Eğik atış

Tolga, okulun çim sahasındaki sulama fıskiyesinin başlığını ayarlıyor. Başlık yere gömülü, ağzı istenen açıya çevrilebiliyor ve su hep aynı hızla çıkıyor. Tolga'nın aklı basit: sahanın en uzak köşesine su yetiştirmek için ağzı daha dik çevirmek gerekir, çünkü su ne kadar yükselirse o kadar uzağa gidecektir. Ağzı neredeyse dik çevirince su başının üstüne kadar fışkırıyor ve ayağının dibine düşüyor. Sonra ağzı daha yatık, 37°'ye getiriyor; su sahanın ortasına iniyor. Ağzı 53°'ye kaldırınca su daha yükseğe çıkıyor, ama şaşırtıcı biçimde aynı noktaya düşüyor. Yükseklik uzaklık getirmiyorsa uzaklığı ne belirliyor? Bu derste atış hızını iki bileşene bölüp yüksekliği, havada kalma süresini ve menzili ayrı ayrı hesaplamayı öğreniyoruz.

• Eğik atılan cismin ilk hızını cos α ve sin α ile iki dik bileşene ayırırsın.
• Tepe süresini, maksimum yüksekliği, uçuş süresini ve menzili hesaplarsın.
• Aynı hızla atılan cisimlerin menzillerini atış açısına göre karşılaştırırsın.
• Yörüngenin herhangi bir anında ya da yüksekliğinde hızın büyüklüğünü bulursun.

Fıskiyenin suyu neden dik açıda yakına düşer?

Kancadaki su damlasını düşünelim. Ağızdan çıktığı an hızı belli bir yöne bakar, ama o yön iki ayrı işi birden yapar: bir kısmı damlayı yukarı taşır, öbür kısmı onu sahanın üstünde ileri götürür. Ağız dikleştikçe yukarı taşıyan pay büyür, ileri götüren pay küçülür. Damla daha uzun süre havada kalır, fakat her saniyede yatayda aldığı yol azalır. Menzil bu iki etkinin çarpımıdır; birini büyütürken öbürünü küçülten bir ayar, bir noktadan sonra uzaklığı düşürür. Eğik atışın bütün hesabı bu gözlemin sayılarla yazılmasıdır.

Hava direncini ihmal ettiğimizde damlaya yalnız ağırlığı etki eder ve ağırlık düşeydir. Yatay doğrultuda kuvvet olmadığı için yatay hız değişmez; düşey doğrultuda ise g ivmesiyle yavaşlayan, sonra hızlanan bir hareket vardır. Düşey atış dersinde yukarı atılan cismin hareketini, yatay atış dersinde de yatay ve düşey hareketin birbirini etkilemeden yan yana yürüdüğünü gördük. Eğik atışta bu iki bilgiyi birleştiriyoruz.

İlk hızı bileşenlere ayırmak

Cisim yatayla α açısı yapacak biçimde v₀ hızıyla atılsın. FZ09'daki bileşenler dersinin yöntemiyle:

• yatay bileşen: vₓ = v₀ · cos α (uçuş boyunca sabit)
• düşey bileşen: v_y0 = v₀ · sin α (başlangıçta yukarı yönlü)

Sayısal bir örnek kuralım: v₀ = 50 m/s ve α = 37° (sin 37° = 0,6; cos 37° = 0,8). Bileşenler 40 m/s (yatay) ve 30 m/s (düşey) çıkar. 40² + 30² = 50² eşitliği iki bileşenin ilk hızı eksiksiz verdiğini gösterir. Bundan sonra bu iki sayıyla ayrı ayrı çalışırız ve v₀'a ancak sonuçları birleştirirken döneriz.

Çıkış ve tepe noktası

Düşey bileşen tıpkı yukarı atılan bir cisim gibi davranır: g ivmesi onu düzgün biçimde eritir. Sıfıra indiği an cisim tepe noktasındadır. Tepeye varış için geçen süre:

t_ç = v₀ · sin α / g

Maksimum yükseklik, düşey hızın sıfıra inene kadar aldığı yoldur:

h_max = (v₀ · sin α)² / (2 · g)

50 m/s ve 37° için t_ç = 30 / 10 = 3 s, h_max = 900 / 20 = 45 m bulunur. Burada sık yapılan hata, tepe noktasında cismin durduğunu sanmaktır. Tepede yalnız düşey bileşen sıfırdır; yataydaki 40 m/s'ye dokunan bir kuvvet olmadığından cisim tepeden yere paralel olarak, yine 40 m/s'lik hızla geçer. Tepe noktasından sonrası, o yükseklikten bu hızla yapılmış bir yatay atıştır.

Uçuş süresi ve menzil

Cisim atıldığı seviyeye geri iniyorsa düşey hareket simetriktir: inişi de çıkışı kadar sürer. Uçuş süresi:

t_u = 2 · v₀ · sin α / g

Menzil, yani yatayda alınan toplam yol, sabit yatay hızla bu sürenin çarpımıdır: R = vₓ · t_u. İki ifade birleştirildiğinde R = 2 · v₀² · sin α · cos α / g çıkar; iki kat açı formülleri dersindeki sin 2α = 2 · sin α · cos α özdeşliğiyle bu ifade şu biçime girer:

R = v₀² · sin 2α / g

Örneğimizde t_u = 6 s ve R = 40 · 6 = 240 m'dir. Formülle de 2500 · 0,96 / 10 = 240 m bulunur (sin 74° = 2 · 0,6 · 0,8 = 0,96). Menzili hesaplarken çoğu zaman formül yerine vₓ · t_u çarpımını kurmak daha güvenlidir, çünkü hangi bileşenin hangi işi yaptığı gözden kaçmaz.

Yükseklik ile menzil arasında da kısa bir bağ vardır. İki formül oranlanınca h_max / R = tan α / 4 kalır. 45°'de tan α = 1 olduğundan menzil maksimum yüksekliğin dört katıdır.

Tamamlayıcı açılar ve 45°

Aynı 50 m/s ile 53° açıyla atış yapalım. Bileşenler yer değiştirir: vₓ = 30 m/s, v_y0 = 40 m/s. Cisim 4 s'de tepeye çıkar, 80 m yükselir, 8 s havada kalır ve 30 · 8 = 240 m ötede yere iner. Fıskiyenin 37° ve 53°'de suyu aynı noktaya düşürmesinin açıklaması budur: büyük açı süreyi uzatır ama yatay hızı aynı oranda kısar, iki çarpım eşit çıkar. Formülde de 2 · 37° = 74° ve 2 · 53° = 106° açılarının sinüsleri eşittir. Genel kural: toplamı 90° olan iki açıyla aynı hızda atılan cisimler, aynı seviyeye iniyorlarsa aynı menzili alır. Uçuş süreleri ve yükseklikleri ise farklıdır; yüksek giden daha uzun kalır.

sin 2α en büyük değeri olan 1'i 2α = 90°'de alır. Öyleyse aynı hızla, aynı seviyeye inen atışlarda en büyük menzil 45°'te elde edilir ve R_max = v₀² / g olur. 50 m/s için bu 250 m'dir; 37° ve 53°'ün verdiği 240 m bu değerin biraz altında kalır. 45°'ten iki yana eşit uzaklaşan açılar eşit menzil verir.

Yörüngenin bir noktasında hız

Hız her an iki bileşenin bileşkesidir: yatay bileşen sabit kalır, düşey bileşen v_y = v₀ · sin α − g · t ile değişir ve büyüklük v = √(vₓ² + v_y²) olarak bulunur. 20 m/s ile 53° açıyla atılan bir topta (sin 53° = 0,8; cos 53° = 0,6) vₓ = 12 m/s ve v_y0 = 16 m/s'dir. 0,7 s sonra düşey bileşen 9 m/s yukarı bakar; hızın karesi 144 ile 81'in toplamı olan 225'tir ve hız 15 m/s çıkar. 2,5 s sonra düşey bileşen 9 m/s aşağı bakar ve hız yine 15 m/s'dir. İki an da tepe anı olan 1,6 s'den 0,9 s uzaktadır ve top iki anda da aynı 8,75 m yüksekliktedir. Hız vektörünün yatayla yaptığı açının tanjantı v_y / vₓ ile bulunur; işareti cismin çıkışta mı inişte mi olduğunu söyler.

Zaman yerine yükseklik verilirse düşey bileşen v_y² = (v₀ · sin α)² − 2 · g · h bağıntısıyla bulunur. Aynı yükseklikten çıkarken ve inerken geçen cisim, bu yükseklikte hep aynı büyüklükte hıza sahiptir.

Yüksek bir noktadan eğik atış

Cisim yerden h yükseklikteki bir noktadan atılırsa simetri bozulur: iniş, çıkıştan uzun sürer. Bu durumda uçuş süresi düşey konum denkleminden çözülür. Yukarıyı pozitif alıp atış noktasını sıfır seçersek yer −h konumundadır:

−h = v₀ · sin α · t − ½ · g · t²

32 m yükseklikteki bir balkondan 20 m/s ile yatayın 37° üstüne atılan bir taş için vₓ = 16 m/s ve v_y0 = 12 m/s'dir. Denklem 5 · t² − 12 · t − 32 = 0 olur ve pozitif kök t = 4 s'dir. Taş balkonun dibinden 16 · 4 = 64 m ötede yere değer. Aynı seviye formülü 38,4 m verirdi; o formül burada geçmez. Cisim yatayın altına doğru atılmışsa düşey bileşen başından aşağı bakar ve denklemde işaret değişir. Yüksekten yapılan atışta en uzağa giden açı da artık 45° değildir, 45°'ten küçük bir açıdır.

Bir eğik atış sorusunu kurarken

Önce ilk hız bileşenlerine ayrılır. Yatay hareket sabit hızla, düşey hareket g ivmesiyle ayrı ayrı yazılır; iki hareketi bağlayan tek nicelik zamandır. Soru aynı seviyeye inişse t_ç, h_max, t_u ve R formülleri doğrudan kullanılır; yükseklik farkı varsa süre konum denkleminden çözülür. Hız sorulduğunda bileşenler yeniden birleştirilir.

Yüksekten atılan taşın yere çarpma hızına dikkatle bakmak bir ipucu verir. Düşey bileşenin karesi düşülen yükseklikle doğrusal büyür, yatay bileşen hiç değişmez; böylece varış hızı, atış açısından bağımsız olarak yalnız ilk hıza ve iki nokta arasındaki yükseklik farkına bağlı çıkar. Hızın büyüklüğündeki bu değişim, yerçekiminin cisim üzerinde yaptığı işle ölçülebilir. Bir cisme yapılan net işin onun kinetik enerjisini ne kadar değiştirdiğini söyleyen iş-enerji teoremi, sıradaki dersin konusudur.

Örnek 1 — Maksimum yükseklik

Soru: Selin, yerdeki bir futbol topuna yatayla 53° açı yapacak biçimde 30 m/s hız kazandıran bir vuruş yapıyor. Hava direnci ihmal ediliyor. Topun vurulduğu noktanın üstünde çıkabildiği en büyük yükseklik nedir? [g = 10 m/s², cos 53° = 0,6, sin 53° = 0,8]

• A) h_max = 16,2
• B) h_max = 45
• C) h_max = 57,6
• D) h_max = 28,8
• E) h_max = 43,2

Çözüm: Düşey bileşen 30 · 0,8 = 24 m/s'dir. Yükseklik 24² / 20 = 28,8 m, tepeye çıkış 2,4 s sürer. 45 m, hızın tamamı düşey sanılınca; 16,2 m, sinüs yerine kosinüs kullanılınca; 57,6 m, paydadaki 2 unutulunca çıkar. 43,2 m ise topun tepeye varana dek yatayda aldığı yoldur (18 · 2,4). Cevap: D.

Örnek 2 — Menzil

Soru: Sahadaki fıskiyeden çıkan su, yerle aynı seviyedeki ağızdan yatayla 37° açıyla 20 m/s hızla fışkırıyor. Hava direnci ihmal edilirse suyun ağızdan yatayda ne kadar uzağa indiğini bulunuz. [g = 10 m/s², cos 37° = 0,8, sin 37° = 0,6]

• A) R = 40
• B) R = 38,4
• C) R = 19,2
• D) R = 24
• E) R = 76,8

Çözüm: Bileşenler vₓ = 16 m/s ve v_y0 = 12 m/s. Tepe süresi 1,2 s, uçuş süresi 2,4 s, menzil 16 · 2,4 = 38,4 m. Formül de 400 · 0,96 / 10 = 38,4 verir. 40 m, açı 45° sanılırsa bulunan en büyük menzildir; 19,2 m, sin 2α yerine sin α · cos α yazılınca; 24 m, sin 2α yerine sin α alınınca; 76,8 m, uçuş süresi iki kez katlanınca çıkar. Su 53° ile de aynı hızda fışkırsaydı yine 38,4 m'ye inerdi. Cevap: B.

Örnek 3 — Bir andaki hız

Soru: Suat, düz bir çayırda bir taşı yatayla 53° açıyla 20 m/s hızla fırlatıyor. Atıştan 2,5 s sonra taşın hızının büyüklüğü nedir? [g = 10 m/s², cos 53° = 0,6, sin 53° = 0,8, hava direnci yok]

• A) v = 20
• B) v = 12
• C) v = 9
• D) v = 21
• E) v = 15

Çözüm: vₓ = 12 m/s sabittir. Düşey bileşen 16 − 10 · 2,5 = −9 m/s, yani 9 m/s aşağı yönlüdür; taş tepeyi 1,6 s'de geçmiş ve inmektedir (uçuş süresi 3,2 s olduğundan henüz yere değmemiştir). Hız √(12² + 9²) = 15 m/s. 12 m/s yalnız tepe noktasındaki hızdır; 9 m/s yalnız düşey bileşendir; 21 m/s bileşenleri vektör olarak değil sayı olarak toplamaktan, 20 m/s ise hızın değişmediğini sanmaktan gelir. Cevap: E.

Örnek 4 — Balkondan eğik atış

Soru: Bir apartmanın yerden 32 m yüksekteki balkonundan bir taş, yatayın 37° üstüne 20 m/s hızla atılıyor. Taşın yere değdiği nokta, balkonun tam altındaki noktadan yatayda ne kadar uzaktadır? [g = 10 m/s², cos 37° = 0,8, sin 37° = 0,6, hava direnci yok]

• A) x = 64
• B) x = 38,4
• C) x ≈ 40,5
• D) x = 25,6
• E) x = 80

Çözüm: vₓ = 16 m/s, v_y0 = 12 m/s yukarı. Yukarı pozitif alınırsa −32 = 12 · t − 5 · t², yani 5 · t² − 12 · t − 32 = 0 ve pozitif kök t = 4 s. Yatay yol 16 · 4 = 64 m. 38,4 m aynı seviye menzil formülünden, yaklaşık 40,5 m taşı yatay atılmış sayıp t = √6,4 s almaktan, 25,6 m ise düşey bileşeni aşağı yönlü yazıp t = 1,6 s bulmaktan gelir. 80 m, yatay hız yerine 20 m/s'lik ilk hızla çarpmanın sonucudur. Cevap: A.

• Tepe noktasında hızı sıfır sanmak. Tepede yalnız düşey bileşen sıfırdır; cisim v₀ · cos α hızıyla yatay geçer. İvme de tepede sıfır değildir, uçuşun her anında g'dir ve aşağı bakar.
• Bileşenlerde sin ile cos'u yer değiştirmek. Açı yatayla ölçülüyorsa düşey bileşen sin α, yatay bileşen cos α ile yazılır. Açı düşeyle veriliyorsa ikisi yer değiştirir; önce açının neyle ölçüldüğüne bakılır.
• Daha yüksek gidenin daha uzağa gideceğini sanmak. Aynı hızla 37° ve 53°'de atılan cisimler aynı yere iner; dikleşmek havada kalma süresini uzatırken yatay hızı azaltır.
• Aynı seviye formüllerini yüksek bir noktadan atışta kullanmak. R = v₀² · sin 2α / g ve t_u = 2 · v₀ · sin α / g yalnız atış ve iniş seviyesi aynıysa geçerlidir; yükseklik farkı varsa süre konum denkleminden çözülür ve 45° en uzak açı olmaktan çıkar.
• Bir andaki hızı bileşenleri sayı gibi toplayarak bulmak. Hızın büyüklüğü √(vₓ² + v_y²) ile bulunur; 12 ve 9 m/s'lik bileşenler 21 değil 15 m/s verir.