Yatay atış

Poyraz mutfak tezgâhının kenarına iki gazoz kapağı koyuyor. Birini cetvelle sertçe itip tezgâhtan fırlatacak, ablası Zerrin de aynı anda öbürünü parmağıyla kenardan düşürecek. Poyraz iddiaya giriyor: itilen kapak buzdolabına kadar uzun bir yol gideceği için yere daha geç varacak, iki ayrı «tık» duyulacak. Zerrin gözlerini kapatıp dinliyor. Kapaklardan biri tezgâhın dibine, öbürü buzdolabının önüne düşüyor, ama fayanstan tek bir ses geliyor. Poyraz bu kez kapağı daha da sert itiyor; kapak bu sefer kapının eşiğine kadar gidiyor ve ses yine tek. İtme hızı kapağın nereye ineceğini belirlemiş, havada geçen süreye ise dokunmamış. Bu derste yatay atılan bir cismin hareketini birbirinden bağımsız iki harekete ayırıp süreyi, menzili ve yere çarpma hızını hesaplıyoruz.

• Yatay atışı yatayda sabit hızlı hareket ile düşeyde serbest düşmeye ayırır, her birini ayrı denklemle yazarsın.
• Uçuş süresini yalnız yükseklikten, menzili ilk hız ile uçuş süresinden bulursun.
• Yere çarpma hızının büyüklüğünü ve yatayla yaptığı açıyı bileşenlerden hesaplarsın.
• Hareketli bir araçtan bırakılan cismin yolunu araçtaki ve yerdeki gözlemciye göre ayrı ayrı betimlersin.

Yana gitmek düşmeyi yavaşlatmaz

Kancadaki kapağı tezgâhtan ayrıldığı anda iki yönden izleyelim. Tepeden bakan biri kapağı düz bir çizgi boyunca, hiç hızlanmadan ve yavaşlamadan ilerlerken görür, çünkü hava direncini ihmal edersek kapağa yatay doğrultuda hiçbir kuvvet etki etmez. Yan duvardan bakan biri ise yalnız aşağı inişi görür ve bu iniş, elden bırakılan kapağın inişinden ayırt edilemez. Ağırlık düşeydir; yatay hızı ne büyütür ne küçültür, yatay hız da düşüşe karışmaz. «Vektörlerde toplama ve bileşenler» dersinde bir oku birbirine dik iki parçaya ayırmıştık. Yatay atışta konumu, hızı ve ivmeyi aynı biçimde yatay ve düşey bileşenlere ayırırız ve her bileşen kendi denklemine uyar. Bu derste havanın direnci hesaba girmez; g değeri her yerde 10 m/s².

Yatay doğrultu: ivmesiz hareket

Cisim v₀ hızıyla yatay atılmışsa yatay hız bileşeni yol boyunca v₀ olarak kalır. t saniyede yatayda aldığı yol:

x = v₀ · t

Bir saniye sonra da üç saniye sonra da hızın yatay parçası değişmemiştir; artan yalnız düşey parçadır. Eşit zaman aralıklarında yatayda eşit yollar alınır.

Düşey doğrultu: ilk hızsız düşüş

Yatay atılan cismin atıldığı anda düşey hızı sıfırdır. Bu yüzden düşey hareket, «Serbest düşme» dersinde kurduğumuz harekettir: aşağı yönde g ivmesi, ilk hız sıfır. Atış noktasından aşağı doğru ölçülen düşüş miktarına y dersek

y = ½ · g · t² ve v_y = g · t

olur. Düşey ilk hızın sıfırdan farklı olduğu yukarı ve aşağı atışları bir önceki derste gördük; yatay atış, düşey bileşeni sıfırdan başlayan özel durumdur. Ardışık birer saniyelik aralıklarda düşey düşüşler 5 m, 15 m, 25 m diye artar ve 1 : 3 : 5 oranını izler; aynı aralıklarda yatay yollar ise hep eşittir.

Uçuş süresi yalnız yüksekliğe bağlıdır

Cisim h yüksekliğinden atıldıysa yere, düşey düşüşü h olduğunda varır: h = ½ · g · t². Buradan

t = √(2h / g)

çıkar ve bu ifadede v₀ yoktur. Kancadaki sesin tek gelmesi buradan anlaşılır. Yükseklik 5 m ise uçuş 1 s, 20 m ise 2 s, 45 m ise 3 s sürer. Süre yüksekliğin kareköküyle büyür: dört kat yüksekten atılan cisim iki kat uzun uçar. 80 cm'lik bir masanın kenarından yuvarlanan bilye 0,4 s'de yere iner, masadan ister yavaş ister hızlı çıksın.

Menzil

Cismin atıldığı noktanın tam altından yere değdiği noktaya kadar yatay uzaklık menzildir. Uçuş süresi boyunca yatay hız değişmediği için

x = v₀ · √(2h / g)

yazılır. 45 m yüksekliğindeki bir yarın kenarından 12 m/s ile yatay atılan taş 3 s uçar ve 36 m öteye düşer. Menzil ilk hızla doğru orantılıdır, yükseklikle ise daha yavaş, karekökü oranında büyür. Aynı yükseklikte ilk hızı iki katına çıkarmak menzili iki katına çıkarır; aynı ilk hızla menzili iki katına çıkarmak içinse yüksekliği dört katına çıkarmak gerekir.

Yere çarpma hızı ve açısı

Yere değme anında hızın iki bileşeni vardır: yatayda v₀, düşeyde g · t. Bu iki bileşen birbirine diktir; bileşke, Pisagor bağıntısıyla bulunur ve hız vektörünün yatayla yaptığı α açısı bileşenlerin oranından okunur:

v = √(v₀² + (g · t)²) ve tan α = g · t / v₀

20 m yükseklikten 15 m/s ile yatay atılan cisim 2 s uçar; düşey bileşen 20 m/s, bileşke 25 m/s olur. tan α = 20 / 15 = 4/3 olduğundan (sinüsü 0,8 olan açı 53°'dir) hız yatayla 53° açı yapar. Aynı sonuca enerji yoluyla da varılır: v² = v₀² + 2 · g · h = 225 + 400 = 625. Çarpma hızı v₀'dan büyüktür ama v₀ ile g · t'nin toplamı değildir; bileşenler dik olduğu için skaler toplama yanlış sonuç verir.

Bırakılan ve atılan cisim yan yana

Aynı yükseklikten aynı anda biri elden bırakılan, biri yatay atılan iki cisim düşeyde aynı denkleme uyar. Her an aynı yükseklikte bulunurlar, yere de aynı anda değerler. Aralarındaki fark yalnız yataydadır: atılan cisim her saniye v₀ kadar yana açılır. Tersine, farklı yüksekliklerden atılan iki cisim, ilk hızları ne olursa olsun, alçaktaki önce yere iner.

Yörünge denklemi

Zamanı iki denklemin arasından çıkarırsak yolun biçimi görünür. x = v₀ · t eşitliğinden t = x / v₀ yazılıp düşey denkleme konursa

y = g · x² / (2 · v₀²)

elde edilir. Düşüş, yatay uzaklığın karesiyle artar: yol bir paraboldür. 10 m/s ile atılan cisim yatayda 10 m ilerlediğinde 5 m düşmüştür; 20 m ilerlediğinde 20 m. Yatay uzaklık iki katına çıkınca düşüş dört katına çıkar. Bu denklem, cismin bir duvara, bir basamağa ya da eğimli bir yamaca nerede değeceğini sorularda zamanı hiç bulmadan hesaplamaya izin verir.

Hareketli araçtan bırakılan cisim

Sabit hızla giden bir trende oturan yolcu elindeki anahtarı bırakırsa anahtar, trenle aynı yatay hıza sahip olarak yola çıkar. Yolcuya göre anahtarın yatay hızı sıfırdır; anahtar ona göre dümdüz aşağı iner ve ayağının dibine düşer. Raylar boyunca bekleyen birine göre ise anahtar, trenin hızıyla yatay atılmış bir cisimdir ve parabol çizer. TYT'deki «Bağıl hareket» dersinin kuralı burada da işler: cismin yere göre hızı, araca göre hızı ile aracın yere göre hızının vektör toplamıdır. Yatayda 15 m/s ile uçan bir kargo drone'u 80 m yükseklikte bir paket bırakırsa paket 4 s düşer ve bırakıldığı noktanın altından 60 m ileride yere iner. Drone hızını değiştirmeden uçmayı sürdürürse o anda paketin tam üstündedir. Araçtan cisim geriye doğru atılırsa yere göre yatay hız, iki hızın farkıdır ve bu fark sıfırsa yerdeki gözlemci cismi düşey bir çizgide düşerken görür.

Yatay atış sorusunun sırası

Önce yükseklikten uçuş süresi bulunur, çünkü süre iki doğrultunun ortak değişkenidir. Sonra yatay soru süreyle (x = v₀ · t), düşey soru yine süreyle (v_y = g · t, y = ½ · g · t²) çözülür. Hız ya da açı sorulduysa iki bileşen ayrı ayrı yazılıp dik toplanır. Araç varsa önce yere göre yatay hız belirlenir.

Atışın başlangıcında hız tam yatay değil de yatayla bir açı yapsaydı ne değişirdi? İlk hız bu kez bir yatay ve bir yukarı bileşene ayrılır; cisim önce yükselir, en tepede düşey hızı sıfıra iner ve oradan sonrası tam olarak bu dersteki harekettir. Çıkılan en büyük yüksekliğin ve yerdeki menzilin atış açısına nasıl bağlandığı, menzilin hangi açıda en büyük olduğu «Eğik atış» dersinin konusu.

Örnek 1 — Menzil

Soru: Özcan, 45 metrelik bir yarın kenarından bir taşı yatay doğrultuda 8 m/s ile atıyor; havanın etkisini hesaba katmayın, düşüşü hızlandıran ivme 10 m/s² olsun. Taş, atıldığı noktanın tam altındaki zeminden kaç metre ötede yere iner?

• A) x = 12√2
• B) x = 72
• C) x = 24
• D) x = 36
• E) x = 30

Çözüm: Uçuş süresi √(2 · 45 / 10) = 3 s'dir. Yatay hız değişmediği için menzil 8 · 3 = 24 m olur. ½ unutulup 45 = 10 · t² yazılırsa süre √4,5 çıkar ve 12√2 m bulunur; t² = 9 değeri süre sanılırsa 72 m, süre h / g = 4,5 s alınırsa 36 m çıkar. 30, yere çarparken düşey hızın m/s cinsinden değeridir, yol değildir. Cevap: C.

Örnek 2 — Çarpma hızı ve açısı

Soru: 45 m yükseklikteki bir terastan 40 m/s ile yatay atılan bir cisim için yere değdiği andaki hızın büyüklüğü ve yatayla yaptığı açı nedir? Terasta düşüş ivmesi 10 m/s²; 37°'nin sinüsü 0,6, kosinüsü 0,8.

• A) 50 m/s, yatayla 53°
• B) 70 m/s, yatayla 37°
• C) 30 m/s, yere dik
• D) 50 m/s, yatayla 37°
• E) 40 m/s, yatayla 37°

Çözüm: Uçuş 3 s sürer ve düşey bileşen 10 · 3 = 30 m/s olur. Yatay bileşen 40 m/s'dir; bileşke √(1600 + 900) = 50 m/s. tan α = 30 / 40 = 0,75 olduğundan açı 37°'dir. Oran ters kurulursa 53°, bileşenler sayı gibi toplanırsa 70 m/s, yalnız düşey bileşen alınırsa 30 m/s, yatay hızın değişmediği bilgisi büyüklüğe taşınırsa 40 m/s bulunur. Cevap: D.

Örnek 3 — Uçan araçtan bırakılan paket

Soru: Yerden 80 m yükseklikte, yatay doğrultuda sabit 15 m/s hızla uçan bir drone bir paketi bırakıyor ve hızını değiştirmeden uçmayı sürdürüyor. Pakete havanın uyguladığı kuvveti önemsemeyin ve düşüş ivmesini 10 m/s² sayın. Paket yere değdiği anda aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

• A) Paket, bırakıldığı noktanın tam altına düşer; drone 60 m ileridedir.
• B) Paket, bırakıldığı noktanın 60 m ilerisine düşer; drone onun tam üstündedir.
• C) Paket, bırakıldığı noktanın 60 m ilerisine düşer; drone 60 m daha ileridedir.
• D) Paket, bırakıldığı noktanın 30 m ilerisine düşer; drone 30 m daha ileridedir.
• E) Paket, bırakıldığı noktanın 120 m ilerisine düşer; drone onun tam üstündedir.

Çözüm: Paket drone'un yatay hızını alarak yola çıkar ve yatay atılmış bir cisim gibi hareket eder. Düşüş √(2 · 80 / 10) = 4 s sürer; paket yatayda 15 · 4 = 60 m ilerler. Drone da aynı 4 saniyede aynı hızla 60 m ilerlediği için paketin tam üstündedir. A seçeneği, paketin yatay hız taşımadığını sanmaktan gelir; 30 m, süreyi 2 s almaktan, 120 m süreyi 8 s almaktan doğar. Cevap: B.

Örnek 4 — Yamaca düşen top

Soru: Yatayla 37° açı yapan bir yamacın tepesinden bir top 20 m/s ile yatay atılıyor ve yamaca düşüyor. Hesapta sin 37° yerine 0,6, cos 37° yerine 0,8, g yerine 10 m/s² yazılırsa top, yamaç üzerinde atıldığı noktadan ne kadar uzağa düşer?

• A) uzaklık = 60
• B) uzaklık = 37,5
• C) uzaklık = 105
• D) uzaklık = 45
• E) uzaklık = 75

Çözüm: Top yamaca değdiğinde düşüş ile yatay uzaklığın oranı yamacın eğimine eşittir: y / x = tan 37° = 0,75. Yörünge denkleminden y / x = g · x / (2 · v₀²) = 10 · x / 800 yazılır ve x = 60 m bulunur. Düşüş 10 · 3600 / 800 = 45 m'dir (uçuş süresi 3 s). Yamaç boyunca uzaklık √(60² + 45²) = 75 m. Denklemdeki 2 unutulursa x = 30 m ve uzaklık 37,5 m çıkar; 60 ve 45 yalnız bileşenlerdir, 105 ise bileşenlerin sayı gibi toplanmasıdır. Cevap: E.

• Hızlı atılan cismin havada daha uzun kaldığını sanmak. Uçuş süresi √(2h / g)'dir ve ilk hıza bağlı değildir; hız yalnız menzili büyütür.
• Yatay hızın da zamanla değiştiğini düşünmek. Hava direnci ihmal edildiğinde yatayda kuvvet yoktur; yatay bileşen yere değene kadar v₀ olarak kalır.
• Çarpma hızını v₀ + g · t diye toplamak. Bileşenler birbirine diktir; büyüklük √(v₀² + (g · t)²) ile bulunur.
• Açıyı ters orandan okumak. Yatayla yapılan açıda tan α = düşey bileşen / yatay bileşen; düşeyle yapılan açı istenirse oran ters çevrilir.
• Araçtan bırakılan cismin düz aşağı düştüğünü her gözlemci için söylemek. Bu yalnız araçtakine göre doğrudur; yerdeki gözlemci aynı cismi aracın hızıyla atılmış gibi parabol çizerken görür.
• Yörünge denkleminde 2'yi ya da kareyi düşürmek. y = g · x² / (2 · v₀²); x iki katına çıkınca düşüş dört katına çıkar.