Araç değişkenler

Öğrenme çıktıları

• Hatırlama — Birinci aşamayı, indirgenmiş biçimi, dışlama kısıtını, ters davranan yokluğu varsayımını, iki aşamalı en küçük kareler yöntemini ve zayıf aracı tanımlar.
• Uygulama — Bir aracın birinci aşama ve indirgenmiş biçim farklarından Wald tahminini hesaplar; dışlama kısıtının ihlali ya da zayıf bir birinci aşama hâlinde tahminin ne kadar saptığını sayısal olarak gösterir.
• Analiz — Bir araç değişken tasarımının dayandığı varsayımları, nüfusu uyum türlerine ayırarak çözümler ve tahminin hangi alt grup için geçerli olduğunu belirler.
• Değerlendirme — Doğum çeyreği ve kardeşlerin cinsiyet bileşimi gibi araçlara dayanan çalışmaları ve bunlara yöneltilen zayıf araç eleştirisini karşılaştırarak, araç değişken tahminlerinin güvenilirliğini değerlendirir.

Sezgi

Açılış

Eğitimin kazanç üzerindeki etkisini ölçmek istiyoruz. Daha uzun okuyanlar daha çok kazanır; ama daha uzun okuyanlar aynı zamanda daha yetenekli, daha çalışkan ya da daha varlıklı ailelerden geliyor olabilir. Bu sorunun adını kursun ilk dersinde koymuştuk: seçilim yanlılığı. Rastgele kontrollü deneyler dersinde de sorunun en temiz çözümünü gördük: kura. Ama kimseye kurayla «sen iki yıl daha okuyacaksın» diyemeyiz.

Peki, eğitimi kısmen etkileyen ve kendisi rastgele gibi davranan bir şey bulsak? Örneğin bir kişinin yılın hangi çeyreğinde doğduğu. Doğum tarihi, okula başlama yaşını belirleyen kurallar ve zorunlu eğitim yasaları yüzünden, bir kişinin okulda kaç yıl kalacağını biraz etkileyebilir. Ama doğum tarihinin yetenekle ya da aile varlığıyla bir ilişkisi olmamalıdır. Eğer öyleyse, doğum tarihine göre farklılaşan eğitim, kazançtaki farkı açıklamak için kullanılabilir. Oregon kurasında da benzer bir hesap yapmıştık: kurayı kazananlar ile kaybedenler arasındaki sağlık farkını, iki grubun sigortalanma oranları arasındaki farka bölmüştük. Araç değişkenler yöntemi, bu fikri kuranın olmadığı durumlara taşır.

Hikâye — doğum çeyreği ve zorunlu eğitim

Joshua Angrist ve Alan Krueger, 1991'de bu fikri ABD nüfus sayımı verilerine uyguladı. ABD'de çocuklar genellikle, belirli bir tarihte altı yaşını doldurmuş olmaları koşuluyla, o yılın eylülünde okula başlar; zorunlu eğitim yasaları ise öğrencilerin belirli bir yaşa, örneğin on altıya kadar okulda kalmasını şart koşar. Bu iki kuralın birleşimi, yılın başında doğanların okula daha geç yaşta başlamasına ve on altı yaşına geldiklerinde, yılın sonunda doğanlara göre daha az eğitim tamamlamış olarak okulu bırakabilmesine yol açar.

Bu çalışma, araç değişkenlerin iktisattaki kullanımını dönüştüren çalışmalardan biri oldu. Ama aynı zamanda, yöntemin en önemli tehlikelerinden birini ortaya çıkaran bir eleştiriye de konu oldu; bu eleştiriye Veri ve kanıt bölümünde döneceğiz.

Kavram — iki adımda nedensellik

Bir araç değişken tasarımı iki ilişkiye dayanır. Birincisi, aracın tedaviyi etkilemesidir.

İkincisi, aracın sonuç üzerindeki toplam etkisidir.

Bu oranın tedavinin etkisini vermesi için, aracın sonucu yalnızca tedavi üzerinden etkilemesi gerekir.

Veri ve kanıt — doğurganlık ve iş, zayıf araçların tehlikesi

Araç değişkenlerin bir başka ünlü uygulaması, çocuk sayısının annelerin işgücüne katılımı üzerindeki etkisidir. Daha çok çocuğu olan kadınlar daha az çalışır; ama hem çocuk sayısı hem de çalışma kararı, kadının tercihleri, eşinin geliri ve kariyer planlarından birlikte etkilenir. Joshua Angrist ve William Evans, ailelerin hem kız hem erkek çocuk sahibi olmayı tercih etme eğiliminden yararlandı: ilk iki çocuğu aynı cinsiyetten olan aileler, üçüncü bir çocuk yapmaya daha yatkındır ve çocukların cinsiyeti esasen rastlantısaldır.

Bu bulguda, araç değişken tahmininin sıradan en küçük kareler tahmininden küçük olması önemlidir: basit karşılaştırma, çok çocuklu kadınların zaten çalışmaya daha az yatkın olmasından kaynaklanan seçilimi de içeriyordu.

Angrist ve Krueger'in doğum çeyreği çalışması ise birkaç yıl sonra ciddi bir eleştiriyle karşılaştı. John Bound, David Jaeger ve Regina Baker, aracın eğitim üzerindeki etkisinin çok küçük olmasının doğurduğu sorunlara dikkat çekti.

Neden önemli? — kuranın olmadığı yerde kura bulmak

Araç değişkenler, iktisatçıların deney yapamadığı birçok soruda nedensel etkiyi ölçmenin başlıca yoludur. Eğitimin getirisi, çocuk sayısının işgücüne etkisi, kurumların kalkınmaya etkisi, askerlik hizmetinin kazançlara etkisi, hapis cezasının yeniden suç işlemeye etkisi gibi sorular, bu yöntemle incelendi. Yöntemin gücü, rastgele gibi davranan bir kaynağı, yani bir doğal deneyi, tedavideki değişkenliğin yalnızca o kısmını kullanarak değerlendirmesidir. Zayıflığı ise, bu kaynağın gerçekten rastgele olduğuna ve sonucu yalnızca tedavi üzerinden etkilediğine dair varsayımlardır; bu varsayımlar verilerle tam olarak sınanamaz. Bir araç değişken çalışmasını okurken sorulacak sorular şunlardır: araç tedaviyi ne kadar güçlü etkiliyor, araç sonucu başka bir yoldan etkiliyor olabilir mi ve tahmin kimin için geçerli?

Model

Aşağıdaki bütün oranlar ve tutarlar hesap alıştırması için kurulmuştur; Angrist, Krueger, Evans ya da başka yazarların raporladığı tahminler değildir.

Çözümlü örnek — Wald tahmini

Bir ülkede zorunlu eğitim yasası ve okula başlama kuralı, yılın ilk çeyreğinde doğanların ortalama olarak 12,6 yıl, son çeyreğinde doğanların 12,7 yıl eğitim almasına yol açıyor. Birinci aşama: 12,7 − 12,6 = 0,1 yıl. Son çeyrekte doğmak, eğitimi ortalama olarak onda bir yıl artırıyor.

Aynı iki grubun ortalama aylık kazancı arasındaki fark yüzde 0,8. İndirgenmiş biçim: son çeyrekte doğanlar yüzde 0,8 daha çok kazanıyor.

Doğum çeyreğinin kazancı yalnızca eğitim üzerinden etkilediğini varsayalım. O zaman kazançtaki yüzde 0,8'lik farkın tamamı, eğitimdeki 0,1 yıllık farktan kaynaklanır. Bir yıl ek eğitimin etkisi, indirgenmiş biçimin birinci aşamaya oranıdır: 0,8 ÷ 0,1 = yüzde 8. Bu oran Wald tahmini olarak bilinir.

Sezgisel olarak şöyle düşünebiliriz: doğum çeyreği, nüfusa küçük bir «doz» eğitim vermiştir. Bu küçük doz kazancı küçük bir miktar artırmıştır. Kazançtaki artışı eğitim dozuna bölerek, bir birim eğitimin etkisini buluruz. Bu, Oregon kurasında niyete göre tedavi etkisini sigortalanma farkına böldüğümüz hesabın aynısıdır; kura yerine doğum çeyreği, sigorta yerine eğitim vardır.

Çözümlü örnek — Üçüncü çocuk ve iş

İlk iki çocuğu aynı cinsiyetten olan annelerin yüzde 38'i üçüncü bir çocuk yapıyor; ilk iki çocuğu farklı cinsiyetten olanlarda bu oran yüzde 32. Birinci aşama 6 yüzde puanıdır.

İlk iki çocuğu aynı cinsiyetten olan annelerin yüzde 52'si, farklı cinsiyetten olanların yüzde 52,8'i çalışıyor. İndirgenmiş biçim eksi 0,8 yüzde puanıdır.

Wald tahmini: −0,8 ÷ 6 ≈ −0,133, yani üçüncü çocuk, annenin çalışma olasılığını yaklaşık 13 yüzde puanı düşürür. Bu etki, yalnızca ilk iki çocuğu aynı cinsiyetten olduğu için üçüncü çocuğu yapan anneler için geçerlidir; yani karma cinsiyet tercihine sahip ve bu tercih nedeniyle aile büyüklüğünü değiştiren anneler için.

Aynı verilerde üç çocuklu ve iki çocuklu anneleri doğrudan karşılaştırsak, çalışma oranları arasındaki fark diyelim ki 20 puan çıkardı. Bu fark, üçüncü çocuğun etkisinin yanı sıra, üç çocuk yapmayı seçen kadınların zaten çalışmaya daha az yatkın olmasını da içerir. Araç değişken tahmini, bu seçilimi dışarıda bırakır.

Çözümlü örnek — Kimin etkisini ölçüyoruz?

Bir aracın kimin etkisini ölçtüğünü görmek için nüfusu dört türe ayıralım. Üçüncü çocuk örneğinde ailelerin bir kısmı, ilk iki çocuğun cinsiyetine bakmaksızın üçüncü çocuğu yapar; bunlar her zaman alanlardır. Bir kısmı hiçbir durumda yapmaz; bunlar hiç almayanlardır. Bir kısmı yalnızca ilk iki çocuk aynı cinsiyettense yapar; bunlar uyum gösterenlerdir. Son olarak, kuramsal olarak, yalnızca ilk iki çocuk farklı cinsiyettense üçüncü çocuğu yapan aileler olabilir; bunlar ters davrananlardır.

Ters davranan yoksa, birinci aşamadaki 6 puanlık fark, nüfusun yüzde 6'sının uyum gösteren olmasından gelir. Her zaman alanlar iki grupta da üçüncü çocuğu yapar, hiç almayanlar iki grupta da yapmaz; bu iki türün sonuçları araçtan etkilenmez ve indirgenmiş biçime katkıda bulunmaz. İndirgenmiş biçimin tamamı uyum gösterenlerden gelir. Bu yüzden Wald oranı, uyum gösterenler için üçüncü çocuğun ortalama etkisidir.

Şimdi ters davrananlar olduğunu varsayalım: nüfusun yüzde 10'u uyum gösteren, yüzde 4'ü ters davranan. Birinci aşama yine 10 − 4 = 6 puandır. Uyum gösterenler için üçüncü çocuğun etkisi eksi 15 puan, ters davrananlar için eksi 5 puan olsun. İndirgenmiş biçim, uyum gösterenlerin katkısı ile ters davrananların katkısının farkıdır: 0,10 × (−15) − 0,04 × (−5) = −1,5 + 0,2 = −1,3 puan. Wald oranı −1,3 ÷ 6 ≈ −21,7 puandır. Bu sayı, ne uyum gösterenlerin etkisine, ne ters davrananlarınkine, ne de herhangi bir ortalamaya karşılık gelir; iki etki birbirinden ters işaretlerle çıkarıldığı için anlamsız bir büyüklüktür.

Çözümlü örnek — Dışlama kısıtı çöktüğünde

Bir araştırmacı, eğitimin getirisini ölçmek için kişinin çocukluğunda en yakın üniversiteye olan uzaklığını araç olarak kullanıyor. Üniversiteye yakın büyüyenler daha çok okur. Birinci aşama: üniversiteye yakın büyüyenler ortalama 0,4 yıl daha fazla eğitim alıyor. İndirgenmiş biçim: üniversiteye yakın büyüyenler yüzde 4,4 daha çok kazanıyor. Wald tahmini: 4,4 ÷ 0,4 = yüzde 11.

Ama üniversite şehirleri, aynı zamanda daha büyük ve daha zengin şehirlerdir; orada büyüyen biri, eğitimden bağımsız olarak, daha iyi iş ağlarına ve daha yüksek ücretli işlere erişebilir. Bu doğrudan etkinin kazancı yüzde 0,8 artırdığını varsayalım. İndirgenmiş biçimdeki yüzde 4,4'ün yüzde 0,8'i eğitimden değil, şehrin kendisinden gelir. Eğitimin gerçek etkisi (4,4 − 0,8) ÷ 0,4 = yüzde 9'dur. Araç değişken tahmini, dışlama kısıtının ihlali nedeniyle gerçek etkiyi 2 puan abartmıştır.

Sapmanın büyüklüğü, doğrudan etkinin birinci aşamaya oranıdır: 0,8 ÷ 0,4 = 2. Bu formül, araç değişken tasarımlarının en önemli dersini taşır: dışlama kısıtındaki bir ihlal, birinci aşamaya bölünerek büyür.

Çözümlü örnek — Zayıf aracın büyüteci

Doğum çeyreği örneğine dönelim. Birinci aşama yalnızca 0,1 yıldır. Doğum çeyreğinin kazancı eğitim dışında, örneğin doğum mevsimine bağlı sağlık farkları ya da ailelerin doğum zamanını planlamasıyla ilgili sosyoekonomik farklar yoluyla, yüzde 0,1 gibi çok küçük bir doğrudan etkiyle etkilediğini varsayalım. Sapma 0,1 ÷ 0,1 = 1 yüzde puanıdır. Tahmin yüzde 8 yerine yüzde 9 çıkar; doğrudan etki göz ardı edilebilecek kadar küçük görünse de, birinci aşama da küçük olduğu için sapma kayda değerdir.

Aynı doğrudan etki, birinci aşaması 0,4 yıl olan güçlü bir araçta 0,1 ÷ 0,4 = 0,25 puanlık bir sapma yaratırdı. Zayıf araç, küçük ihlalleri büyütür. Bound, Jaeger ve Baker'ın uyarısının bir yanı budur; öbür yanı, sonlu örneklemlerde zayıf araçla yapılan tahminin, tamamen rastgele gürültüden bile, sıradan en küçük kareler tahminine doğru çekilmesidir.

Çözümlü örnek — İki aşamada tahmin

Wald tahmini, iki grup ve tek bir ikili araç için hesaplanır. Daha genel durumlarda, örneğin araç birden çok değer alıyorsa ya da kontrol değişkenleri ekleniyorsa, iki aşamalı en küçük kareler kullanılır.

Doğum çeyreği örneğinde birinci adımda, her kişinin eğitimi doğum çeyreğinin göstergeleriyle tahmin edilir. Bu tahmin, her kişiye, yalnızca doğduğu çeyreğe göre beklenen eğitim yılını verir: ilk çeyrekte doğanlar için 12,6, son çeyrekte doğanlar için 12,7 ve aradakiler için ara değerler. Bu tahmin edilen eğitim, yetenekle ya da aile varlığıyla ilişkili değildir; çünkü yalnızca doğum çeyreğine bağlıdır. İkinci adımda kazanç bu tahmin edilen eğitim üzerine regresyonla açıklanır ve katsayı eğitimin etkisini verir. Uygulamada iki adım ayrı ayrı elle yapılmamalıdır; ikinci adımın standart hataları, birinci adımın belirsizliğini hesaba katmadığı için yanlıştır. İstatistik yazılımları her iki adımı birlikte yapar ve doğru standart hataları verir.

Çözümlü örnek — Rastgele atanan hâkimler

Bir şehirde hafif suçlardan yargılanan sanıkların davaları, mahkemedeki hâkimlere sırayla, yani sanığın özelliklerinden bağımsız biçimde dağıtılıyor. Hâkimler tutukluluk kararlarında farklı katılıktadır: A hâkimi sanıkların yüzde 40'ını, B hâkimi yüzde 20'sini yargılama süresince tutuklu tutuyor. Bir araştırmacı, tutukluluğun sanığın bir yıl sonraki istihdamı üzerindeki etkisini ölçmek istiyor.

Tutuklu kalan ve kalmayan sanıkları doğrudan karşılaştırmak yanıltıcıdır: hâkimler, suç geçmişi daha ağır ya da kaçma riski daha yüksek görünen sanıkları tutuklar ve bu sanıkların istihdam beklentileri zaten düşüktür. Ama A hâkimine ve B hâkimine düşen sanıklar, dağıtım sırayla yapıldığı için ortalamada benzerdir. Hâkimin kimliği, tutukluluk için bir araçtır.

Birinci aşama: A hâkimine düşmek, tutukluluk olasılığını 40 − 20 = 20 puan artırıyor. İndirgenmiş biçim: bir yıl sonra A hâkimine düşen sanıkların yüzde 45'i, B hâkimine düşenlerin yüzde 48'i çalışıyor; fark eksi 3 puan. Wald tahmini: −3 ÷ 0,20 = −15 puan. Tutukluluk, uyum gösterenler için istihdam olasılığını 15 puan düşürüyor.

Burada uyum gösterenler, A hâkimine düşerse tutuklanacak ama B hâkimine düşerse serbest bırakılacak sanıklardır; yani hâkimlerin takdirinin sınırında duran, ne açıkça tutuklanması ne de açıkça serbest bırakılması gereken sanıklar. Politika açısından bu grup tam olarak ilgilenilen gruptur: tutukluluk kurallarındaki bir değişiklik, en çok bu sınırdaki sanıkları etkiler. Dışlama kısıtı ise, hâkimin sanığı yalnızca tutukluluk kararıyla etkilemesini gerektirir; katı hâkimler aynı zamanda daha ağır cezalar da veriyorsa, istihdamdaki farkın bir kısmı cezadan gelir ve varsayım ihlal edilir.

Çözümlü örnek — Uyum gösterenler kimdir?

Uyum gösterenler tek tek gözlenemese de, ortalama özellikleri tahmin edilebilir. Üçüncü çocuk örneğine dönelim. Annelerin yüzde 40'ı üniversite mezunu olsun. Birinci aşama, üniversite mezunu anneler arasında 4 puan, öbürleri arasında 7,3 puan çıksın. Genel birinci aşama 0,4 × 4 + 0,6 × 7,3 ≈ 6 puandır.

Uyum gösterenlerin içinde üniversite mezunlarının payı, üniversite mezunlarının nüfustaki payı ile kendi birinci aşamalarının çarpımının, genel birinci aşamaya oranıdır: 0,4 × 4 ÷ 6 ≈ 0,27. Nüfusta yüzde 40 olan üniversite mezunu anneler, uyum gösterenler arasında yalnızca yüzde 27'dir. Araç değişken tahmini, üniversite mezunu olmayan annelere daha ağırlıklı bir grubun etkisini ölçmektedir. Bu bilgi, tahminin hangi politika sorusuna cevap verdiğini anlamak için önemlidir: örneğin eğitimli kadınlara yönelik bir kreş politikasının etkisini, bu tahminden doğrudan çıkarmak yanıltıcı olabilir.

Çözümlü örnek — Birinci aşamanın gücünü okumak

Bir araştırmacı birinci aşama regresyonunu raporluyor: doğum çeyreğinin eğitim üzerindeki etkisi 0,1 yıl, bu tahminin standart hatası 0,04 yıl. Tek bir araç için birinci aşama F istatistiği, t istatistiğinin karesidir: (0,1 ÷ 0,04)² = 2,5² = 6,25. Bu değer, Staiger ve Stock'un önerdiği 10 eşiğinin altındadır; araç zayıftır ve araç değişken tahmini güvenilmez olabilir.

Aynı birinci aşama, örneklem dört katına çıkarsa standart hatası yarıya iner: 0,02 yıl. F istatistiği (0,1 ÷ 0,02)² = 25 olur. Büyük örneklem birinci aşamayı daha kesin ölçer; ama birinci aşamanın kendisi, yani 0,1 yıl, yine küçüktür. Kesinlik zayıf araç sorununun bir yanını, sonlu örneklem yanlılığını hafifletir; dışlama kısıtındaki küçük ihlallerin birinci aşamaya bölünerek büyümesini ise hafifletmez.

Modelin sınırları

Bu örneklerde birinci aşamaları ve indirgenmiş biçimleri kesin olarak bildiğimizi varsaydık; gerçekte her ikisi de örneklem hatası taşır ve birinci aşama küçükse oran çok oynak olur. Dışlama kısıtı örneğinde doğrudan etkinin büyüklüğünü bildiğimizi varsaydık; gerçekte bilinmez ve araştırmacı onu ancak sınırlarla ya da duyarlılık analizleriyle tartışabilir. Uyum türleri örneğinde her türün payını ve etkisini bildiğimizi varsaydık; gerçekte hangi kişinin hangi türden olduğu gözlenmez, yalnızca türlerin payları ve uyum gösterenlerin bazı ortalama özellikleri tahmin edilebilir.

Teknik

Araç değişkenin tarihi

Araç değişken fikri, 1928'de Philip Wright'ın hayvansal ve bitkisel yağlar üzerine yazdığı bir kitabın ekinde ortaya çıktı. Wright, bir malın arz ve talep eğrilerini, fiyat ve miktar verilerinden ayırt etmenin yolunu arıyordu; Elmer Working'in aynı yıllarda dile getirdiği özdeşleme sorunu buydu. Fikri şuydu: arzı etkileyen ama talebi etkilemeyen bir değişken, örneğin hava koşulları, arz eğrisini kaydırır ve fiyat ile miktardaki değişimler talep eğrisi boyunca gerçekleşir; böylece talep eğrisi ortaya çıkar. Bu, bugünkü araç değişkenin ta kendisidir: hava koşulları fiyatı etkiler ama talebi doğrudan etkilemez.

Uzun süre araç değişkenler, eşanlı denklem modellerinin bir aracı olarak kullanıldı. 1990'larda güvenilirlik devrimi ile birlikte, araçlar doğal deneylerin bir aracı olarak yeniden yorumlandı: iyi bir araç, tedavinin rastgele gibi dağılan bir kaynağıdır. Guido Imbens ve Joshua Angrist, 1994'te, etkilerin heterojen olduğu durumda araç değişken tahmininin neyi ölçtüğünü, yani yerel ortalama tedavi etkisini gösterdi; bu katkı 2021 Nobel ödülünün gerekçelerinden biri oldu.

Varsayımlar potansiyel sonuçlar dilinde

Potansiyel sonuçlar çerçevesinde bir araç değişken tasarımı dört varsayıma dayanır. Birincisi, aracın rastgele gibi dağılmasıdır: araç, potansiyel sonuçlardan ve potansiyel tedavi durumlarından bağımsızdır. İkincisi, dışlama kısıtıdır: araç, sonucu yalnızca tedavi üzerinden etkiler; bir kişinin potansiyel sonuçları yalnızca aldığı tedaviye bağlıdır, aracın değerine değil. Üçüncüsü, birinci aşamanın sıfırdan farklı olmasıdır. Dördüncüsü, ters davranan yokluğudur.

Bu dört varsayım altında Wald oranı, uyum gösterenler için ortalama tedavi etkisine eşittir. Birinci varsayım, araç gerçekten rastgele atanmışsa, örneğin bir kurayla, tasarım yoluyla sağlanır; doğal deneylerde ise savunulması gerekir. Doğum çeyreği gerçekten rastgele midir? Bazı çalışmalar, doğum mevsiminin annenin sosyoekonomik özellikleriyle hafifçe ilişkili olduğunu öne sürdü; bu ilişki, birinci varsayımı ve dışlama kısıtını zayıflatır.

Yerel etkinin değeri ve sınırları

Yerel ortalama tedavi etkisi, araç değişken tahminlerinin yorumunu netleştirdi, ama aynı zamanda bir tartışmayı da başlattı. Bir görüşe göre, uyum gösterenler çoğu zaman politikanın tam olarak ilgilendiği kişilerdir: zorunlu eğitim yasasının etkisini merak eden bir politika yapıcı için, yasa yüzünden okulda kalanlar için eğitimin getirisi tam da ilgilenilen büyüklüktür. Öbür görüşe göre, her araç farklı bir uyum gösteren grubu tanımladığı için, araç değişken tahminleri bir araçtan öbürüne değişir ve hangisinin hangi politika sorusuna cevap verdiği belirsizleşir.

Angus Deaton, 2010 tarihli bir değerlendirme yazısında, kalkınma iktisadındaki araç değişken uygulamalarını eleştirdi. Deaton'a göre bir değişkenin dışsal, yani iktisadi sistemin dışında belirlenmiş olması, onun iyi bir araç olması için yeterli değildir; aracın, ilgilenilen denklemin hata terimiyle ilişkisiz olması gerekir ve etkiler heterojense, tahmin edilen büyüklüğün kimin için geçerli olduğu da ayrıca sorulmalıdır. Yağış ya da coğrafya gibi dışsal değişkenler, sonucu birçok başka yoldan da etkileyebilir. Bu eleştiri, iyi bir aracın yalnızca rastgele görünmesinin değil, sonucu etkileyebileceği bütün yolların düşünülmesinin gerektiğini hatırlatır.

Araç değişken tahmini neden sıradan en küçük kareler tahmininden büyük çıkabilir?

Seçilim yanlılığının, örneğin yetenek yanlılığının, eğitimin getirisini abartması beklenir; o zaman araç değişken tahmininin sıradan en küçük kareler tahmininden küçük çıkması gerekirdi. Ama eğitimin getirisi üzerine yapılan birçok araç değişken çalışması, sıradan en küçük kareler tahmininden daha büyük getiriler buldu. David Card, eğitimin getirisine ilişkin araştırmaları derlediği çalışmalarında bunun iki olası açıklamasını tartıştı.

Birincisi ölçüm hatasıdır: insanların bildirdiği eğitim yılları hatalıysa, sıradan en küçük kareler tahmini sıfıra doğru çekilir ve küçülür; araç değişken tahmini bu hatadan etkilenmez. İkincisi etki heterojenliğidir: zorunlu eğitim yasası ya da üniversiteye yakınlık gibi araçların uyum gösterenleri, eğitime erişimi kısıtlı olan ve bu yüzden marjinal eğitim yılının getirisi yüksek olan kişiler olabilir. Bu durumda araç değişken tahmini, ortalama getiriden büyük bir yerel getiriyi ölçer. İki açıklama da araç değişken tahmininin nüfus ortalaması olarak okunmaması gerektiğini hatırlatır.

Kontrol değişkenleri ve koşullu araçlar

Birçok araç yalnızca belirli kontrol değişkenleri sabit tutulduğunda rastgele gibidir. Üniversiteye uzaklık, bölgenin kentsel ya da kırsal olmasıyla ve ailenin gelir düzeyiyle ilişkilidir; bu değişkenler kontrol edildiğinde, aynı bölge türünde ve aynı gelir düzeyinde büyüyenler arasında uzaklık daha rastlantısal olabilir. Bu durumda araç koşullu olarak rastgeledir ve kontrol değişkenleri hem birinci aşamaya hem ikinci aşamaya eklenmelidir.

Bu yaklaşımın bir bedeli vardır: kontrol değişkenleri doğru seçilmezse ya da yanlış biçimde modellenirse, aracın koşullu rastgeleliği sağlanmaz. Ayrıca araç koşullu olarak rastgeleyse, araç değişken tahmini, kontrol değişkenlerinin farklı değerlerindeki uyum gösterenler için etkilerin ağırlıklı bir ortalamasıdır ve ağırlıklar, potansiyel sonuçlar dersinde regresyon için gördüğümüz ağırlıklara benzer biçimde, her gruptaki birinci aşamanın gücüne bağlıdır.

Zayıf araçlarla çıkarım

Bound, Jaeger ve Baker'ın uyarısından sonra, birinci aşamanın gücünü raporlamak araç değişken çalışmalarında standart hâle geldi. Douglas Staiger ile James Stock'un 1997 tarihli çalışması, birinci aşama F istatistiğinin 10'dan küçük olduğu durumlarda zayıf araç sorununun ciddi olabileceğini gösterdi ve bu eşik uzun süre bir başparmak kuralı olarak kullanıldı. Daha yakın tarihli çalışmalar, standart anlamlılık testlerinin doğru sonuç vermesi için çok daha yüksek eşiklerin gerekebileceğini öne sürdü.

Zayıf araç sorununa karşı iki yol vardır. Birincisi, daha güçlü araçlar aramaktır. İkincisi, zayıf araçlara dayanıklı çıkarım yöntemleri kullanmaktır: bu yöntemler, birinci aşama zayıf olsa bile doğru kapsama olasılığına sahip güven aralıkları verir; ama bu aralıklar genellikle çok geniştir ve bazen sınırsızdır. Geniş bir güven aralığı, verilerin soruyu cevaplamaya yetmediğinin dürüst bir göstergesidir.

Çok sayıda araç ve aşırı belirleme

Bazen birden çok araç kullanılabilir; örneğin doğum çeyreğinin dört değeri ve bunların doğum yılı ile etkileşimleri. Araç sayısı tedavi değişkeni sayısını aşarsa, model aşırı belirlenmiştir ve araçların birbiriyle tutarlı olup olmadığı sınanabilir: her araç aynı etkiyi veriyorsa, bu dışlama kısıtı lehine bir kanıt sayılabilir. Ama bu test zayıftır: bütün araçlar aynı yönde yanlıysa, tutarlı ama yanlış sonuçlar verirler. Ayrıca etkiler heterojense, farklı araçların farklı uyum gösteren grupları için farklı etkiler vermesi, dışlama kısıtının ihlal edildiği anlamına gelmez. Çok sayıda zayıf araç kullanmak, Bound, Jaeger ve Baker'ın gösterdiği gibi, tahmini sıradan en küçük kareler tahminine doğru çeker; Angrist ve Krueger'in bazı tahminlerinde yüzlerce etkileşim terimi araç olarak kullanılmıştı.

Araç türleri

Uygulamalı iktisatta araçlar birkaç türe ayrılır. Kura temelli araçlar, örneğin Oregon kurası ya da okul yerleştirme kuraları, tasarım yoluyla rastgeledir ve en güvenilir türdür. Kurumsal kurallardan doğan araçlar, örneğin doğum tarihi ile okula başlama kuralları, kuralın keyfi bir sınır çizmesinden yararlanır. Biyolojik ya da doğal rastlantılar, örneğin çocukların cinsiyeti ya da ikiz doğumu, insan seçiminin dışındadır ama dışlama kısıtı ayrıca savunulmalıdır; örneğin ikiz doğumlar annenin yaşıyla ve doğurganlık tedavileriyle ilişkili olabilir. Son yıllarda yaygınlaşan bir tür de rastgele atanan karar vericilerdir: davaların hâkimlere ya da başvuruların memurlara rastgele dağıtıldığı durumlarda, karar vericinin katılığı, tedavi için bir araç olarak kullanılır.

Türkiye'de de kurumsal kurallardan doğan araçlar kullanıldı. 1997'de zorunlu eğitimin beş yıldan sekiz yıla çıkarılması, reformdan etkilenen ve etkilenmeyen doğum kuşakları arasında keskin bir eğitim farkı yarattı. Bazı araştırmacılar bu farkı, eğitimin evlilik yaşı, doğurganlık ya da kazanç gibi sonuçlar üzerindeki etkisini incelemek için araç olarak kullandı. Bu tür tasarımlarda dışlama kısıtı, reformun aynı dönemde başka değişikliklerle, örneğin okul inşaatı ya da öğretmen atamalarıyla birlikte gelip gelmediği sorusuna bağlıdır; kuşaklar arasındaki öbür farklar dikkatle ayrıştırılmalıdır.

Uygulama

Özet kartı

1. Araç değişken tahmini, aracın sonuç üzerindeki etkisinin, yani indirgenmiş biçimin, aracın tedavi üzerindeki etkisine, yani birinci aşamaya oranıdır; tek bir ikili araçla bu oran Wald tahmini, genel durumda iki aşamalı en küçük kareler tahminidir.
2. Tahminin nedensel olarak yorumlanması için araç rastgele gibi dağılmalı, sonucu yalnızca tedavi üzerinden etkilemeli, tedaviyi gerçekten etkilemeli ve kimseyi tedaviden ters yönde itmemelidir; bu varsayımlar altında tahmin, uyum gösterenler için ortalama etkidir.
3. Angrist ve Krueger, doğum çeyreğinin zorunlu eğitim yasaları nedeniyle eğitimi etkilediğini ve eğitimin getirisine ilişkin araç değişken tahmininin sıradan en küçük kareler tahminine yakın olduğunu buldu; Angrist ve Evans, kardeşlerin cinsiyet bileşimini kullanarak üçüncü çocuğun annelerin işgücü arzını azalttığını, ama etkinin basit karşılaştırmadan küçük olduğunu gösterdi.
4. Dışlama kısıtındaki bir ihlal, birinci aşamaya bölünerek büyür; bu yüzden zayıf araçlar küçük ihlalleri büyük sapmalara dönüştürür.
5. Bound, Jaeger ve Baker, çok büyük örneklemlere rağmen zayıf araçların sonlu örneklem yanlılığına ve tutarsızlığa yol açabileceğini gösterdi ve birinci aşama F istatistiğinin düzenli olarak raporlanmasını önerdi.

Kavram sözlüğü

Kendini sına

1. (Çıktı 1) Dışlama kısıtını kendi cümlelerinizle açıklayın. Neden verilerle doğrudan sınanamaz?
2. (Çıktı 2) Bir askerlik kurasında kurayı kazananların yüzde 35'i, kaybedenlerin yüzde 15'i askerlik yapıyor. Kurayı kazananların on yıl sonraki ortalama yıllık kazancı, kaybedenlerinkinden 1.200 lira düşük. Askerliğin kazanç üzerindeki etkisinin Wald tahmini nedir ve bu tahmin kimin için geçerlidir?
3. (Çıktı 2) Üniversiteye uzaklık örneğinde birinci aşama 0,4 yerine 0,2 yıl ve doğrudan etki yine yüzde 0,8 olsaydı, araç değişken tahmini gerçek etkiden ne kadar sapardı?
4. (Çıktı 3) Uyum türleri örneğinde ters davrananların payı yüzde 4 yerine sıfır olsaydı ve uyum gösterenlerin payı yüzde 6 olsaydı, uyum gösterenlerin etkisi yine eksi 15 puan iken Wald tahmini ne olurdu?
5. (Çıktı 3) İkiz doğumun, üçüncü çocuğun annenin işgücü katılımı üzerindeki etkisi için araç olarak kullanıldığını düşünün. Bu araçla ilgili hangi dışlama kısıtı kaygıları ortaya çıkabilir? Bu aracın uyum gösterenleri, kardeş cinsiyet bileşimi aracınınkilerden nasıl farklıdır?
6. (Çıktı 4) Bir araştırmacı, «Elimde 300 bin kişilik bir örneklem ve doğum çeyreği gibi rastgele bir araç var; araç değişken tahminim kesinlikle güvenilirdir» diyor. Bu görüşü Bound, Jaeger ve Baker'ın eleştirisi ve dışlama kısıtının birinci aşamaya bölünmesi ışığında değerlendirin.

Cevaplar

1. Dışlama kısıtı, aracın sonucu yalnızca tedavi üzerinden etkilediği, başka hiçbir yoldan etkilemediği varsayımıdır. Örneğin doğum çeyreği kazancı yalnızca eğitim üzerinden etkilemelidir; doğum mevsimi sağlığı ya da aile özelliklerini etkileyip oradan kazanca yansıyorsa, varsayım ihlal edilir. Doğrudan sınanamaz, çünkü aracın sonuç üzerindeki toplam etkisini gözlemleriz ama bu etkinin ne kadarının tedaviden, ne kadarının başka yollardan geldiğini ayırmak için tam da sınamak istediğimiz varsayıma ihtiyaç duyarız.
2. Birinci aşama 35 − 15 = 20 yüzde puanı, yani 0,20'dir. İndirgenmiş biçim eksi 1.200 liradır. Wald tahmini −1.200 ÷ 0,20 = −6.000 liradır: askerlik, yıllık kazancı ortalama 6.000 lira düşürür. Bu tahmin, yalnızca kura nedeniyle askerlik durumunu değiştiren kişiler, yani kurayı kazanınca askerlik yapan ama kaybedince yapmayacak olanlar için geçerlidir; gönüllü olarak her durumda askerlik yapanlar ve muafiyet gibi nedenlerle hiçbir durumda yapmayanlar için geçerli değildir.
3. Sapma, doğrudan etkinin birinci aşamaya oranıdır: 0,8 ÷ 0,2 = 4 yüzde puanı. Birinci aşama 0,4 iken sapma 2 puandı; birinci aşama yarıya inince sapma iki katına çıkar. Aynı küçük ihlal, daha zayıf bir araçla daha büyük bir sapmaya dönüşür.
4. Ters davranan yoksa, birinci aşama 6 puan ve tamamen uyum gösterenlerden gelir. İndirgenmiş biçim 0,06 × (−15) = −0,9 puandır. Wald tahmini −0,9 ÷ 6 = −0,15, yani eksi 15 puandır; bu, uyum gösterenlerin etkisine tam olarak eşittir. Ters davranan yokluğu sağlandığında Wald oranı, uyum gösterenler için ortalama etkiyi doğru verir.
5. İkiz doğum, annenin yaşıyla ve doğurganlık tedavilerine başvurmasıyla ilişkili olabilir; doğurganlık tedavisine başvuran anneler ortalamada daha yaşlı, daha eğitimli ve daha yüksek gelirli olabilir, bu da işgücü katılımlarını doğrudan etkiler. Ayrıca ikizlerin bakımı tek bir çocuğun bakımından farklıdır. Bu, dışlama kısıtını ya da aracın rastgeleliğini zayıflatır. Uyum gösterenler bakımından, ikiz aracında hiç almayan grubu neredeyse yoktur: ikiz doğuran herkes üçüncü çocuğa sahip olur. Uyum gösterenler, ikiz doğmasa ikinci çocukta duracak annelerdir. Kardeş cinsiyet bileşimi aracında ise uyum gösterenler, karma cinsiyet tercihi nedeniyle üçüncü çocuğu yapan annelerdir; bu iki grup farklı olduğu için iki araç farklı etkiler verebilir.
6. Büyük örneklem, araştırmacıyı zayıf araç sorunundan korumaz. Bound, Jaeger ve Baker, Angrist ve Krueger'in ABD nüfus sayımına dayanan çok büyük örneklemlerine rağmen, doğum çeyreği aracının eğitimi çok az etkilemesi nedeniyle tahminlerin sonlu örneklem yanlılığından etkilenmiş ve tutarsız olabileceğini gösterdi. Ayrıca doğum çeyreğinin kazancı eğitim dışında, örneğin doğum mevsimiyle ilişkili sağlık ya da aile özellikleri yoluyla, çok küçük bir doğrudan etkiyle etkilemesi bile, birinci aşama yalnızca onda bir yıl olduğu için, bu doğrudan etkiyi on katına çıkarır. Araştırmacı birinci aşama F istatistiğini raporlamalı, zayıf araçlara dayanıklı güven aralıkları kullanmalı ve dışlama kısıtının olası ihlallerini tartışan duyarlılık analizleri sunmalıdır.

İleri okuma

• Joshua D. Angrist, Alan B. Krueger (1991). «Does Compulsory School Attendance Affect Schooling and Earnings?». QJE 106(4). Doğum çeyreği aracı ve eğitimin getirisi.
• Joshua D. Angrist, William N. Evans (1998). «Children and Their Parents' Labor Supply: Evidence from Exogenous Variation in Family Size». American Economic Review 88(3). Kardeş cinsiyet bileşimi ve ikiz araçları.
• John Bound, David A. Jaeger, Regina M. Baker (1995). «Problems with Instrumental Variables Estimation when the Correlation between the Instruments and the Endogenous Explanatory Variable is Weak». J. Amer. Statist. Assoc., cilt 90. Zayıf araç eleştirisi.

Sonraki derse köprü

Araç değişkenler, tedaviyi rastgele gibi etkileyen bir kaynak buldum diyebildiğimizde işe yarıyor. Ama bazen elimizde böyle bir kaynak yoktur; bunun yerine, bir politika bir grupta belirli bir tarihte uygulanmış, öbür grupta uygulanmamıştır. İki grup politikadan önce farklı düzeylerde olabilir; ama politika olmasaydı zaman içinde aynı biçimde değişeceklerini varsayabilirsek, politikanın etkisini gruplar arasındaki değişim farkından okuyabiliriz. Bu varsayım ne zaman inandırıcıdır ve nasıl sınanır? Sıradaki ders, fark içinde fark yöntemini ele alıyor.