Ölçek merdiveni

Bir an

Salı akşamı, apartmanın merdiven boşluğu. Kuzey matematik defterini basamağa açmış, ödevine kafa yoruyor: «On, yüz, bin… Onun kuvvetlerini sırayla yaz, her birine bir örnek bul.» Kırk birinci kuvvete gelince takılıyor. «Bin kere bin kere bin… Bunun örneği ne olabilir ki?»

Ada okuldan dönmüş, çantasını sırtından indirmeden kardeşinin yanına oturuyor. Sayfaya bakıp gülümsüyor: «Bunun örneği var. Ama sırayla gidelim. Şu basamakları say.»

Kuzey sayıyor: zemin kattan bir üst kata yirmi basamak. Ada parmağıyla en alttaki basamağı gösteriyor: «Bu bir protonun büyüklüğü olsun. Her basamakta on kat büyüyoruz. Bakalım sen kaçıncı basamaktasın, Dünya kaçıncı, evrenin görebildiğimiz kısmı nerede bitiyor.»

Rıza Dede yukarıdan, kapının aralığından sesleniyor: «Kırk iki basamak çıkacaksanız benim dizlerim yetmez.» Ada şaşırıyor; dede sayıyı nereden tutturdu?

Soru

Evrendeki en küçük bilinen yapıdan görebildiğimiz en büyük ölçeğe kadar kaç «on kat» basamak var, ve insan bu basamakların hangisine düşüyor?

Sezgi

Evrenin ölçeklerini sıradan sayılarla yazmaya kalkınca sayfa sıfırlarla doluyor. Bir protonun yarıçapını metre cinsinden yazmak için virgülden sonra on beş sıfır, gözlenebilir evrenin yarıçapı için de yirmi yedi basamaklı bir sayı gerekiyor. Bilim bunun için kısa bir yazım kullanır.

Bu yazım bir kısaltmadan fazlası, çünkü onun kuvveti bir sayının kabaca ne kadar büyük olduğunu tek başına söyler. İki şeyi karşılaştırırken çoğu zaman tam değer değil, kaç tane «on kat» uzakta oldukları önemlidir.

Ada'nın merdiveni bu fikrin bir resmi. Sıradan bir cetvelde her santimetre aynı miktarda uzunluk ekler; merdivende ise her basamak bir öncekinin on katına çıkar. Böylece protondan evrene kadar her şey tek bir merdivene sığar.

Benzetmenin kırıldığı yer de önemli. Gerçek bir merdivende iki basamak arası hep aynı yükseklikte; birinci basamaktan ikinciye çıkmak, kırkıncıdan kırk birinciye çıkmakla aynı çabayı ister. Logaritmik merdivende ise her basamak bir öncekinin dokuz katı kadar yeni uzunluk ekler. En üstteki tek basamak, altındaki bütün basamakların toplamından dokuz kat büyüktür. Merdiven her şeyi gösterebiliyor, ama aradaki farkı göze küçük gösterme pahasına.

Nasıl biliyoruz?

Merdivenin her basamağı başka bir yöntemle ölçülür ve bazı basamakları ölçmek beklenmedik kadar zor. En alttaki basamak bunun iyi bir örneği. Bir protonun yarıçapı onlarca yıl boyunca iki yolla ölçüldü: elektronları protonlara çarptırıp nasıl saçıldıklarına bakarak ve hidrojen atomunun enerji düzeylerindeki çok küçük kaymaları ölçerek. 2010'a kadar bu ölçümler yaklaşık 0,88 femtometrelik bir değerde, yani metrenin milyon kere milyarda 0,88'inde buluşuyordu.

2010'da CREMA adlı bir araştırma ekibi aynı ölçümü elektron yerine müon taşıyan hidrojenle yaptı. Müon elektronun yaklaşık iki yüz kat ağır kardeşidir ve protona çok daha yakın dolaşır, bu yüzden protonun büyüklüğüne çok daha duyarlıdır. Sonuç yaklaşık 0,84 femtometre çıktı: öteki ölçümlerin hata payından beş ile yedi kat uzakta. Fizikçiler buna «proton yarıçapı bilmecesi» dedi. Ya ölçümlerden biri yanlıştı, ya da elektron ile müon protonu farklı «görüyordu», ki bu bilinen fiziğin dışında bir şey demekti.

Sonraki on yılda iki yöntem de yeniden yapıldı. 2019'da Amerika'daki Jefferson Laboratuvarı'nda PRad deneyi elektron saçılmasıyla 0,831 femtometre buldu; yeni hidrojen ölçümlerinin çoğu da küçük değere yaklaştı. Uluslararası sabitler kurulu CODATA 2018'de önerdiği değeri küçülterek bu yeni sonuçlara uydurdu.

Merdivenin üst ucu ise 0.1'de gördüğümüz gibi başka bir yolla, ardalan ışımasının haritası ve standart modelle hesaplanır. Arada kalan basamaklar da kendi yöntemleriyle ölçülür: Dünya'nın yarıçapı uydu jeodezisiyle, Güneş'e uzaklık gezegenlere gönderilen radar sinyalleriyle, Güneş'in yarıçapı da bu uzaklık ile gökteki açısal büyüklüğünden, yıldız uzaklıkları da 3. modülde kuracağımız uzaklık merdiveniyle. Ölçek merdiveni tek bir cetvel değil, birbirine eklenmiş pek çok cetveldir.

Yaygın yanılgılar

Sayılarla

Basamakları tek tek yerleştirelim. Merdivenin sıfırıncı basamağına protonun yaklaşık 8,4 çarpı 10 üzeri eksi 16 metrelik yarıçapını koyuyoruz. Hidrojen atomunun ölçeği, NIST'in yayımladığı CODATA değerine göre 5,29 çarpı 10 üzeri eksi 11 metre, yaklaşık 4,8 basamak yukarıda. Bir buçuk, iki metre boyundaki bir insan 15. basamakta.

NASA'nın bilgi sayfalarına göre Dünya'nın ortalama yarıçapı 6.371 kilometre: yaklaşık 22. basamak. Güneş'in yarıçapı 695.700 kilometre: 24. basamak. Dünya ile Güneş arasındaki ortalama uzaklık 149,6 milyon kilometre: 26. basamak. Işığın bir yılda aldığı yol, yaklaşık 9,46 çarpı 10 üzeri 15 metre: 31. basamak. Gözlenebilir evrenin yaklaşık 46 milyar ışık yıllık yarıçapı ise 4,4 çarpı 10 üzeri 26 metre, protondan 41,7 basamak yukarıda. Rıza Dede'nin «kırk iki basamak»ı yuvarlanmış bir doğru.

Merdivenin aşağısında da bir sınır olabilir. NIST'in CODATA 2022 değerine göre Planck uzunluğu 1,6 çarpı 10 üzeri eksi 35 metre, protonun yaklaşık yirmi basamak altında. Planck uzunluğundan gözlenebilir evrene uzanan bütün aralık yaklaşık 61 basamak.

Bağlantılar

Neye bağlı: Basamakların yerleri rastgele değil; her birini başka bir kuvvet belirler. Protonun büyüklüğünü güçlü kuvvet (4.4), atomun büyüklüğünü elektromanyetizma ile elektronun kuantum davranışı (4.3) belirler. Dünya ve Güneş gibi büyük cisimlerin büyüklüğü ise kütleçekiminin içeri çekişi ile maddenin direnci ya da yıldızın iç basıncı arasındaki dengeye bağlıdır (19.1). Merdivenin üst ucu ışığın hızına ve evrenin yaşına bağlıdır (0.1). Basamakların ölçülebilmesi de her ölçekte farklı bir yönteme dayanır: saçılma deneyleri, tayf, radar, paralaks.

Ona bağlı olanlar: Akademinin bundan sonraki her sayısı bilimsel gösterimle yazılacak. Hangi basamakta hangi kuvvetin baskın olduğu, 4.2'de en zayıf kuvvetin neden en büyük ölçeklere hükmettiğini anlamanın anahtarı. Uzaklık merdiveni (3. modül) bu merdivenin 26. basamağından 41. basamağına kadar olan bölümünü tırmanacak. 0.4'te de basamakların bir kısmını uzunluk olarak değil, ışığın onları aşmak için harcadığı zaman olarak okuyacağız.

Kendi elinle

Kapanış

1. Bilimsel gösterim ve büyüklük mertebesi, protondan gözlenebilir evrene uzanan yaklaşık 42 «on kat» basamağı tek bir merdivende yazmamızı sağlar; logaritmik ölçekte eşit aralıklar eşit katları gösterir.
2. İnsan bu merdivenin ortasında değil, 15. basamağındadır; orta yaklaşık 600 kilometreye düşer ve «orta»nın yeri merdivenin nereden başladığına bağlıdır.
3. Her basamak başka bir yöntemle ölçülür ve en küçük basamak bile hâlâ tartışılabilir: proton yarıçapı bilmecesi bir ölçümün yüzde dörtlük farkının fizikte nasıl bir soruya dönüşebildiğini gösterdi.

Beş soru

1. Dünya'nın 6.371 kilometrelik yarıçapını metre cinsinden bilimsel gösterimle yaz. Bu sayı kaç mertebe büyüklüğündedir?
2. Logaritmik bir merdivende bir basamak çıkmak, sıradan bir merdivende bir basamak çıkmaktan nasıl farklıdır?
3. Proton yarıçapı bilmecesi neydi ve müonlu hidrojen neden protonun büyüklüğüne daha duyarlıdır?
4. İnsan ölçek merdivenin neresinde durur ve merdivenin ortası neden bir insan boyunda değildir?
5. Planck uzunluğu neden «Spekülatif» etiketi taşır, oysa sayısal değeri kesin olarak bilinir?

Yanıtlar

1. 6.371 kilometre 6.371.000 metredir; bilimsel gösterimle 6,371 çarpı 10 üzeri 6 metre. Onun kuvveti 6 olduğu için Dünya'nın yarıçapı milyon metre mertebesindedir.
2. Sıradan merdivende her basamak aynı miktarda yükseklik ekler. Logaritmik merdivende her basamak bir öncekinin on katına çıkar, yani bir öncekinin dokuz katı kadar yeni uzunluk ekler; en üstteki basamak altındaki bütün basamakların toplamından çok daha büyüktür.
3. 2010'da müonlu hidrojenle yapılan ölçüm protonun yarıçapını yaklaşık 0,84 femtometre buldu; elektron saçılması ve sıradan hidrojen ölçümleri ise yaklaşık 0,88 femtometre veriyordu ve fark ölçüm hatalarının beş ile yedi katıydı. Müon elektronun yaklaşık iki yüz kat ağır kardeşidir, protona çok daha yakın dolaşır ve bu yüzden protonun büyüklüğünden çok daha fazla etkilenir.
4. İnsan protondan sayınca yaklaşık 15. basamaktadır. Merdiven yaklaşık 42 basamak olduğu için ortası 21. basamağa, yani yaklaşık 600 kilometreye düşer. Merdiven Planck uzunluğundan başlatılırsa orta saç teli kalınlığına iner; ortanın yeri başlangıç noktasının seçimine bağlıdır.
5. Planck uzunluğunun değeri ışık hızı, Planck sabiti ve kütleçekimi sabitinden hesaplandığı için kesindir. Ama o ölçekte bugünkü fiziğin geçerliliğini yitirdiği ya da uzayın bir «en küçük uzunluğu» olduğu fikri bir öneridir; hiçbir deney o ölçeğe yaklaşamadığı için sınanmamıştır.

Sonraki derse köprü

Merdivenin 31. basamağına bir uzunluk koyduk ama adı bir zaman birimi taşıyordu: ışık yılı. Bu bir rastlantı değil. Işığın hızı sonlu olduğu için uzaklık ile zaman evrende birbirine bağlıdır. 0.4'te, uzağa bakmanın neden geçmişe bakmak olduğunu göreceğiz: Ay'ın, Güneş'in ve en uzak galaksilerin ışığının bize ne kadar eski bir haber getirdiğini hesaplayacağız.