Skaler ve vektörel büyüklükler

Arabanın göstergesi saatte 60 kilometre gösteriyor. Aynı anda telefondaki harita uygulaması, aracın kuzeydoğuya doğru saatte 60 kilometreyle ilerlediğini söylüyor. İki bilgi aynı sayıyı içerir ama aynı şeyi söylemez. Gösterge yalnızca ne kadar hızlı gidildiğini bildirir; harita bunun yanında nereye gidildiğini de söyler. Yolculuğun sonunda da benzer bir ayrım çıkar: kilometre sayacı 18 kilometre yol yapıldığını gösterirken, harita evden varış noktasına kuş uçuşu 11 kilometre olduğunu gösterir. Fizikte bu iki tür bilgi iki ayrı büyüklük türüne karşılık gelir. Oryantasyon ünitesinde vektörleri sezgiyle tanıdık ve nasıl toplandıklarını gördük. Bu derste ayrımı kesinleştiriyoruz: bir vektörün elemanlarını, sık karşılaşılan büyüklüklerin hangi gruba girdiğini, sürat ile hız ve kütle ile ağırlık arasındaki farkı ve skalerlerle vektörler arasındaki işlemleri öğreniyoruz.

• Skaler ve vektörel büyüklüğü tanımlar, bir vektörün elemanlarını sayarsın.
• Sık karşılaşılan büyüklükleri skaler ya da vektörel olarak sınıflandırırsın.
• Sürat ile hızı, yol ile yer değiştirmeyi ve kütle ile ağırlığı ayırırsın.
• Bir vektörü bir skalerle çarptığında büyüklüğün ve yönün nasıl değiştiğini bulursun.

Tanımlar

Bir büyüklük yalnızca sayısı ve birimiyle eksiksiz anlatılabiliyorsa ona skaler büyüklük denir. Bir odanın sıcaklığını 22 °C, bir paketin kütlesini 3 kg diye söylemek yeterlidir; "hangi yöne?" sorusu anlamsızdır. Bir sayı ve birimin yanında yönü de belirtilmeden eksik kalan büyüklüğe ise vektörel büyüklük denir. Bir cismi 10 N'luk kuvvetle ittiğimizi söylemek, kuvvetin etkisini anlatmaya yetmez; kuvvetin hangi yöne uygulandığı da bilinmelidir.

Vektörün elemanları

Bir vektör, bir okla gösterilir ve ortaöğretim programında dört elemanla tanımlanır. Başlangıç noktası, vektörün uygulandığı yerdir. Doğrultu, vektörün üzerinde bulunduğu doğrudur; yatay, düşey ya da eğik olabilir. Yön, okun bu doğru üzerinde hangi tarafa baktığıdır; aynı doğrultuda iki yön vardır. Büyüklük ise okun uzunluğuyla gösterilen sayısal değerdir. Doğrultu ile yön sık karıştırılır: doğu-batı doğrultusu tek bir doğrultudur, ama bu doğrultuda doğuya ve batıya olmak üzere iki yön vardır.

İki vektörün eşit olması için büyüklüklerinin ve yönlerinin aynı olması gerekir; başlangıç noktalarının farklı olması eşitliği bozmaz. Büyüklükleri aynı, yönleri ters olan iki vektör birbirinin zıttıdır.

Gösterim

Kitaplarda vektörel büyüklükler, harfin üstüne küçük bir ok konarak ya da kalın harfle yazılır; böylece okuyucu, o harfin bir yönü olduğunu hatırlar. Yalnız vektörün büyüklüğünden söz ediliyorsa harf okusuz ya da iki dikey çizgi arasında yazılır. Bir sorunun "kuvvetin büyüklüğü" mü yoksa "kuvvet" mi istediğine dikkat etmek, cevabın bir sayı mı yoksa bir sayı ile yön mü olacağını belirler.

Sınıflandırma

Sınavda en sık sorulan, bir büyüklüğün hangi gruba girdiğidir. Ortaöğretim programında yaygın olarak şu sınıflandırma kullanılır:

Bu tablodaki iki büyüklük özel dikkat ister. Elektrik akımının bir akış yönü vardır, ama iki akım vektörler gibi açıya göre toplanmaz; bir kavşakta akımlar yalnızca cebirsel olarak toplanır. Bu yüzden akım skaler kabul edilir. Basınç da bir yüzeye dik etki eden kuvvetten doğar, ama bir noktadaki basıncın kendine ait bir yönü yoktur; basınç skalerdir. Sınıflandırmada akıl yürütmek yerine bir büyüklüğün yönle birlikte anlam kazanıp kazanmadığını sormak çoğu zaman doğru cevabı verir.

Sürat ve hız

Günlük dilde aynı anlamda kullanılan sürat ve hız, fizikte farklı büyüklüklerdir. Sürat skalerdir ve alınan yolun geçen süreye bölümüdür. Hız vektördür ve yer değiştirmenin süreye bölümüdür. Bir koşucu 200 metrelik kapalı bir pistte bir tur attığında yolu 200 metre, yer değiştirmesi ise sıfırdır. Bu yüzden ortalama sürati sıfırdan büyükken ortalama hızı sıfırdır. Ortalama süratin büyüklüğü, ortalama hızın büyüklüğünden her zaman büyük ya da ona eşittir; eşitlik, cisim tek bir doğru üzerinde hep aynı yöne gittiğinde sağlanır. Göstergedeki sayı süratin, haritadaki ok hızın göstergesidir.

Eksi işaret her zaman yön değildir

Bir skaler büyüklük de negatif olabilir: −5 °C bir sıcaklıktır ve bir yön bildirmez; sıfırın altında bir değeri gösterir. Tek bir doğru üzerindeki vektörlerde ise eksi işaret, seçilen pozitif yönün tersini gösterir: −3 m/s'lik hız, cismin ters yönde 3 m/s ile gittiğini anlatır. Bu yüzden bir sayının eksi olması, onun vektör olduğunu göstermez; işaretin neyi anlattığı, büyüklüğün türüne bakılarak yorumlanır.

Kütle ve ağırlık

Kütle bir cisimdeki madde miktarının ölçüsüdür; skalerdir ve cismin bulunduğu yere göre değişmez. Ağırlık ise cisme etki eden çekim kuvvetidir; vektördür, yönü çekimin yönüdür ve cismin bulunduğu yere göre değişir. Bir cisim Ay'a götürüldüğünde kütlesi aynı kalır, ama Ay'ın çekimi Dünya'nınkinden zayıf olduğu için ağırlığı azalır. Günlük dilde "kilom 60" denirken kastedilen kütledir; fizikte ağırlık newtonla ölçülür.

Skalerle çarpma

Bir vektör pozitif bir skalerle çarpılırsa yönü değişmez, büyüklüğü o sayı kadar katlanır. Negatif bir skalerle çarpılırsa büyüklüğü sayının mutlak değeri kadar katlanır ve yönü tersine döner. Bu kural fizik formüllerinde sürekli kullanılır. Kuvvet, kütleyle ivmenin çarpılmasından elde edilir; kütle pozitif bir skaler olduğu için kuvvet ile ivme her zaman aynı yöndedir. Momentum da kütleyle hızın çarpılmasından doğar ve hızın yönünü taşır.

Vektörlerden skaler

İki vektörel büyüklüğün birleşmesinden skaler bir büyüklük de çıkabilir. İş, kuvvet ile yer değiştirmeden hesaplanır; ikisi de vektördür, ama iş skalerdir ve bir yönü yoktur. Bu yüzden bir formülde vektörel büyüklüklerin bulunması, sonucun da vektörel olduğunu göstermez; sonucun yönle birlikte anlam taşıyıp taşımadığına bakılır.

İşlem kuralları

Skalerler sıradan sayılar gibi toplanır: 2 kg ile 3 kg'lık iki kütle birlikte 5 kg eder. Vektörlerin toplamı ise yönlerine bağlıdır: 2 N ve 3 N'luk iki kuvvetin bileşkesi, aradaki açıya göre 1 N ile 5 N arasında herhangi bir değer olabilir. Bu fark, bir büyüklüğün skaler mi vektör mü olduğunu bilmenin neden önemli olduğunu gösterir: işlemin nasıl yapılacağını bu belirler.

Örnek 1 — Sınıflandırma

Soru: Aşağıdaki büyüklüklerden hangisi vektöreldir?

• A) Sıcaklık
• B) Hacim
• C) Momentum
• D) Enerji
• E) Zaman

Çözüm: Momentum hızın yönünü taşır; bu yüzden vektöreldir. Cevap: C.

Örnek 2 — Sürat ve hız

Soru: Bir öğrenci 10 m doğuya yürüyüp aynı yoldan 10 m batıya dönüyor; bu 4 saniye sürüyor. Ortalama hızının büyüklüğü kaç m/s'dir?

• A) 0
• B) 5
• C) 2,5
• D) 20
• E) 10

Çözüm: Öğrenci başladığı yere dönmüştür; yer değiştirme ve ortalama hız sıfırdır. Ortalama sürat ise 20/4 = 5 m/s'dir. Cevap: A.

Örnek 3 — Skalerle çarpma

Soru: A vektörü kuzeye doğru 3 birimdir. −2A vektörü hangisidir?

• A) 6 birim kuzeye
• B) 3 birim güneye
• C) 1 birim güneye
• D) 2 birim kuzeye
• E) 6 birim güneye

Çözüm: Negatif skalerle çarpım büyüklüğü 2 katına çıkarır ve yönü tersine çevirir. Cevap: E.

Örnek 4 — Kütle ve ağırlık

Soru: Bir astronot Dünya'dan Ay'a gittiğinde hangisi doğrudur?

• A) Kütlesi ve ağırlığı azalır.
• B) Kütlesi aynı kalır, ağırlığı azalır.
• C) Kütlesi azalır, ağırlığı aynı kalır.
• D) İkisi de değişmez.
• E) İkisi de artar.

Çözüm: Kütle madde miktarıdır ve değişmez; ağırlık çekim kuvvetidir ve Ay'ın çekimi daha zayıftır. Cevap: B.

• Sürati hız sanmak. Sürat yolun, hız yer değiştirmenin süreye bölümüdür.
• Kütleyi ağırlık sanmak. Kütle skalerdir ve yere göre değişmez; ağırlık vektördür.
• Elektrik akımını vektör saymak. Akım bir yöne akar ama vektör gibi toplanmaz; skalerdir.
• Doğrultu ile yönü karıştırmak. Bir doğrultuda iki ters yön vardır.
• Vektörlerden çıkan her büyüklüğü vektör saymak. İş, vektörlerden hesaplandığı hâlde skalerdir.