Vektörlerde toplama ve bileşenler

Kar yağan bir cumartesi Ekin ile Bartu, küçük kardeşlerinin oturduğu kızağı iki ayrı iple çekiyor. İkisi de ipini 40 N'luk kuvvetle geriyor, ama ipler kızağın önündeki tek halkadan çıkıp aralarında 60° açılıyor. Bartu hemen hesaplıyor: «Toplam 80 N'la çekiyoruz.» Ekin ipleri biraz daha açıp yan yana yürümeye başlayınca kızak belirgin biçimde yavaşlıyor; oysa ikisi de aynı güçle çekmeye devam ediyor. Kızağı ileri götüren kuvvet aslında 80 N değil, yaklaşık 69 N'dur ve ipler açıldıkça daha da azalır. Bu derste, iki vektörün aralarındaki her açı için bileşkesini hesaplamayı ve bir vektörü dik bileşenlerine ayırarak istediğin sayıda vektörü toplamayı öğreneceksin.

• İki vektörün bileşkesini uç uca ekleme ve paralelkenar yöntemiyle çizip R² = A² + B² + 2AB cos θ bağıntısıyla hesaplarsın.
• Bir vektörü verilen açıya göre yatay ve düşey bileşenlerine ayırırsın.
• Üç ya da daha fazla vektörü bileşenleri üzerinden toplar, vektör farkını ve dengedeki kuvvetleri bulursun.

TYT'den AYT'ye: aynı ok, yeni araçlar

AYT Fizik, TYT'de kurulan kavramların üstüne inşa edilir ve ilk durağı vektörlerdir. «Skaler ve vektörel büyüklükler» dersi kütle ile kuvveti, yol ile yer değiştirmeyi birbirinden ayırdı. «Vektör sezgisi» dersinde aynı yönlü, zıt yönlü ve dik vektörleri topladık, eşit büyüklükteki vektörlerde 60°, 90° ve 120° gibi özel açıların sonucunu geometriden okuduk. «Kuvvet ve net kuvvet» dersi de bu toplamayı kuvvetlere uyguladı. Ancak oradaki her yöntem özel bir açıya yaslanıyordu. Kızaktaki ipler 60° yerine 50° açılsa ya da iki kuvvetin büyüklükleri farklı olsa, eşkenar dörtgen ya da Pisagor tek başına cevap vermez. Bu dersin işi, hangi açı gelirse gelsin çalışan iki genel yolu kurmaktır: kosinüs bağıntısı ve bileşen toplamı.

Uç uca ekleme ile paralelkenar aynı şeyi söyler

Uç uca eklemede A vektörü çizilir, B vektörü yönü ve boyu korunarak A'nın ucuna taşınır; A'nın başlangıcından B'nin ucuna giden ok bileşkedir. Paralelkenar yönteminde ise iki vektör aynı noktadan çizilir, kenarları bunlar olan paralelkenar tamamlanır ve ortak noktadan çıkan köşegen bileşke olur. Paralelkenarın karşılıklı kenarları eşit ve paralel olduğundan, köşegenin bir yanında kalan üçgen tam da uç uca eklemenin üçgenidir. İki çizim aynı oku verir. Buradan bir sonuç daha çıkar: B'yi A'nın ucuna eklemekle A'yı B'nin ucuna eklemek aynı köşegene varır, yani A + B = B + A.

Kosinüs bağıntısı: her açı için bileşke

İki vektörün arasındaki açı θ, başlangıçları aynı noktaya getirildiğinde aralarında kalan açıdır. Uç uca ekleme üçgenine bakalım: kenarları A, B ve R'dir. B, A'nın ucuna taşındığında A'nın uzantısıyla yine θ açısı yapar; bu yüzden üçgenin R'nin karşısındaki iç açısı 180° − θ olur. Matematikteki «Sinüs ve kosinüs teoremi» dersinin kosinüs teoremi bu üçgene uygulanır ve cos (180° − θ) = −cos θ olduğu kullanılırsa

R² = A² + B² + 2AB cos θ

bulunur. Bir sayısal deneme yapalım: 8 N ve 5 N büyüklüğündeki iki kuvvet aralarında 120° açı yapıyorsa cos 120° = −1/2 olduğundan R² = 64 + 25 − 40 = 49 ve R = 7 N'dur. Bileşke, iki kuvvetten büyük olanından küçük çıktı; açı 90°'yi geçince cos θ eksi olur ve son terim toplamı azaltır.

Özel açılar formülün içinden çıkar

TYT'de ayrı ayrı öğrenilen sonuçlar bu tek bağıntının özel hâlleridir. 6 ve 8 birimlik iki vektör üzerinde görelim:

Büyüklükler eşitse (A = B) iki durum daha ezberden kurtulur. θ = 120° için R² = 2A² − A² = A², yani bileşke vektörlerden birine eşittir; 9 N'luk iki kuvvet 120° açıyla 9 N'luk bileşke verir. θ = 60° için R² = 3A² olur ve R = A√3 çıkar; kancadaki 40 N'luk ipler bu yüzden 40√3 ≈ 69 N verir. Cos θ, 0°'den 180°'ye giderken sürekli azaldığı için bileşke de en büyük değeri A + B'den en küçük değeri |A − B|'ye doğru düzenli olarak küçülür: |A − B| ≤ R ≤ A + B aralığının dayanağı budur.

Bir vektörü bileşenlerine ayırmak

Toplamanın tersi de mümkündür: her vektör, birbirine dik iki vektörün toplamı olarak yazılabilir. Çoğunlukla bu dik doğrultular x ve y eksenleri seçilir. Vektör x ekseniyle θ açısı yapıyorsa vektör hipotenüs, bileşenler dik kenarlar olur ve dik üçgendeki oranlardan

Ax = A cos θ ve Ay = A sin θ

yazılır. Örneğin yatayla 37° açı yapan 50 N'luk bir ip kuvveti, sin 37° = 0,6 ve cos 37° = 0,8 alınırsa 40 N'luk yatay ve 30 N'luk düşey bileşene ayrılır. Burada kosinüsün yatay bileşene gitmesinin nedeni, açının x ekseniyle ölçülmesidir. Açı düşeyle verilmişse roller yer değiştirir: düşeyle 37° yapan aynı kuvvetin yatay bileşeni 30 N olur. Bu yüzden hangi bileşenin cos ile yazılacağını ezberlemek yerine açının hangi kenara bitişik olduğuna bakmak güvenlidir: açıya komşu kenar cos, açının karşısındaki kenar sin ile bulunur. Bileşenlerin işareti vektörün yönünden gelir; sola bakan bir vektörün x bileşeni, aşağı bakanın y bileşeni eksi yazılır.

Bileşenlerle toplama

Üç, dört ya da daha fazla vektörde kosinüs bağıntısını art arda uygulamak yorucudur. Bileşen yöntemi bunu bir sayma işine çevirir. Önce her vektör x ve y bileşenlerine ayrılır. Sonra bütün x bileşenleri işaretleriyle toplanarak Rx, bütün y bileşenleri toplanarak Ry bulunur. Bileşkenin büyüklüğü R = √(Rx² + Ry²), x ekseniyle yaptığı açı ise tan α = Ry / Rx ilişkisinden okunur. Kosinüs bağıntısıyla bulunan her sonuç bu yolla da bulunur. Az önceki 8 N ve 5 N'luk kuvvetlerde 8 N'luk olanı +x yönüne koyalım: 5 N'luk kuvvetin bileşenleri 5 · cos 120° = −2,5 N ve 5 · sin 120° ≈ 4,33 N olur. Rx = 5,5 N ve Ry ≈ 4,33 N'dan R² = 30,25 + 18,75 = 49 ve yine R = 7 N çıkar. İki yolun aynı sayıya varması, hesabı denetlemenin en iyi aracıdır.

Bazı kitaplar bileşenleri birim vektörlerle yazar: x yönünde 1 birimlik vektör i, y yönündeki j ile gösterilir ve 3 birim sağa, 4 birim yukarı uzanan vektör 3i + 4j biçiminde okunur. Bu yalnız bir yazım kolaylığıdır; toplama yine i'lerin kendi arasında, j'lerin kendi arasında yapılır.

Vektör farkı

A − B, A ile B'nin zıttının toplamıdır: A + (−B). −B, B ile aynı büyüklükte ama ters yönde olduğundan A ile arasındaki açı 180° − θ olur ve bağıntıdaki son terimin işareti döner:

|A − B|² = A² + B² − 2AB cos θ

Farkın en sık kullanıldığı yer hız değişimidir: Δv = v_son − v_ilk. Doğuya 10 m/s ile giden bir bisikletli bir köşeyi dönüp kuzeye yine 10 m/s ile gitmeye başlarsa hızının büyüklüğü değişmemiştir, ama hız vektörü değişmiştir: |Δv|² = 100 + 100 − 0 ve |Δv| = 10√2 m/s, yönü kuzeybatıdır. Hızın büyüklüğü aynı kaldı diye hız değişimini sıfır saymak, bu konunun en yaygın hatasıdır.

Denge: kapanan çokgen

Bir cisme etki eden kuvvetlerin bileşkesi sıfırsa cisim dengededir. Bileşen diliyle bu, Rx = 0 ve Ry = 0 demektir. Çizim diliyle ise kuvvetler uç uca eklendiğinde son okun ucu ilk okun başlangıcına döner ve kapalı bir çokgen oluşur. Üç kuvvet dengedeyse herhangi birisi, öteki ikisinin bileşkesine eşit büyüklükte ve ona zıt yöndedir. Bu yüzden dengedeki üç kuvvetten biri kaldırıldığında kalan iki kuvvetin bileşkesi, kaldırılan kuvvetle aynı büyüklükte ve ona ters yönde olur.

Bir sonraki adım

Buraya kadar kullandığımız okların çoğu kuvvetti, ama aynı toplama ve çıkarma hızlara da uygulanır. Hareket eden bir trendeki yolcu ile perondaki görevli aynı topun hızını neden farklı ölçer, akıntılı bir nehirde karşı kıyıya yönelen kayık neden tam karşıya varamaz? Sonraki ders, «Bağıl hareket ve nehir problemleri», bu soruları hız vektörlerinin farkı ve bileşkesi üzerinden kuruyor.

Örnek 1 — Kosinüs bağıntısı

Soru: 7 N ve 8 N büyüklüğündeki iki kuvvet aynı noktaya uygulanıyor ve aralarındaki açı 60°'dir. Bileşke kuvvetin büyüklüğü kaç newtondur?

• A) R = 15 N
• B) R = √57 N
• C) R = 13 N
• D) R = √113 N
• E) R = 1 N

Çözüm: R² = 49 + 64 + 2 · 7 · 8 · 0,5 = 49 + 64 + 56 = 169, R = 13 N. Sağlama: 7 N'luk kuvvet +x yönünde alınırsa 8 N'lukun bileşenleri 4 N ve 4√3 N olur; Rx = 11, Ry² = 48 ve R² = 121 + 48 = 169. 15 N açıyı yok sayıp büyüklükleri toplamaktan, √113 N dik açı varsaymaktan, √57 N son terimin işaretini eksi almaktan gelir. Cevap: C.

Örnek 2 — Bileşenlere ayırma

Soru: Bir öğrenci yerdeki bavulunu, yatayla 53° açı yapan sapından 50 N'luk kuvvetle çekiyor. Kuvvetin yatay bileşeni kaç newtondur? (sin 53° = 0,8; cos 53° = 0,6 alınız.)

• A) Fx = 50 N
• B) Fx = 40 N
• C) Fx = 25 N
• D) Fx = 30 N
• E) Fx = 20 N

Çözüm: Açı yatayla ölçüldüğü için yatay bileşen açıya komşu kenardır: Fx = 50 · cos 53° = 30 N. Düşey bileşen 50 · 0,8 = 40 N'dur; 40 N seçeneği sin ile cos karıştırılınca bulunur. Cevap: D.

Örnek 3 — Üç kuvvetin bileşkesi

Soru: Bir cisme üç kuvvet etki ediyor: +x ekseniyle 37° açı yapıp yukarı yönelen 20 N'luk F₁, −x yönündeki 10 N'luk F₂ ve −y yönündeki 4 N'luk F₃. Bileşkenin büyüklüğü kaç newtondur? (sin 37° = 0,6; cos 37° = 0,8 alınız.)

• A) R = 10 N
• B) R = 34 N
• C) R = 14 N
• D) R = 6 N
• E) R = 2√13 N

Çözüm: F₁'in bileşenleri 16 N ve 12 N'dur. Rx = 16 − 10 = 6 N, Ry = 12 − 4 = 8 N; R = √(36 + 64) = 10 N. 34 N üç büyüklüğü düz toplamaktan gelir. Cevap: A.

Örnek 4 — Hız değişimi

Soru: Doğuya 8 m/s ile koşan bir futbolcu, topu kaptıktan sonra kuzeye 6 m/s ile koşmaya başlıyor. Hız değişiminin büyüklüğü kaç m/s'dir?

• A) |Δv| = 2 m/s
• B) |Δv| = 14 m/s
• C) |Δv| = 7 m/s
• D) |Δv| = 48 m/s
• E) |Δv| = 10 m/s

Çözüm: Δv = v_son − v_ilk = (kuzeye 6) + (batıya 8). İki bileşen dik olduğundan |Δv| = √(36 + 64) = 10 m/s; yön kuzeybatı arasıdır. 2 m/s hızların büyüklüklerini çıkarmaktan gelir; hızlar dik olduğu için bu yanlıştır. Cevap: E.

• Kosinüs teoremindeki işareti üçgenden aynen almak. Üçgendeki iç açı 180° − θ olduğu için bileşke bağıntısında son terim +2AB cos θ'dır; eksi alınırsa toplam yerine fark bulunur.
• Açıyı yanlış yerden okumak. θ, vektörlerin başlangıçları birleştirildiğinde aralarında kalan açıdır; biri ötekinin ucuna eklenmiş çizimden okunan açı bunun bütünleridir.
• Sin ile cos'u ezberle dağıtmak. Açı düşeyle verilmişse yatay bileşen sin ile yazılır; komşu kenar cos, karşı kenar sin kuralına bakılmalıdır.
• Bileşenleri işaretsiz toplamak. Sola ve aşağı bakan bileşenler eksidir; işaret unutulursa bileşke büyük çıkar.
• Hız büyüklüğü değişmedi diye Δv'yi sıfır saymak. Yön değişmişse hız vektörü değişmiştir.