Düzgün çembersel hareket

Teneffüste Derya, ucuna anahtarlık bağlanmış kısa bir ipi parmağında çeviriyor ve arkadaşı Eren'e bir iddiada bulunuyor: «Anahtarlık her turu aynı sürede atıyor, hızlanmıyor, yavaşlamıyor. Demek ki ivmesi sıfır; ivme yoksa ona kuvvet de gerekmez.» Eren omuz silkiyor. Birkaç tur sonra düğüm çözülüyor ve anahtarlık sınıfın köşesine uçuyor. Derya onun parmağından dışarı, ipin uzandığı doğrultuda fırlayacağını sanmıştı; oysa anahtarlık o anda gittiği yönde, çembere teğet bir çizgi boyunca yol alıyor. İki tahmin de tutmadı. Bu derste sabit süratle dönen bir cismin neden sürekli ivmelendiğini, o ivmeyi hangi kuvvetin sağladığını ve ip çözülünce cismin neden teğet yönde gittiğini adım adım kuracağız.

• Devir sayısından periyodu ve frekansı bulup çizgisel hızı ve açısal hızı hesaplarsın.
• Aynı dönen cisim üzerindeki noktaların açısal hızlarını, çizgisel hızlarını ve merkezcil ivmelerini karşılaştırırsın.
• Merkezcil ivmenin yönünü ve büyüklüğünü v²/r ya da ω² r ile bulursun.
• Merkezcil kuvveti ipteki gerilme gibi var olan kuvvetlerin bileşkesi olarak yazar, ip koptuğunda cismin izleyeceği yolu belirlersin.

Hareketi bir turla ölçmek

Bir cisim sabit bir nokta çevresinde çember çizerek döner ve her turu aynı sürede tamamlarsa yaptığı harekete düzgün çembersel hareket denir. Bir tam turun süresi periyottur, T ile gösterilir ve saniyeyle ölçülür. Bir saniyedeki tur sayısı ise frekanstır: f = 1/T. Frekansın birimi s⁻¹, yani hertz (Hz).

Sorularda sık verilen bilgi «dakikada şu kadar devir»dir. Dakikada 120 tur atan bir cisim saniyede 120/60 = 2 tur atar; frekansı 2 Hz, periyodu 0,5 s olur. Dakikayı saniyeye çevirmeden işlem yapan öğrenci frekansı 60 kat büyük bulur ve sonraki bütün hesaplar o hatayı taşır.

Çizgisel hız

Yarıçapı r olan çember üzerindeki cisim bir periyotta çevrenin tamamını, yani 2πr kadar yolu alır. Sürat yolun zamana bölümü olduğundan:

• v = 2πr / T = 2πr · f

Bu büyüklüğe çizgisel hız denir. Büyüklüğü sabittir ama yönü her an çembere teğettir; cisim çemberin neresindeyse hız vektörü o noktadaki teğet doğrultusunu gösterir. Derya'nın anahtarlığı 0,5 m yarıçaplı bir çember çizip her turu 0,5 s'de atsaydı, π = 3 alınarak çizgisel sürati 2 · 3 · 0,5 / 0,5 = 6 m/s çıkardı. Önceki derste birbirine geçen dişlilerin dişleri için eşitlediğimiz çevresel hız da bu büyüklüktür; orada tur sayısı ile yarıçaptan kurulmuştu, burada periyot sayesinde saniyeye bağlanıyor.

Açısal hız ve radyan

Dönen cismin ne kadar hızlı döndüğünü yarıçaptan bağımsız da anlatabiliriz: birim zamanda süpürülen açıyla. Açıyı derece yerine radyanla ölçeriz; «Yönlü açılar ve radyan» dersinden hatırlanacağı gibi bir tam tur 2π radyandır. Açısal hız ω (omega) ile gösterilir:

• ω = Δθ / Δt = 2π / T = 2π · f

Birimi rad/s'dir. Dakikada 120 tur atan cisim için ω = 2π · 2 = 4π rad/s; π = 3 alınırsa 12 rad/s. İki tanımı karşılaştırınca aralarındaki bağ hemen çıkar: 2πr / T ifadesi, 2π / T ile r'nin çarpımıdır.

• v = ω · r

Anahtarlık örneğinde 12 rad/s ile 0,5 m'nin çarpımı yine 6 m/s'yi verir. Frekansla açısal hızı birbirine karıştırmak yaygın bir hatadır: f bir saniyedeki tur sayısını, ω bir saniyede taranan radyanı söyler ve aralarında 2π çarpanı vardır.

Aynı diskteki noktalar

Dönen bir diskin üzerine merkezden 0,2 m ve 0,4 m uzakta iki işaret koyalım; disk turunu 0,5 s'de atsın. Disk katı bir cisim olduğu için iki işaret de turunu aynı anda tamamlar. Periyotları, frekansları ve açısal hızları ortaktır: π = 3 ile ω = 12 rad/s. Çizgisel hızlarıysa farklıdır, çünkü dıştaki işaret aynı sürede iki kat uzun bir çevreyi dolaşır: içtekinin 12 · 0,2 = 2,4 m/s, dıştakininki 12 · 0,4 = 4,8 m/s. Disk üzerinde v yarıçapla doğru orantılı büyür, merkezdeki noktanın sürati sıfırdır. «Tork» dersindeki dönme ekseni burada da aynı rolü oynar: eksene yakın noktalar yavaş, uzaktakiler hızlı yol alır ama hepsi aynı açıyı süpürür. Ortak bir mile takılı iki dişlinin aynı sayıda tur atması da bu ortak ω'nun sonucudur.

Sürat sabitken hız neden değişir?

Hız bir vektördür; büyüklüğü de yönü de onun parçasıdır. Doğuya giderken 6 m/s olan bir cisim çeyrek tur sonra aynı süratle kuzeye gidiyorsa sürati aynı kalmış ama hızı değişmiştir. Hız değişiminin büyüklüğü, son hızdan ilk hızın vektörel farkıdır. Birbirine dik iki eşit vektörün farkı olduğu için v√2 bulunur. Yarım tur sonra hız tam ters yöne döner ve değişim 2v olur. Hız değiştiyse ivme vardır; Derya'nın «sürat değişmiyor, öyleyse ivme yok» çıkarımı ivmeyi süratin değişimi sanmaktan doğar.

Anlık ivmenin yönünü görmek için çok kısa bir Δt süresine bakalım. Bu sürede cisim Δθ = ω · Δt kadar açı süpürür ve hız vektörü de aynı açı kadar döner. Küçük açılarda hız değişiminin büyüklüğü yaklaşık v · Δθ olur ve bu değişim, iki hız vektörünün arasında, çemberin merkezine doğru bakar. Δt'ye bölünce ivmenin büyüklüğü v · ω çıkar.

Merkezcil ivme

v · ω çarpımını v = ω r bağıntısıyla iki biçimde yazabiliriz:

• a = v² / r = ω² · r

Bu ivme her an çemberin merkezine yönelir, bu yüzden merkezcil ivme adını alır. Büyüklüğü sabittir, yönü cisimle birlikte döner; cismin süratini değiştirmez, yalnız hızının yönünü çevirir. Anahtarlık için v² / r = 36 / 0,5 = 72 m/s², ω² · r = 144 · 0,5 = 72 m/s². İki yoldan aynı sonuç gelir.

Aynı diskteki iki işarete dönersek ω ortak olduğu için ω² · r biçimi kullanışlıdır: içteki işaretin ivmesi 144 · 0,2 = 28,8 m/s², dıştakininki 144 · 0,4 = 57,6 m/s². Yarıçap iki katına çıkınca ivme de iki katına çıktı. v² / r biçimine bakıp «r büyüdükçe ivme küçülür» demek ise burada yanıltır; o okuma yalnız sürat sabit tutulduğunda geçerlidir.

Merkezcil kuvvet yeni bir kuvvet değildir

Newton'un ikinci yasası her ivme için bir net kuvvet ister. Kütlesi m olan cismi çemberde tutan net kuvvet, ivmeyle aynı yönde, merkeze doğrudur:

• F = m · a = m · v² / r = m · ω² · r

Buna merkezcil kuvvet denir; ama listeye eklenecek ayrı bir kuvvet söz konusu değildir. Hangi kuvvetler etki ediyorsa onların merkeze doğru bileşkesine verilen addır. Sürtünmesiz yatay bir masada, ucu masanın ortasındaki bir çiviye bağlı iple dönen 0,3 kg'lık bir disk düşünelim. Diske ağırlığı, masanın normal kuvveti ve ipteki gerilme etki eder. Ağırlıkla normal kuvvet düşeyde birbirini dengeler; yatay düzlemde yalnız gerilme kalır ve merkeze doğru bakar. Disk 0,5 m yarıçaplı çemberde 2 m/s ile dönüyorsa gerilme 0,3 · 4 / 0,5 = 2,4 N'dir. Merkezcil kuvvet tam olarak bu gerilmedir.

Başka düzeneklerde aynı görevi başka kuvvetler üstlenir: dönen bir tablanın üstündeki madeni parayı sürtünme, Ay'ı yörüngesinde Dünya'nın çekim kuvveti merkeze doğru çeker. Kuvvet diyagramı çizerken «merkezcil kuvvet» adlı bir ok eklemek, aynı kuvveti iki kez saymak demektir.

İp çözülünce

Disk dönerken ip kopsun. Yatay düzlemde artık hiçbir kuvvet kalmaz ve TYT'de eylemsizlik adıyla tanıdığımız birinci yasa devreye girer: cisim kopma anındaki hızıyla, yani çembere teğet doğrultuda, sabit süratle düz bir çizgi boyunca gider. Merkezden dışarı doğru, ipin uzandığı çizgide savrulmaz. Derya'nın anahtarlığı da bu yüzden parmağından uzağa değil, o an gittiği yöne uçtu. Dönen bir arabanın içindeki yolcunun dışa itiliyor gibi hissetmesi de aynı eylemsizliğin dönen gözlemciye yansımasıdır; yerdeki gözlemci için cismi dışa iten bir kuvvet yoktur.

Bu derste merkezcil kuvveti hep tek bir kuvvet sağladı. Virajı dönen bir arabada lastiklerle yol arasındaki sürtünme, düşey bir çemberin tepesinde ve dibinde ağırlıkla gerilmenin farklı birleşimleri, eğimli yollarda normal kuvvetin bir bileşeni bu görevi üstlenir ve her durumda cismin çemberde kalabileceği en büyük ya da en küçük sürat değişir. Bu sınırları kuvvet diyagramından hesaplamak «Merkezcil kuvvet uygulamaları» dersinin işi.

Örnek 1 — Çömlekçi çarkı

Soru: Ece'nin atölyesindeki çömlekçi çarkı dakikada 90 tur atıyor. Çarkın merkezinden 20 cm uzaktaki bir kil parçasının çizgisel sürati kaç m/s'dir? (π = 3 alınız)

• A) v = 108
• B) v = 1,8
• C) v = 0,9
• D) v = 180
• E) v = 0,3

Çözüm: Frekans 90/60 = 1,5 Hz, yarıçap 0,2 m. v = 2πr · f = 2 · 3 · 0,2 · 1,5 = 1,8 m/s. 108, dakikadaki tur sayısını frekans sanmaktan; 180, santimetreyi metreye çevirmemekten; 0,9, çevreyi 2πr yerine πr almaktan; 0,3 ise v = f · r yazıp 2π çarpanını unutmaktan gelir. Cevap: B.

Örnek 2 — Aynı diskte iki nokta

Soru: Sabit hızla dönen bir diskte K noktası merkezden 10 cm, L noktası 30 cm uzaktadır. K'nin merkezcil ivmesinin L'ninkine oranı a_K / a_L kaçtır?

• A) a_K / a_L = 3
• B) a_K / a_L = 1
• C) a_K / a_L = 9
• D) a_K / a_L = 1/3
• E) a_K / a_L = 1/9

Çözüm: Aynı diskteki noktaların açısal hızları ortaktır; a = ω² · r olduğundan ivmeler yarıçaplarla doğru orantılıdır: 10 / 30 = 1/3. 3, v² / r biçimini sürat ortakmış gibi okumaktan; 1, aynı ω'nun aynı ivme verdiğini sanmaktan; 1/9 ve 9 ise yarıçap oranını gereksiz yere karelemekten çıkar. Cevap: D.

Örnek 3 — Masadaki diskin ipi

Soru: Ağırlığı 5 N, kütlesi yarım kilogram olan bir disk, sürtünmesiz yatay masanın ortasına sabitlenmiş 0,8 m uzunluğunda bir iple 4 m/s süratle dönüyor. İpteki gerilme kaç N'dir?

• A) gerilme = 10
• B) gerilme = 15
• C) gerilme = 2,5
• D) gerilme = 6,4
• E) gerilme = 4

Çözüm: Ağırlık ile normal kuvvet düşeyde birbirini götürür; yatayda merkeze doğru tek kuvvet gerilmedir: T = m · v² / r = 0,5 · 16 / 0,8 = 10 N. 15, ağırlığı da gerilmeye eklemekten; 2,5, süratin karesini almamaktan; 6,4, yarıçapa bölmek yerine onunla çarpmaktan; 4 ise kinetik enerjiyi (½ · 0,5 · 16 = 4 J) kuvvet sanmaktan gelir. Cevap: A.

Örnek 4 — Çeyrek turda hız değişimi

Soru: 3 m yarıçaplı bir çemberde 6 m/s sabit süratle dönen bir cismin çeyrek tur boyunca hızında çeyrek tur boyunca oluşan değişim kaç m/s olur?

• A) Δv = 0
• B) Δv = 12
• C) Δv = 6
• D) Δv = 3√2
• E) Δv = 6√2

Çözüm: Çeyrek turun başındaki ve sonundaki hız vektörleri birbirine diktir ve büyüklükleri 6 m/s'dir. Farklarının büyüklüğü √(6² + 6²) = 6√2 m/s. 0, sürat ile hızı aynı şey saymaktan; 12, yarım turdaki tam ters dönmeyi çeyrek tura uygulamaktan; 6, vektörleri büyüklükleriyle çıkarmaktan; 3√2 ise sonucu yarıya bölmekten gelir. Çeyrek tur π = 3 alındığında 0,75 s sürer; ortalama ivme 6√2 / 0,75 = 8√2 m/s² ≈ 11,3 m/s² olur ve anlık merkezcil ivmenin (36 / 3 = 12 m/s²) altında kalır. Cevap: E.

• Sabit süratli dönmede ivme yok saymak. Hız vektörünün yönü sürekli döner; büyüklüğü v² / r olan ve merkeze bakan bir ivme her an vardır.
• Kuvvet diyagramına ayrıca «merkezcil kuvvet» eklemek. Merkezcil kuvvet gerilme, sürtünme, normal kuvvet ya da çekim gibi var olan kuvvetlerin merkeze doğru bileşkesidir; ayrı ok çizmek aynı kuvveti iki kez saymaktır.
• İp kopunca cismin dışa savrulduğunu sanmak. Kuvvet kalkınca cisim kopma anındaki hızıyla teğet doğrultuda düz gider; merkezden uzaklaşması bu düz yolun sonucudur.
• Frekans ile açısal hızı karıştırmak. ω = 2π · f; dakikadaki devir saniyeye çevrilmeden ya da 2π çarpanı atlanarak yazılan değerler çeldiricidir.
• Aynı diskte ivmenin yarıçapla azaldığını sanmak. Diskteki noktalarda ω ortaktır, a = ω² · r yarıçapla büyür; v² / r biçimindeki ters orantı yalnız sürat sabitken geçerlidir.