çelişki değil; zıt fazlı bobin ve sığaç gerilimleri büyük ölçüde birbirini götürür. Gerilimleri aritmetik olarak toplayan öğrenci kaynağın 420 V vermesini bekler.

Rezonans

X_L ile X_C frekansa zıt yönlerde tepki verir; öyleyse bir frekansta eşitlenirler. ω · L = 1 / (ω · C) koşulundan rezonans açısal frekansı:

ω₀ = 1 / √(L · C) ve f₀ = 1 / (2π · √(L · C))

Rezonansta parantezin içi sıfırlanır, empedans en küçük değeri olan R'ye iner, akım en büyük olur ve akım ile kaynak gerilimi aynı fazda kalır. 0,1 H'lik bobin ile 10 μF'lık sığaç ω₀ = 1 / √(10⁻⁶) = 1000 rad/s'de rezonansa gelir. Rezonansın altındaki frekanslarda X_C baskındır ve devre sığaç gibi davranır; üstünde X_L baskındır ve devre bobin gibi davranır. Bir radyo alıcısının ayar devresi, sığaç ya da bobin değiştirilerek rezonans frekansı istenen istasyonunkine getirildiğinde o sinyale en güçlü tepkiyi verir.

Soru çözerken

Önce verilen sayının anlık, tepe ya da etkin değer olup olmadığını belirle; soru belirtmiyorsa şebeke için söylenen değer etkindir. Reaktansta ω ile f'yi karıştırma: f verilmişse 2π ile çarp. Seri devrede reaktansları çıkar, dirençle karekök içinde birleştir; gücü yalnız direnç üzerinden hesapla.

Bu derste alternatif gerilimi hep olduğu gibi kullandık. Oysa santralde üretilen gerilim evlere varmadan önce çok yükseltilip sonra yeniden düşürülür ve bunu yapan araç, ortak bir demir çekirdeğe sarılmış iki bobinden ibarettir. «Transformatörler» dersinde birinci bobindeki değişen akımın ikinci bobinde nasıl gerilim doğurduğunu, sarım sayıları oranının gerilimi nasıl belirlediğini, gerilim yükseltilirken akımın neden düştüğünü ve aynı düzeneğin doğru akımla neden çalışmadığını göreceğiz.

Örnek 1 — Jeneratörün tepe ve etkin emk'sı

Soru: Sarım sayısı 200 olan bir bobinin her halkası 0,02 m²'lik bir yüzey çevreliyor. Bobin, büyüklüğü 0,1 T olan düzgün alanda 50 Hz frekansla dönüyor. π = 3 alınız. Bobinde oluşan emk'nın tepe ve etkin değerleri nedir?

• A) ε_max = 20 V, ε_etkin ≈ 14 V
• B) ε_max = 120 V, ε_etkin = 60 V
• C) ε_max ≈ 170 V, ε_etkin = 120 V
• D) ε_max = 0,6 V, ε_etkin ≈ 0,42 V
• E) ε_max = 120 V, ε_etkin ≈ 85 V

Çözüm: Önce açısal frekans: ω = 2π · f = 2 · 3 · 50 = 300 rad/s. ε_max = N · B · A · ω = 200 · 0,1 · 0,02 · 300 = 120 V. Etkin değer tepe değerinin √2'ye bölümüdür: 120 / √2 = 60√2 ≈ 85 V. Formülde ω yerine frekansı koyan 20 V, sarım sayısını unutan 0,6 V bulur; √2 yerine 2'ye bölmek 60 V verir; hesaplanan 120 V'u etkin sanıp √2 ile çarpan da tepe için 170 V söyler. Cevap: E.

Örnek 2 — Aynı direnç, iki kaynak

Soru: Bir direnç 12 V'luk doğru gerilime bağlandığında 36 W güç harcıyor. Aynı direnç tepe değeri 12 V olan alternatif gerilime bağlanırsa ortalama güç ne olur?

• A) P = 36 W
• B) P = 18 W
• C) P = 0, çünkü gerilimin ortalaması sıfırdır
• D) P ≈ 25 W
• E) P = 72 W

Çözüm: Doğru akımdan direnç: R = 12² / 36 = 4 Ω. Alternatif gerilimin etkin değeri 12 / √2 V'tur ve P = V_etkin² / R = 72 / 4 = 18 W bulunur. Gerilimin tepesi ile doğru gerilimi eş tutan 36 W'ı, gücü √2'ye bölen yaklaşık 25 W'ı seçer. Isınma akımın karesine bağlı olduğu için ortalamanın sıfır olması gücü sıfırlamaz. Cevap: B.

Örnek 3 — Frekans dört katına çıkınca

Soru: Etkin gerilimi sabit tutulan, frekansı ayarlanabilen bir kaynağa önce yalnız bir ideal bobin, sonra yalnız bir ideal sığaç bağlanıyor. Kaynağın frekansı 50 Hz'den 200 Hz'e çıkarılırsa bobinden ve sığaçtan geçen etkin akımlar nasıl değişir?

• A) bobin akımı dörtte birine iner, sığaç akımı 4 katına çıkar
• B) iki akım da 4 katına çıkar
• C) bobin akımı 4 katına çıkar, sığaç akımı dörtte birine iner
• D) iki akım da değişmez, çünkü etkin gerilim sabittir
• E) bobin akımı yarıya iner, sığaç akımı 2 katına çıkar

Çözüm: X_L = 2π · f · L frekansla doğru orantılıdır ve 4 katına çıkar; I = V / X_L olduğundan bobin akımı dörtte birine iner. X_C = 1 / (2π · f · C) frekansla ters orantılıdır ve dörtte birine iner; sığaç akımı 4 katına çıkar. İki reaktansın yönlerini karıştıran C'yi, frekansın karekökünü alan E'yi seçer. Cevap: A.

Örnek 4 — Seri RLC devresinde akım ve güç

Soru: 120 Ω'luk direnç, 0,25 H'lik ideal bobin ve 50 μF'lık sığaç seri bağlanıp etkin değeri 260 V, açısal frekansı 400 rad/s olan kaynağa bağlanıyor. Devreden geçen etkin akım ve ortalama güç nedir?

• A) I ≈ 0,96 A, P ≈ 111 W
• B) I = 2 A, P = 520 W
• C) I ≈ 1,5 A, P ≈ 281 W
• D) I = 2 A, P = 480 W
• E) I ≈ 2,8 A, P = 960 W

Çözüm: X_L = 400 · 0,25 = 100 Ω, X_C = 1 / (400 · 5 · 10⁻⁵) = 50 Ω. Z = √(120² + 50²) = 130 Ω ve I = 260 / 130 = 2 A. Güç yalnız dirençte harcanır: P = 2² · 120 = 480 W. 520 W, kaynak gerilimiyle akımı çarpıp bobin ve sığaçta da güç harcandığını varsaymaktır. Bütün karşı koymaları düz toplayan 0,96 A'e, karekök almadan R + X_L − X_C yazan yaklaşık 1,5 A'e, akımı tepe değerine çeviren 2,8 A'e varır. Cevap: D.

• Ortalaması sıfır diye gücü sıfır sanmak. Güç akımın karesiyle orantılıdır; ortalama güç tepe değerle hesaplanan gücün yarısıdır, sıfır değildir.
• Tepe ile etkin değeri karıştırmak. Şebeke ve ölçü aletleri etkin değeri söyler; tepe değeri √2 katıdır. Tepe değerleri çarpmak gücü iki katı bulur.
• ω ile f'yi karıştırmak. ε_max = N · B · A · ω ve X_L = ω · L bağıntılarında açısal frekans vardır; frekans verildiyse 2π ile çarpılır.
• Reaktansların frekansla değişimini ters çevirmek. Bobinin reaktansı frekansla artar, sığacınki azalır; doğru akımda bobin geçirir, sığaç keser.
• Seri devrede karşı koymaları düz toplamak. Z = √(R² + (X_L − X_C)²); bobin ile sığacın reaktansları çıkarılır, eleman gerilimleri kaynak gerilimini aşabilir.
• Faz yönünü karıştırmak. Bobinde akım gerilimin gerisinde, sığaçta ilerisindedir; rezonansta akım ile gerilim aynı fazdadır.