Çarpanlara ayırma ve kökler

Cemre bir AYT denemesinde x³ − 2x² − 5x + 6 = 0 denklemine takılıyor. TYT'de öğrendiği her kalıbı sırayla deniyor: ortak çarpan yok, ilk iki terimden x² çıkıyor ama geride kalan −5x + 6 ile aynı parantez oluşmuyor, iki kare farkı ya da küp açılımı da görünmüyor. Süre azalırken yanındaki sırada oturan Arda'nın kâğıdında tek bir not dikkatini çekiyor: «1 − 2 − 5 + 6 = 0». Arda katsayıları toplamış, sıfır bulmuş ve oradan polinomu üç parçaya ayırmış. Katsayılar toplamının sıfır olması neden bir çarpanı ele veriyor? Ve sıfır vermeyen polinomlarda hangi sayılar denenir? Bu ders o notun arkasındaki düşünceyi kuruyor.

• P(a) = 0 olup olmadığına bakarak x − a ifadesinin polinomun çarpanı olup olmadığına karar verirsin.
• Tam sayı kök adaylarını sabit terimin bölenlerinden seçer, bulduğun bir kökle Horner tablosu kurup polinomun derecesini düşürürsün.
• Katlı kök ve iki çarpanla tam bölünme koşullarından bilinmeyen katsayıları hesaplarsın.
• Kökleri ve baş katsayısı verilen polinomu kurar, çarpanlarına ayrılmış bir polinomdan farklı kökleri ve onların toplamını ya da çarpımını okursun.

Kalan sıfırsa: çarpan teoremi

Kalan teoremi, x − a ile yapılan bir bölmede geriye P(a) sayısının kaldığını söyler. Bölme eşitliği P(x) = (x − a) · B(x) + P(a) biçiminde yazılır. P(a) = 0 olduğunda son terim düşer ve eşitlik P(x) = (x − a) · B(x) hâline gelir; x − a artık bir bölen değil, bir çarpandır. Tersi de doğrudur: P(x) = (x − a) · B(x) yazılabiliyorsa x yerine a konunca sağ taraf sıfırlanır. İki yön birlikte şu kuralı verir:

• P(a) = 0 ⇔ x − a bir çarpan.

Bu kurala çarpan teoremi denir. Kancadaki not tam olarak bunu kullanıyor: Arda'nın topladığı katsayılar polinomun 1'deki değerini verir, o değer sıfır çıktığı için x − 1 bir çarpandır. Çarpan ax + b biçimindeyse aynı düşünce x = −b/a değeriyle çalışır: 2x − 1'in çarpan olması P(1/2) = 0 demektir.

Kök: polinomu sıfırlayan sayı

P(a) = 0 eşitliğini sağlayan a sayısına P(x) polinomunun kökü, P(x) = 0 denkleminin de çözümü denir. Çarpan teoremi kökle çarpanı aynı bilginin iki yüzü yapar: a bir kökse x − a bir çarpandır, x − a bir çarpansa a bir köktür. TYT'de ortak paranteze almayı işlerken gördüğümüz sıfır çarpımı ilkesi bu bağın öbür ucudur: polinom çarpanlarına ayrılmış olarak verildiğinde her çarpanı ayrı ayrı sıfıra eşitlemek bütün kökleri getirir. Bu derste gerçek kökler, yani gerçek sayılar arasında bulunan kökler aranır.

Tam sayı kökler nerede aranır?

Baş katsayısı 1, öteki katsayıları tam sayı olan bir polinomun tam sayı bir kökü a ise P(x) = (x − a) · B(x) yazılır ve Horner tablosu tam sayılarla ilerlediği için B(x)'in katsayıları da tam sayıdır. x = 0 yazılınca sabit terim −a · B(0) çıkar; demek ki a sabit terimi tam böler. Kural kısaca şöyledir: tam sayı kökler sabit terimin pozitif ve negatif bölenleri arasında aranır.

x³ + 2x² − 5x − 6 için adaylar ±1, ±2, ±3, ±6'dır. P(1) = −8 çıktığından 1 elenir; P(−1) = −1 + 2 + 5 − 6 = 0 olduğundan −1 köktür. Adayların hepsini denemek gerekmez; ilk kök bulunduğunda derece düşürülür ve geri kalan iş küçülür.

Baş katsayı 1 değilse kesirli kökler de çıkabilir. Bu durumda adaylar p/q biçimindedir: p sabit terimin, q baş katsayının bir bölenidir. 2x³ − 3x² − 3x + 2 için 1/2 de denenir ve P(1/2) = 2/8 − 3/4 − 3/2 + 2 = 0 olduğundan 2x − 1 bir çarpandır. Adaylar listesi bir garanti değildir; polinomun hiç rasyonel kökü olmayabilir, liste yalnız nereye bakılacağını söyler.

Bir kök bulununca derece düşer

x³ − 13x + 12'de katsayılar toplamı 1 − 13 + 12 = 0'dır, x = 1 bir köktür. Bir önceki derste kurulan Horner tablosu bölümü verir: eksik x² teriminin yerine 0 yazılıp 1, 0, −13, 12 katsayılarıyla a = 1 alınınca 1, 1, −12 ve kalan 0 bulunur. Bölüm x² + x − 12'dir. Bu ikinci dereceden ifade «Üç terimli ifadelerin çarpanları» dersindeki toplam-çarpım aramasıyla (x + 4)(x − 3) olarak ayrılır. Sonuç x³ − 13x + 12 = (x − 1)(x − 3)(x + 4), kökler 1, 3 ve −4'tür.

Dördüncü dereceden bir polinomda iş iki kez tekrarlanır. x⁴ − x³ − 7x² + x + 6'da P(1) = 0'dır ve Horner ile bölüm x³ − 7x − 6 çıkar. Bu üçüncü dereceden bölümde −1 denenir: −1 + 7 − 6 = 0. İkinci Horner adımı x² − x − 6 verir, o da (x − 3)(x + 2) olarak ayrılır. Polinom (x − 1)(x + 1)(x − 3)(x + 2) biçimine iner. Her bulunan kök dereceyi bir azaltır; ikinci dereceye inildiğinde TYT'nin üç terimli kalıpları devreye girer.

Bazen ikinci dereceden çarpan gerçek sayılarda daha fazla ayrılmaz. x² + 4 gibi bir ifade her x için en az 4'tür ve sıfır olamaz; böyle bir çarpan öyle bırakılır, gerçek kök vermez.

Katlı kök

x³ − 3x + 2'de P(1) = 0 ve Horner bölümü x² + x − 2'dir. Bu bölüm de x = 1'de sıfırlanır ve (x − 1)(x + 2) olarak ayrılır. Polinom (x − 1)²(x + 2) olur: 1 kökü iki kez görünür. (x − a)² polinomun çarpanıysa a'ya iki katlı kök denir; (x − a)³ çarpansa üç katlıdır. Kökün katlı olup olmadığını sınamak için Horner bölmesi aynı a ile ikinci kez yapılır: ilk bölmenin kalanı da ikincinin kalanı da sıfırsa a en az iki katlıdır. Parametreli sorularda bu, iki ayrı denklem demektir; çözümlü örneklerde bu yolu göreceksin.

İki çarpandan iki denklem

Bir polinomun (x − a)(x − b) ile tam bölünmesi, a ≠ b olduğunda hem x − a'nın hem x − b'nin çarpan olması demektir. Koşul P(a) = 0 ve P(b) = 0 denklemlerine dönüşür. x³ + ax² + bx − 6 polinomu hem x − 1'e hem x + 2'ye tam bölünüyorsa P(1) = 0 eşitliği a + b = 5, P(−2) = 0 eşitliği 4a − 2b = 14 verir. İkinci denklem 2a − b = 7 olarak sadeleşir; ikisi toplanınca 3a = 12, a = 4 ve b = 1 bulunur. Polinom x³ + 4x² + x − 6 = (x − 1)(x + 2)(x + 3) olur. Bölen x² − 1 ya da x² − 4 gibi verilmişse önce iki kare farkıyla ayrılır, sonra aynı yol izlenir.

Köklerden polinoma

Kökler biliniyorsa polinom geri kurulabilir. Kökleri 1, −2 ve 3 olan üçüncü dereceden her polinom k(x − 1)(x + 2)(x − 3) biçimindedir; burada k baş katsayıdır ve sıfırdan farklıdır. Kökler polinomu bir sabit çarpan dışında belirler; k'yi ya soru doğrudan verir ya da ek bir bilgiden, çoğunlukla P(0) gibi bir değerden çıkarılır. Baş katsayı 2 ise P(x) = 2(x − 1)(x + 2)(x − 3) ve P(0) = 2 · (−1) · 2 · (−3) = 12 olur. Baş katsayıyı unutmak, yani k = 1 almak, bu soru tipinde en sık yapılan hatadır.

Çarpanlardan okunanlar

P(x) = (x − 2)²(x + 1)(x² + 4) gibi çarpanlarına ayrılmış bir polinomda gerçek kökler doğrudan okunur: 2 ve −1. x² + 4 hiçbir gerçek x için sıfır olmadığından kök katmaz. Farklı gerçek kök sayısı 2'dir; 2 kökü iki katlı olsa da farklı kökler sayılırken bir kez sayılır. Soru «farklı gerçek köklerin toplamı» diyorsa 2 + (−1) = 1, «çarpımı» diyorsa −2 bulunur. Polinomun derecesi 5'tir ama gerçek kök sayısı bundan azdır; derece yalnız bir üst sınırdır.

x² yerine t

Yalnız çift kuvvetleri içeren x⁴ − 5x² + 4 gibi polinomlarda x² = t yazılır ve ifade t² − 5t + 4 = (t − 1)(t − 4) olur. t'nin yerine x² geri konunca (x² − 1)(x² − 4) çıkar ve iki kare farkı polinomu (x − 1)(x + 1)(x − 2)(x + 2) olarak bitirir. Her pozitif t değeri iki gerçek kök verir. Negatif çıkan bir t ise gerçek kök vermez: x⁴ − 3x² − 4 = (x² − 4)(x² + 1) polinomunun yalnız 2 ve −2 olmak üzere iki gerçek kökü vardır. Aynı fikir x² − 2x gibi tekrar eden bir parçaya da uygulanır.

Çarpandan denkleme

Bu derste ikinci dereceden çarpanlara iki yoldan biriyle davrandık: ya tam sayılarla ayrıldılar ya da hiçbir gerçek sayıda sıfır olmadıkları açıktı. Arada kalan durum, yani x² − 6x + 7 gibi tam sayılarla ayrılmayan ama gerçek sayıda sıfırlanabilen bir ifade, ikinci dereceden denklemin kendi çözüm yolunu gerektirir. Sıradaki derste ax² + bx + c = 0 denkleminin köklerini katsayılardan bulan formülü ve kök sayısını önceden söyleyen diskriminantı ele alıyoruz.

Örnek 1 — Sabit terimin bölenleri

Soru: x³ − 4x² + x + 6 polinomu çarpanlarına ayrıldığında hangi biçim elde edilir?

• A) (x − 1)(x + 2)(x − 3)
• B) (x + 1)(x + 2)(x − 3)
• C) (x + 1)(x − 3)(x − 2)
• D) (x − 1)(x + 3)(x − 2)
• E) (x + 1)(x − 2)(x + 3)

Çözüm: Adaylar 6'nın bölenleridir. P(1) = 4 olduğu için 1 elenir, P(−1) = 0 olduğu için x + 1 çarpandır. Horner tablosu a = −1 ile 1, −5, 6 katsayılarını ve 0 kalanını verir; bölüm x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3). A seçeneğindeki çarpım kancadaki polinomu verir; 1'i kök sanan öğrenci oraya gider. Cevap: C.

Örnek 2 — İki çarpan, iki bilinmeyen

Soru: P(x) = x³ + ax² + bx − 6 polinomu, (x − 1)(x + 2) çarpımına kalansız bölünüyor. a − b farkı kaçtır?

• A) 5
• B) 3
• C) 15
• D) 6
• E) −3

Çözüm: P(1) = 0 için 1 + a + b − 6 = 0, yani a + b = 5. P(−2) = 0 için −8 + 4a − 2b − 6 = 0, yani 2a − b = 7. Toplayınca 3a = 12, a = 4 ve b = 1 bulunur. a − b = 3'tür; 5 ise toplamdır, farkla karıştırılmamalıdır. Cevap: B.

Örnek 3 — İki katlı kök

Soru: P(x) = x³ + ax + b polinomunun bir çarpanı (x − 2)² ise a + b toplamı kaçtır?

• A) 28
• B) −4
• C) 16
• D) 4
• E) −12

Çözüm: 1, 0, a, b katsayılarıyla a = 2 için Horner kurulur: 1, 2, 4 + a ve kalan b + 8 + 2a. Kalan sıfır olmalı: b = −8 − 2a. Bölüm x² + 2x + (4 + a) de x = 2'de sıfırlanmalı: 4 + 4 + 4 + a = 0, a = −12. O hâlde b = 16 ve a + b = 4. Denetim: x³ − 12x + 16 = (x − 2)²(x + 4). Yalnız ilk koşulu kullanan öğrenci tek denklemle kalır ve sonuca ulaşamaz. Cevap: D.

Örnek 4 — Çift kuvvetlerde t

Soru: x⁴ + 2x² − 8 = 0 denkleminin gerçek köklerinin çarpımı kaçtır?

• A) −2
• B) 2√2
• C) −8
• D) 2
• E) 8

Çözüm: x² = t için t² + 2t − 8 = (t + 4)(t − 2). t = −4 değeri x² = −4 verir ve gerçek kök doğurmaz. t = 2 eşitliğinden gelen kökler √2 ile −√2'dir; çarpımları −2. −8, t'nin iki değerini kök sanıp çarpmaktan gelir. Cevap: A.

• Kök ile çarpanın işaretini karıştırmak. x + 3 çarpanı −3 kökünü verir; kökü 3 olan polinomun çarpanı x − 3'tür.
• Katlı kökü iki kez saymak. (x − 2)² çarpanı tek bir farklı kök verir; «farklı kök» soruluyorsa 2 bir kez sayılır.
• Köklerden polinom kurarken baş katsayıyı atlamak. Kökler polinomu ancak bir k sabiti dışında belirler; k ya verilir ya da P(0) gibi bir değerden bulunur.
• x² = t yazdıktan sonra negatif t'yi kök saymak. x² negatif bir sayıya eşit olamaz; o çarpan gerçek kök vermez ve kök sayısı azalır.
• Horner bölümünde eksik dereceye sıfır yazmamak. x³ − 13x + 12 için 1, −13, 12 yazılırsa bölüm yanlış çıkar ve ikinci adımdaki kökler kaybolur.