Bağıl hareket ve nehir problemleri

Feride yaz kampında ilk kez kanoya biniyor. Karşı kıyıdaki iskele tam önünde, aradaki su 80 metre kadar; kanonun burnunu iskeleye çevirip kürek çekmeye başlıyor. Yarı yolda başını kaldırdığında iskelenin artık sağ tarafında kaldığını görüyor; kıyıya vardığında iskeleden epey aşağıdadır. Ertesi gün eğitmen ona burnu biraz akıntıya karşı çevirmesini söylüyor. Bu kez kano yan yan gidiyor gibi görünse de doğruca iskeleye yanaşıyor, ama karşıya geçmek daha uzun sürüyor. Feride iki gün arka arkaya aynı kürek gücüyle iki farklı yol izledi ve iki farklı süre ölçtü. Hangisini seçeceği, varmak istediği yere ya da yetişmek istediği saate bağlı. Bu derste o seçimin hesabını iki boyutlu bağıl hızla kuruyoruz.

• Bağıl hız vektörünü gözlemcinin hızını çıkararak iki boyutta bileşenleriyle hesaplarsın.
• Yağmurun ve dik yollarda giden araçların hareketli gözlemciden görülen hızını ve açısını bulursun.
• Nehirde geçiş süresini suya göre hızın dik bileşeninden, sürüklenmeyi kıyıya paralel bileşenlerden hesaplarsın.
• En kısa sürede geçiş ile en kısa yoldan geçişi ayırır, gidiş-dönüş sürelerini karşılaştırırsın.

Tek doğrultudan düzleme

TYT'deki «Bağıl hareket» dersinde aynı yolda ya da karşı şeritte giden araçlar için bağıl hızı işaretli sayılarla bulmuştuk: cismin hızından gözlemcinin hızı çıkarılıyordu. Kural düzlemde de aynıdır, yalnız çıkarma artık vektörlerle yapılır:

v(A'ya göre B) = vB − vA

Vektörden bir vektörü çıkarmak, gözlemcinin hızının tersini cismin hızına eklemek demektir: vB + (−vA). Önceki derste vektörleri x ve y bileşenlerine ayırıp bileşenleri ayrı ayrı toplamayı gördük; bağıl hızda da en güvenli yol budur. Her hız yere göre ve bileşenleriyle yazılır, x bileşenleri kendi aralarında, y bileşenleri kendi aralarında çıkarılır, sonra büyüklük Pisagor bağıntısıyla, yön ise bileşenlerin oranıyla bulunur.

Dik yollarda giden iki araç

Bir kavşaktan A aracı doğuya 12 m/s, B aracı kuzeye 16 m/s hızla uzaklaşıyor olsun. Doğuyu +x, kuzeyi +y alalım: vA = (12, 0), vB = (0, 16). A'daki yolcunun gördüğü hız (0 − 12, 16 − 0) = (−12, 16) olur; büyüklüğü √(144 + 256) = 20 m/s'dir. Yolcu B'yi kuzeybatı yönünde, kuzey doğrultusuyla tan α = 12/16 = 0,75 bağıntısını sağlayan, yani 37°'lik açı yapan bir doğrultuda uzaklaşıyor görür. B'deki yolcu ise A'yı aynı büyüklükte ama tam ters yönde, güneydoğuya doğru giderken izler. İki aracın birbirinden uzaklaşma hızı 12 + 16 = 28 m/s değildir; o toplam yalnız zıt yönlerde ve aynı doğrultuda geçerliydi.

Yağmurun eğik görünmesi

Rüzgârsız bir günde yağmur damlaları yere göre düşey olarak 12 m/s ile iniyor, bir otobüs de yatay yolda 9 m/s ile ilerliyor olsun. Yolcuya göre damlanın hızı, damlanın hızından otobüsün hızı çıkarılarak bulunur: yatay bileşen −9, düşey bileşen −12. Büyüklük √(81 + 144) = 15 m/s'dir. Damlanın camda bıraktığı iz düşeyle tan α = 9/12 = 0,75 açısını, yani 37°'yi yapar ve otobüsün gidiş yönünün tersine yatıktır. Otobüs hızlandıkça yatay bileşen büyür, iz daha da yatar.

Rüzgâr damlalara yatay bir hız da verebilir. Yağmur doğuya 4 m/s yatay ve aşağı 12 m/s düşey bileşenle yağıyorsa, doğuya 4 m/s hızla pedal çeviren bir bisikletli yatay bileşeni tamamen siler ve damlaları tam düşey görür. Yağmuru düşey gören gözlemcinin yatay hızı, yağmurun yatay bileşenine eşittir.

Nehirde üç hız

Nehir sorularında üç hız birbirine karıştırılmamalıdır. Akıntı hızı va, suyun kıyıya göre hızıdır. Teknenin ya da yüzücünün suya göre hızı vs, kürek ya da motorun kazandırdığı hızdır ve teknenin burnu bu hızın yönünü gösterir. Kıyıdaki birinin gördüğü hız ise bu ikisinin vektörel toplamıdır:

v(kıyıya göre) = vs + va

Koordinatları akıntı yönü +x, karşı kıyıya doğru +y olacak biçimde seçelim. Akıntı yalnız x bileşenine katkı verir; y bileşeni yalnız teknenin suya göre hızından gelir.

Geçiş süresini belirleyen bileşen

Teknenin karşı kıyıya ulaşması y yönündeki hareketle ilgilidir ve akıntının y bileşeni sıfırdır. Bu yüzden geçiş süresi yalnız vs'nin kıyıya dik bileşenine bağlıdır:

t = d / vs⊥

Burada d nehrin genişliğidir. Akıntı ne kadar hızlı olursa olsun bu süreyi uzatmaz ya da kısaltmaz. Sürüklenme miktarı ise x yönündeki net hızla bulunur: x = (va + vs∥) · t. vs∥ teknenin suya göre hızının kıyıya paralel bileşenidir; akıntı yönündeyse artı, akıntıya karşıysa eksi alınır. Burun tam karşıya dönükse vs∥ sıfırdır ve sürüklenme TYT'de gördüğümüz x = va · t biçimine iner.

Örnek: suya göre 10 m/s hızı olan bir motor, burnu kıyıyla akıntı yönünde 53° yapacak biçimde 160 m genişliğindeki nehre giriyor; akıntı 2 m/s'dir (sin 53° = 0,8, cos 53° = 0,6). Dik bileşen 10 · 0,8 = 8 m/s olduğundan geçiş 160 / 8 = 20 s sürer. Kıyıya paralel net hız 6 + 2 = 8 m/s'dir; motor karşı kıyıya 8 · 20 = 160 m aşağıda çıkar.

En kısa sürede geçiş

t = d / vs⊥ bağıntısında pay sabit olduğuna göre süre, dik bileşen en büyük olunca en küçük olur. Bu da burun tam karşı kıyıya çevrilince sağlanır: vs⊥ = vs ve t(en kısa) = d / vs. Bedeli sürüklenmedir; tekne iskelenin va · d / vs kadar aşağısına varır. Kancadaki ilk gün tam olarak budur.

En kısa yoldan geçiş

Karşı kıyıda tam karşıdaki noktaya varmak için kıyıya göre hızın x bileşeni sıfır olmalıdır. Bunun yolu burnu akıntıya karşı eğmek ve suya göre hızın kıyıya paralel bileşenini akıntıya eşitlemektir. Burun ile akıntıya karşı kıyı doğrultusu arasındaki açı θ ise:

vs · cos θ = va, yani cos θ = va / vs

Bu durumda kıyıya göre hız tam karşıya yönelir ve büyüklüğü √(vs² − va²) olur. Örneğin vs = 5 m/s, va = 3 m/s ise cos θ = 0,6, θ = 53°'dir; kıyıya göre hız 4 m/s'dir ve 80 m'lik nehir 20 s'de geçilir. Aynı nehirde burun tam karşıya tutulsaydı geçiş 80 / 5 = 16 s sürerdi. En kısa yol, en kısa süre değildir; iki hedef ayrı yönelişler ister.

Bu yöneliş yalnız vs > va iken mümkündür. Akıntı suya göre hızı yakalar ya da geçerse paralel bileşen akıntıyı hiçbir açıda dengeleyemez ve tekne mutlaka aşağıda bir yere çıkar. O durumda yapılabilecek en iyi şey sürüklenmeyi azaltmaktır: burnu akıntıya karşı, cos θ = vs / va olacak açıyla tutmak kıyıya göre hızı kıyıdan en dik açıyla ayırır.

Akıntı boyunca gidip dönmek

Tekne akıntı yönünde L kadar gidip geri dönerse gidişte vs + va, dönüşte vs − va hızıyla ilerler. Toplam süre L / (vs + va) + L / (vs − va) olur. Akıntıyla kazanılan süre, akıntıya karşı kaybedilenden azdır; çünkü tekne yavaş olduğu kısımda daha uzun kalır. vs = 5 m/s, va = 3 m/s ve L = 120 m için gidiş 15 s, dönüş 60 s, toplam 75 s eder; durgun suda aynı iş 48 s sürerdi. Aynı tekne 120 m genişliğinde bir nehrin karşısına en kısa yoldan gidip dönseydi 2 · 120 / 4 = 60 s harcardı. Akıntı her iki gidiş-dönüşü de uzatır, ama akıntı boyunca olanı daha çok.

Suyu gözlemci almak

Aynı nehirdeki iki tekne ya da bir tekne ile suda yüzen bir top arasındaki bağıl hızda akıntı iki tarafa da eşit eklenir ve çıkarmada kaybolur. Bu yüzden böyle sorularda gözlemciyi suyun üstüne koymak hesabı sadeleştirir: suya göre top durur, tekne yalnız kendi motor hızıyla gider. Tekne topu bırakıp 10 dakika uzaklaşırsa, aynı motor hızıyla dönüşü de suya göre 10 dakika sürer; top bu 20 dakika boyunca akıntıyla sürüklenmiştir.

Soru çözme sırası

Önce gözlemci ve eksenler seçilir. Hızlar yere göre bileşenleriyle yazılır; bağıl hız için gözlemcinin bileşenleri çıkarılır. Nehirde süre dik bileşenden, varış noktası paralel bileşenlerin toplamından bulunur. Soru «en kısa süre» mi, «en kısa yol» mu, bunu baştan ayırmak yönelişi belirler.

Bu derste hızların yalnız nasıl toplandığına baktık; tekneyi hızlandıran ya da yavaşlatan kuvveti hiç sormadık. Sıradaki derste kuvvet vektörleri öne çıkıyor: iple bağlı cisimler ortak bir ivmeyle hareket eder, ve bir makaradan sarkan kütle hızlanarak inerken ipteki gerilme o kütlenin ağırlığına eşit kalmaz. Gerilmenin gerçek değeri, cisimlerden biri tek başına ele alınıp ona etkiyen kuvvetler sayılınca ortaya çıkar.

Örnek 1 — Dik yollarda bağıl hız

Soru: Parkta kuzeye 9 m/s hızla patenle kayan Ferhat, doğuya 12 m/s hızla pedal çeviren bir bisikletliyi izliyor. Ferhat'a göre bisikletlinin hızı nedir?

• A) 21 m/s, kuzeydoğuya doğru
• B) 3 m/s, güneye doğru
• C) 15 m/s, kuzeydoğuya doğru
• D) 15 m/s, güneydoğuya doğru
• E) 15 m/s, kuzeybatıya doğru

Çözüm: Doğu +x, kuzey +y alınırsa bisikletlinin hızı (12, 0), Ferhat'ınki (0, 9)'dur. Fark (12, −9) olur; büyüklük √(144 + 81) = 15 m/s, yön doğu ile güneyin arası, yani güneydoğudur. A seçeneği büyüklükleri toplar, C seçeneği Ferhat'ın hızını çıkarmak yerine ekler. Cevap: D.

Örnek 2 — Yağmurun açısı

Soru: Rüzgârsız havada yağmur yere göre düşey olarak 15 m/s ile yağıyor. 20 m/s hızla yatay raylarda ilerleyen trenin yolcusuna göre damlaların düşeyle yaptığı açı kaç derecedir? (sin 37° = 0,6, cos 37° = 0,8)

• A) α = 37°
• B) α = 45°
• C) α = 53°
• D) α = 90°
• E) α = 0°

Çözüm: Yolcuya göre damlanın yatay bileşeni 20, düşey bileşeni 15 m/s'dir. Düşeyle yapılan açı için tan α = yatay / düşey = 20 / 15 = 4/3, buradan α = 53°. Oranı ters kuran 37°'yi bulur; o, damlanın yatayla yaptığı açıdır. Cevap: C.

Örnek 3 — Eğik yönelişte sürüklenme

Soru: Suya göre hızı 10 m/s olan bir motor, burnu kıyıyla akıntı yönünde 37° açı yapacak biçimde 90 m genişliğindeki nehre giriyor. Akıntı 4 m/s'dir (sin 37° = 0,6, cos 37° = 0,8). Motor karşı kıyıya, giriş noktasının tam karşısından kaç metre aşağıda varır?

• A) x = 60 m
• B) x = 120 m
• C) x = 36 m
• D) x = 90 m
• E) x = 180 m

Çözüm: Dik bileşen 10 · 0,6 = 6 m/s, geçiş süresi 90 / 6 = 15 s. Kıyıya paralel net hız 8 + 4 = 12 m/s olduğundan sürüklenme 12 · 15 = 180 m. Yalnız akıntıyı hesaba katan 60 m'yi, yalnız motorun paralel bileşenini katan 120 m'yi bulur. Cevap: E.

Örnek 4 — En kısa yol

Soru: Suya göre 5 m/s hızla kürek çeken Gonca, akıntı hızı 4 m/s olan 60 m genişliğindeki bir nehri tam karşıdaki noktaya varacak biçimde geçiyor. Geçiş kaç saniye sürer?

• A) t = 20 s
• B) t = 12 s
• C) t = 15 s
• D) t = 60 s
• E) t = 6,7 s

Çözüm: Tam karşıya varmak için akıntıya karşı bileşen 4 m/s olmalı; geriye kalan dik bileşen √(25 − 16) = 3 m/s'dir. Süre 60 / 3 = 20 s. B seçeneği en kısa süreli geçişin cevabıdır (60 / 5); bu soruda burun tam karşıya bakmıyor. Cevap: A.

• Gözlemcinin hızını eklemek. Bağıl hızda gözlemcinin hızı çıkarılır; dik yollarda bu, onun bileşenlerinin işaretini çevirip eklemek demektir.
• Dik hızların büyüklüklerini toplamak ya da çıkarmak. Dik giden iki araç birbirinden 28 değil, Pisagor ile bulunan 20 m/s ile uzaklaşabilir; bileşen bileşen çalışılır.
• Akıntının geçiş süresini değiştirdiğini sanmak. Süre yalnız suya göre hızın kıyıya dik bileşenine bağlıdır; akıntı yalnız varış noktasını kaydırır.
• Eğik yönelişte sürüklenmeye yalnız akıntıyı katmak. x = va · t yalnız burun tam karşıya bakarken geçerlidir; öbür durumlarda teknenin kıyıya paralel bileşeni de işaretiyle eklenir.
• En kısa süre ile en kısa yolu karıştırmak. En kısa süre burnu dik tutmakla, en kısa yol cos θ = va / vs açısıyla akıntıya karşı yönelmekle elde edilir; vs ≤ va iken tam karşıya varılamaz.
• sin ile cos'u karıştırmak. Açı kıyıyla verilmişse dik bileşen sin, paralel bileşen cos ile yazılır; açı dikmeyle verilmişse tersi.